Abstrakt algebra

2.4.1-teorema. Aytaylik, G₁, G₂, . . . , G_n gruppalar berilgan bo‘lib, G ularning tashqi to‘g‘ri ko‘paytmasi bo‘lsin. H_i = {(e₁, e₂, . . . , e_i−1, a_i, e_i+1, . . . , e_n) | a_i ∈ G_i} to‘plamlar uchun quyidagilar o‘rinli:

1. 
   Ixtiyoriy i (1 ≤ i ≤ n) uchun H_i to‘plam G gruppaning normal qism gruppasi bo‘ladi.
   

2. 
   Ixtiyoriy a ∈ G elementni yagona ravishda a = h₁ ∗ h₂ ∗ · · · ∗ h_n kabi yozish mumkin, bu yerda h_i ∈ H_i.
   

3) G = H₁ ∗ H₂ ∗ · · · ∗ H_n.
4) H_i ∩ (H₁ ∗ · · · ∗ H_i−1 ∗ H_i+1 ∗ · · · ∗ H_n) = {e}.
Isbot. 1) Aytaylik, a = (e₁, . . . , a_i, . . . , e_n), b = (e₁, . . . , b_i, . . . , e_n) ∈ H_i
bo‘lsin, u holda
a ∗ b⁻¹ = (e₁, . . . , a_i, . . . , e_n) ∗ (e₁, . . . , b_i, . . . , e_n)⁻¹
= (e₁, . . . , a_i, . . . , e_n) ∗ (e₁, . . . , b_i⁻¹, . . . , e_n)
= (e₁, . . . , a_i · b_i⁻¹, . . . , e_n) ∈ H_i.
Bundan esa, H_i to‘plam G gruppaning qism gruppasi ekanligi kelib chiqadi. Endi uning normal qism gruppa bo‘lishini ko‘rsatamiz.
Ixtiyoriy g = (g₁, g₂, . . . , g_n) ∈ G element uchun
g ∗ a ∗ g⁻¹ = (g₁, g₂, . . . , g_n) ∗ (e₁, . . . , a_i, . . . , e_n) ∗ (g₁, g₂, . . . , g_n)⁻¹
= (g₁, . . . , g_i · a_i, . . . , g_n) ∗ (g₁⁻¹, g₂⁻¹, . . . , g_n⁻¹)
= (e₁, . . . , g_i · a_i · g_i⁻¹, . . . , e_n) ∈ H_i.
Demak, H_i normal qism gruppa.

2. 
   Ixtiyoriy a = (a₁, . . . , a_n) ∈ G element uchun h_i = (e₁, . . . , a_i, . . . , e_n) ∈ H_i, 1 ≤ i ≤ n elementlarni olsak a = h₁ ∗ h₂ ∗ · · · ∗ h_n bo‘ladi. Endi a elementning bunday ifodasini yagona ekanligini ko‘rsatamiz. Faraz qilaylik, qandaydir k_i ∈ H_i elementlar uchun a = k₁ ∗ k₂ ∗ · · · ∗ k_n bo‘lsin, u holda k_i = (e₁, . . . , b_i, . . . , e_n) bo‘lib,
   

a = (a₁, a₂ . . . , a_n) = k₁ ∗ k₂ ∗ · · · ∗ k_n = (b₁, b₂, . . . , b_n) bo‘ladi. Bundan esa, a_i = b_i, ya’ni h_i = k_i ekanligi kelib chiqadi.

2. 
   G = H₁ ∗ H₂ ∗ · · · ∗ H_n ekanligi (ii) dan to‘g‘ridan-to‘g‘ri kelib chiqadi.
   
3. 
   Aytaylik, a ∈ H_i ∩ (H₁ ∗ · · · ∗ H_i−1 ∗ H_i+1 ∗ · · · ∗ H_n) bo‘lsin, u holda
   

a ∈ H_i va a ∈ H₁ ∗ · · · ∗ H_i−1 ∗ H_i+1 ∗ · · · ∗ H_n.
Demak, birinchi tomondan a = (e₁, . . . , a_i, . . . , e_n), ikkinchi tomondan esa ushbu a element
h₁, . . . , h_i, h_i+1, . . . , h_n
elementlarning ko‘paytmasi ko‘rinishida ifodalanadi, bu yerda a_i ∈ G_i va h_j ∈ H_j,
ya’ni h_j = (e₁, . . . , b_j, . . . , e_n). Demak,
a = (e₁, . . . , a_i, . . . , e_n) = h_i ∗ . . . h_i−1 ∗ h_i+1 ∗· · · ∗ h_n = (b₁, . . . , b_i−1, e_i, b_i+1, . . . , b_n).

Bundan esa, a_i = e_i va b_j = e_j ekanligi kelib chiqadi, ya’ni

H_i ∩ (H₁ ∗ · · · ∗ H_i−1 ∗ H_i+1 ∗ · · · ∗ H_n) = {e}.

Endi gruppada normal qism gruppalarning ichki to‘g‘ri ko‘paytmasi tushun- chasini kiritamiz. Ichki to‘g‘ri ko‘paytma tushunchasini kiritishga yuqoridagi teo- remada G gruppaning kesishmalari birlik elementlardan iborat bo‘lgan H_i normal qism gruppalarning ko‘paytmasi ko‘rininshda ifodalanishi asosiy turtki bo‘lgan deyish mumkin.

2.4.1-ta’rif. Agar G gruppada H va K normal qism gruppalar berilgan bo‘lib, G = H · K va H ∩ K = {e} bo‘lsa, u holda G gruppa ushbu normal qism grup- palarning ichki to‘g‘ri ko‘paytmasi shaklida ifodalanadi deyiladi.
Ta’kidlash joizki, agar gruppaning ixtiyoriy H va K normal qism gruppalari uchun H ∩ K = {e} shart o‘rinli bo‘lsa, u holda ∀h ∈ H va ∀k ∈ K uchun h · k = k · h bo‘ladi. Haqiqatdan ham, H va K larning normalligidan foydalansak, (k⁻¹ · h · k) · h⁻¹ = k⁻¹ · (h · k · h⁻¹) element H ∩ K gruppaga tegishli ekanligi kelib chiqadi. Demak, (k⁻¹ · h · k) · h⁻¹ = e, bundan esa h · k = k · h hosil bo‘ladi.
Bundan tashqari, G gruppa H va K normal qism gruppalarning ichki to‘g‘ri ko‘paytmasi shaklida ifodalansa, ixtiyoriy g ∈ G elementni yagona ravishda g = h · k, h ∈ H, k ∈ K ko‘rinishida ifodalash mumkin. Ushbu ifodaning mavjudligi ta’rifdan bevosita kelib chiqsa, uning yagonaligi esa quyidagi mulo- hazalardan kelib chiqadi. Faraz qilaylik, g = h · k = h₁ · k₁, h, h₁ ∈ H, k, k₁ ∈ K bo‘lsin, u holda h⁻₁ ¹ · h, k₁⁻¹ · k ∈ H ∩ K = {e} ekanligidan h₁ = h va k₁ = k kelib chiqadi.
Ushbu mulohazalardan foydalanib, G gruppa o‘zining bir nechta H₁, H₂, . . . , H_n normal qism gruppalarining ichki to‘g‘ri ko‘paytmasi shakl- idagi yoyilishi ta’rifini quyidagicha kiritamiz.
2.4.2-ta’rif. Agar G gruppaning ixtiyoriy g ∈ G elementini h_i ∈ H_i(H_i a G) ele- mentlarning ko‘paytmasi ko‘rinishida g = h₁·h₂· . . . ·h_n yagona ravishda ifodalash mumkin bo‘lsa, u holda G gruppa H₁, H₂, . . . , H_n normal qism gruppalarining ichki to‘g‘ri ko‘paytmasi shaklida ifodalanadi deyiladi.

T
Ta’kidlash joizki, G gruppa H₁, H₂, . . . , H_n normal qism gruppalarining ichki to‘g‘ri ko‘paytmasi shaklida ifodalanishi uchun G = N₁ · N₂ · . . . · N_n va N_i (N₁ . . . N_i−1N_i+1 . . . N_n) = {e} bo‘lishi zarur va yetarli.
Endi tashqi va ichki to‘g‘ri ko‘paytmalar orasidagi bog‘lanishni kelti- ramiz. Agar G gruppa H₁, H₂, . . . , H_n normal qism gruppalarning ichki to‘g‘ri ko‘paytmasi shaklida ifodalansa, u holda G gruppani ushbu normal qism grup- palarning tashqi to‘g‘ri ko‘paytmasi sifatida qarash mumkin. Ya’ni quyidagi teo- rema o‘rinli.