Abstrakt algebra

Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

1. 
   (Q, +) gruppaning hosil qiluvchilari chekli bo‘lgan gruppa emasligini isbot- lang.
   
2. 
   Z ⊕ Z₆ gruppa hosil qiluvchilari chekli bo‘lgan gruppa bo‘lib, erkin gruppa emasligini ko‘rsating.
   
3. 
   G = Z₄ ⊕ Z₇ ⊕ Z₉ ⊕ Z gruppa uchun T (G) qism gruppani aniqlang.
   
4. 
   Z₂₀ ⊕ Z₇₅ ⊕ Z₉₀ va Z₁₂₀ ⊕ Z₂₅ ⊕ Z₄₅ gruppalar izomorf bo‘ladimi?
   
5. 
   Z₂₀₀ ⊕ Z₃₀ ⊕ Z₃₆ va Z₁₂₀ ⊕ Z₁₈ ⊕ Z₁₀₀ gruppalar izomorf bo‘ladimi?
   
6. 
   Z₁₅ ⊕ Z₁₂ ⊕ Z₃₀ ⊕ Z ⊕ Z va Z₁₀₈ ⊕ Z₅₀ ⊕ Z ⊕ Z gruppalar izomorf bo‘ladimi?
   
7. 
   Hosil qiluvchilari chekli bo‘lgan abel gruppasining gomomorf obrazi ham hosil qiluvchilari chekli gruppa ekanligini isbotlang.
   
8. 
   ^{Isbotlang: Aut(Z30) ∼}= ^Aut(Z15).
   
9. 
   ^{Isbotlang: Aut(Z ⊕ Z2) ∼}= ^{Aut(Z2 ⊕ Z2).}
   

BOB 4

Gruppalarga oid qo‘shimcha tushuncha va teoremalar

Biz ushbu bobda gruppalar nazariyasini chuqurroq o‘rgangan holda, gruppalar nazariyasining muhim tushuncha va teoremalarini keltiramiz. Ma’lumki, grup- palar nazariyasi vujudga kelishida o‘rin almashtirishlar gruppasining aniqlan- ishi asosiy omil hisoblanadi. Chunki, dastlabki o‘rganilgan nokommutativ grup- palar aynan o‘rin almashtirishlar gruppasidir. Keyinchalik gruppaning abstrakt ta’rifi va undagi tushunchalar kiritilishi ham aynan o‘rin almashtirishlar grup- pasining xususiyatlarini o‘rganish uchun xizmat qilgan. Gruppaning to‘plamga ta’siri tushunchasi aynan biror to‘plamdagi o‘rin almashtirishlar gruppasi bilan shu to‘plam orasidagi bog‘lanishni aniqlash natijasida kiritiladi. Biz ushbu bobda gruppaning to‘plamga ta’siri tushunchasini kiritib, uning xossalarini o‘rganish bi- lan birga, gruppalar nazariyasida asosiy rol o‘ynovchi Silov teoremalarini keltirib o‘tamiz. Bundan tashqari ushbu bobda nilpotent va yechiluvchan gruppalar haqida ham qisqacha to‘xtalib o‘tiladi.

1.