Abstrakt algebra

Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

1. 
   D₃ diedr gruppasini S₃ gruppaga o‘tkazuvchi barcha izomorfizmlarni toping.
   
2. 
   Q₈ gruppaning markazini toping.
   
3. 
   GL₄(R) – to‘rtinchi tartibli teskarilanuvchu matritsalar gruppasining Q₈
   

gruppaga izomorf qism gruppasini toping.

4. 
   G gruppani G₁ gruppaga o‘tkazuvchi barcha gomomorfizmlarni toping:
   
   • 
     G = Z₄, G₁ = K₄.
     
   • 
     G = K₄, G₁ = Z₄.
     
   • 
     G = S₃, G₁ = Z₆.
     
   • 
     G = Z₆, G₁ = S₃.
     
   • 
     G = Z₈, G₁ = D₄.
     
   • 
     G = Z₈, G₁ = Q₈.
     
   • 
     G = Q₈, G₁ = D₄.
     
   • 
     G = D₄, G₁ = Q₈.
     
5. 
   G gruppani G₁ gruppaga o‘tkazuvchi barcha epimorfizmlarni toping:
   
   • 
     G = D₄, G₁ = K₄.
     
   • 
     G = Q₈, G₁ = Z₄.
     
   • 
     G = Q₈, G₁ = Z₂.
     
   • 
     G = D₄, G₁ = Z₂.
     

3. Izomorfizm haqidagi teoremalar

Ushbu mavzuda gruppalarning izomorfizmlari bilan bo‘g‘liq bo‘lgan, izomorfizm va moslik teoremalari deb nomlanuvchi natijalarni keltiramiz. Ushbu teoremalar gruppaning gomomorfizmlari va faktor gruppalar orasidagi bo‘glanishlarni ifo- dalovchi teoremalar hisoblanadi.
2.3.1-teorema. Bizga G gruppani G₁ gruppaga o‘tkazuvchi f : G → G₁ epi- morfizm berilgan bo‘lsin. Agar G gruppaning H normal qism gruppasi uchun H ⊆ Kerf munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda g : G → G/H syurektiv tabiiy go- momorfizm uchun f = h ◦ g shartni qanoatlantiruvchi yagona h : G/H → G₁ epimorfizm mavjud. Shuningdek, h inyektiv bo‘lishi uchun H = Kerf tenglik o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarli.




Isbot. h : G/H → G₁ akslantirishni ixtiyoriy aH ∈ G/H uchun h(aH) = f (a) ko‘rinishida aniqlaymiz. Dastlab, bu akslantirishning to‘g‘ri aniqlangan ekanligini ko‘rsatamiz. Ya’ni, aH = bH bo‘lsa, u holda b⁻¹ ∗ a ∈ H bo‘ladi. O‘z navbatida H ⊆ Kerf ekanligidan,
f (b⁻¹ ∗ a) = e₁ ⇒ f (a) = f (b) ⇒ h(aH) = h(bH) kelib chiqadi. Demak, h akslantirish to‘g‘ri aniqlangan.
Ixtiyoriy a element uchun (h ◦ g)(a) = h(g(a)) = h(aH) = f (a) tenglik o‘rinli ekanligidan, h ◦ g = f tenglik kelib chiqadi. Endi, h : G/H → G₁ akslantirishning epimorfizm bo‘lishini ko‘rsatamiz. f : G → G₁ akslantirish syurektiv bo‘lganligi uchun h : G/H → G₁ ham syurektiv bo‘ladi. Shuningdek,
h((aH) ∗ (bH)) = h((a ∗ b)H) = f (a ∗ b) = f (a) ∗₁ f (b) = h(aH) ∗₁ h(bH).
Demak, h akslantirish epimorfizm ekan.

Endi bu shartlarni qanoatlartiruvchi epimorfizm yagona ekanligini ko‘rsatamiz. Faraz qilaylik, boshqa h₁ : G/H → G₁ epimorfizm mavjud bo‘lib, f = h₁ ◦ g bo‘lsin. U holda, ixtiyoriy aH ∈ G/H element uchun

h(aH) = f (a) = (h₁ ◦ g)(a) = h₁(g(a)) = h₁(aH) tenglik o‘rinli. Demak, h = h₁.
Endi teoremaning ikkinchi qismini, ya’ni h inyektiv akslantirish bo‘lishi uchun H = Kerf bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlaymiz. Faraz qilaylik, h inyek- tiv akslantirish bo‘lsin. U holda Kerf ⊆ H ekanligi quyidagi munosabatlardan kelib chiqadi
∀a ∈ Kerf ⇒ f (a) = e₁ ⇒ h(aH) = e₁ = h(eH) ⇒ aH = eH ⇒ a ∈ H.
Shuningdek, teorema shartiga ko‘ra H ⊆ Kerf bo‘lganligi uchun H = Kerf tenglikni hosil qilamiz.
Endi H = Kerf tenglik o‘rinli bo‘lsa, h akslantirishning inyektiv bo‘lishini ko‘rsatamiz. Agar h(aH) = h(bH) bo‘lsa, u holda
f (a) = f (b) ⇒ f (b⁻¹ ∗ a) = e₁ ⇒ b⁻¹ ∗ a ∈ Kerf = H ⇒ aH = bH.
Demak, h inyektiv akslantirish.
Demak, 2.3.1-teoremada H = Kerf bo‘lsa, u holda h izomorfizm bo‘lar ^{ekan, ya’ni G/Kerf ∼}= ^{G1 munosabat o‘rinli bo‘ladi. Ushbu natija gruppalar}
nazariyasida muhim o‘rin egallab, uni gruppalar uchun gomomorfizmlarning asosiy teoremasi yoki gruppalar uchun izomorfizm haqidagi birinchi teo- rema deb nomlanadi.
2.3.2-teorema (izomorfizm haqidagi birinchi teorema). Agar f akslantirish
^{G gruppani G1 gruppaga o‘tkazuvchi gomomorfizm bo‘lsa, u holda G/Kerf ∼}= ^{f (G)}
bo‘ladi.

2.3.1-teoremadan G gruppaning har bir G₁ gomomorf obraziga yagona N nor- ^{mal qism gruppa mos kelib, G/N ∼}= ^{G1 bo‘lishi kelib chiqadi. Masalan, S3 grup-}

paning uchta gomomorf obrazi, shuningdek uchta normal qism gruppasi mavjud. Uning gomomorf obrazlari S₃, Z₂ va Z₁ bo‘lsa, normal qism gruppalari esa, {e}, A₃ va S₃ lardan iborat bo‘lib,
^{S3 ∼}= ^{S3/{e}, Z2 ∼}= ^{S3/A3, Z1 ∼}= ^S3/S3.
2.3.3-teorema. Aytaylik, G₁ gruppa G gruppaning gomomorf obrazi bo‘lsin, u holda quyidagilar o‘rinli:

1. 
   Agar G siklik gruppa bo‘lsa, u holda G₁ ham siklik gruppa bo‘ladi.
   

2. 
   Agar G kommutativ gruppa bo‘lsa, u holda G₁ ham kommutativ gruppa bo‘ladi.
   
3. 
   Agar G gruppa chekli bo‘lib, G₁ gruppada tartibi n bo‘lgan element mavjud bo‘lsa, u holda G gruppada ham tartibi n ga teng bo‘lgan element mavjud.
   

Isbot. Teoremaning 1 va 2-qismlari isboti 2.1.1-teoremaning 6-qismidan kelib chiqadi. Shuning uchun, biz faqat teoremaning 3-qismini isbotlaymiz.
Aytaylik, a₁ ∈ G₁ elementning tartibi n ga teng bo‘lsin. Agar n = 1 bo‘lsa,

n
u holda e ∈ G biz qidirayotgan element bo‘ladi. Endi, n > 1 bo‘lgan holni qaraylik. f : G → G₁ akslantirish syurektiv bo‘lganligi sababli, f (a) = a₁ shartni qanoatlantiruvchi a ∈ G element topiladi. G gruppaning tartibi chekli bo‘lganligi sababli, ord(a) ham chekli bo‘lib, 2.1.1-teoremaning 7-qismidan ord(a₁) soni ord(a) ning bo‘luvchisi ekanligi kelib chiqadi, ya’ni n | ord(a). U holda ord(a) = nt, t ∈ N ⇒ t < ord(a) ⇒ a^t /= e. Agar b = a^t deb olsak, u holda b = e bo‘lib, 1.1.1-teoremaga ko‘ra

ord(b) = ord(a^t) = ^ord(a) = ^nt
EKUB(t, ord(a)) t
= n.

2.3.4-teorema (izomorfizm haqidagi ikkinchi teorema). Bizga G gruppa va uning H, K qism gruppalari berilgan bo‘lsin. Agar K a G bo‘lsa, u holda
^{H/(H ∩ K) ∼}= ^(HK)/K.
Isbot. Ixtiyoriy h ∈ H element uchun f : H → (HK)/K akslantirishni f (h) = hK ko‘rinishida aniqlaymiz. Ushbu f akslantirish gomomorfizm bo‘ladi, chunki ixtiyoriy h₁, h₂ ∈ H elementlar uchun
f (h₁ ∗ h₂) = (h₁ ∗ h₂)K = (h₁K) ∗ (h₂K) = f (h₁) ∗ f (h₂).
Ixtiyoriy xK ∈ (HK)/K element uchun x = h ∗ k tenglikni qanoatlantiruvchi
h ∈ H va k ∈ K elementlar topiladi. Shuningdek,
xK = (h ∗ k)K = (hK) ∗ (kK) = hK = f (h)
tenglik o‘rinli ekanligidan f akslantirishning syurektivligi kelib chiqadi, ya’ni
f (H) = (HK)/K. U holda gomomorfizmning birinchi teoremasiga ko‘ra,
^{H/Kerf ∼}= ^(HK)/K

munosabat o‘rinli bo‘ladi.

Endi, Kerf = H ∩ K ekanligini ko‘rsatamiz. Aniqlanishiga ko‘ra Kerf = {h ∈ H| f (h) element (HK)/K ning birlik elementi}.

Bundan esa,

Kerf = {h ∈ H| hK = K} = {h ∈ H| h ∈ K} = H ∩ K

^{kelib chiqadi. Demak, H/(H ∩ K) ∼}= ^(HK)/K.
2.3.5-teorema. Bizga f : G → G₁ epimorfizm berilgan bo‘lib, H a G uchun Kerf ⊆ H bo‘lsin. Agar g : G → G/H va g₁ : G₁ → G₁/f (H) tabiiy go- momorfizmlar bo‘lsa, u holda g₁ ◦ f = h ◦ g shartni qanoatlantiruvchi yagona h : G/H → G₁/f (H) izomorfizm mavjud.




Isbot. Teoremani isbotlash uchun Ker(g₁ ◦ f ) = H tenglik o‘rinli ekan- ligi ko‘rsatish kifoya. Chunki, bu tenglikdan 2.3.1-teoremaga ko‘ra, yagona h : G/H → G₁/f (H) izomorfizm mavjud ekanligi kelib chiqadi. Ixtiyoriy a ∈ H element uchun f (a) ∈ f (H) = Ker g₁ ekanligidan (g₁ ◦ f )(a) = g₁(f (a)) ele- ment G₁/f (H) faktor gruppaning birlik elementiga tengligi kelib chiqadi. Ya’ni, a ∈ Ker(g₁ ◦ f ), bundan esa H ⊆ Ker(g₁ ◦ f ) kelib chiqadi.
Agar a ∈ Ker(g₁ ◦ f ) bo‘lsa, u holda g₁(f (a)) element G₁/f (H) gruppaning birlik elementi bo‘ladi, bundan esa f (a) ∈ Ker g₁ = f (H) kelib chiqadi. Natijada, f (a) = f (b) tenglikni qanoatlantiradigan b ∈ H element topiladi. U holda
f (a) = f (b) ⇒ f (a ∗ b⁻¹) = e₁ ⇒ a ∗ b⁻¹ ∈ Ker f ⊆ H,

ya’ni
a = (a ∗ b⁻¹) ∗ b ∈ H ⇒ Ker(g₁ ◦ f ) ⊆ H.

Demak, Ker(g₁ ◦ f ) = H.