Abstrakt algebra

Gruppaning to‘plamga ta’siri

O‘rin almashtirishlar gruppasi bu biror X to‘plamni X to‘plamga o‘tkazuvchi barcha o‘zaro bir qiymatli akslantirishlar to‘plamidan iborat bo‘lib, u S(X) kabi belgilanadi. Agar ∀f ∈ S(X) va ∀a ∈ X elementlar uchun, (f, a) → f (a) moslikni qarasak, biz S(X) × X to‘plamni X to‘plamga akslantiruvchi amal aniqlagan bo‘lamiz. Ushbu aniqlangan amal kabi ixtiyoriy bo‘sh bo‘lmagan X to‘plam va ixtiyoriy G gruppa uchun gruppaning to‘plamga ta’siri tushunchasi kiritiladi.
Bizga G gruppa va bo‘sh bo‘lmagan X to‘plam berilgan bo‘lib, G×X to‘plamni X to‘plamga akslantiruvchi ٨ : G × X → X amal aniqlangan bo‘lsin. Ixtiyoriy g ∈ G va x ∈ S elementlarning ushbu amal yordamida aniqlangan g ٨ x qiymati
o‘rniga (g, x) yoki gx belgilashlardan ham foydalaniladi.
4.1.1-ta’rif. Agar ٨ : G × X → X amal aniqlangan bo‘lib, quyidagi shartlar
105


bajarilsa,

• 
  (g₁ · g₂) ٨ x = g₁ ٨ (g₂ ٨ x), bu yerda x ∈ X, g₁, g₂ ∈ G,
  
• 
  e ٨ x = x, bu yerda e ∈ G gruppaning birlik elementi,
  

u holda G gruppaning X to‘plamga (chap) ta’siri aniqlangan deyiladi.
Agar G gruppaning X to‘plamga (chap) ta’siri aniqlangan bo‘lsa, u holda G gruppa X to‘plamga ta’sir qiladi deyiladi, X to‘plam esa G-to‘plam deb ataladi. Ushbu misolda yuqorida ta’kidlab o‘tilgan S(X) o‘rin almashtirishlar grup-
pasining X to‘plamga ta’siri aniqlanishini ko‘rsatamiz.
4.1.1-misol. Bizga X to‘plam va G = S(X) o‘rin almashtirishlar gruppasi beril- gan bo‘lsin. G gruppaning X to‘plamga ta’sirini quyidagicha aniqlaymiz:
f ٨ x = f (x), ∀f ∈ G, x ∈ X.
U holda e ∈ G birlik element uchun e ٨ x = e(x) = x va ixtiyoriy f, g ∈ G
uchun
(f ◦ g) ٨ x = (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ٨ (g(x)) = f ٨ (g ٨ x)
tengliklar bajariladi. Ya’ni G gruppaning X to‘plamga ta’siri aniqlangan.
Quyidagi misolda X to‘plam sifatida G gruppaning biror H normal qism grup- pasini olib, uning G-to‘plam bo‘lishini ko‘rsatamiz.
4.1.2-misol. Aytaylik, G gruppa va uning H normal qism gruppasi berilgan bo‘lsin. G gruppaning H to‘plamga ta’sirini quyidagicha aniqlaymiz:
g ٨ h = g · h · g⁻¹, ∀g ∈ G, ∀h ∈ H.
H normal qism gruppa bo‘lganligi uchun g ٨ h ∈ H bo‘lib, e ٨ h = e · h · e⁻¹ = h
va ∀g₁, g₂ ∈ G uchun
(g₁ · g₂) ٨ h = (g₁ · g₂) · h · (g₁ · g₂)⁻¹ = (g₁ · g₂) · h · (g₂⁻¹ · g₁⁻¹)
= g₁ · (g₂ · h · g₂⁻¹) · g₁⁻¹ = g₁ · (g₂ ٨ h) · g₁⁻¹ = g₁ ٨ (g₂ ٨ h)
tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Demak, H qism gruppa G-to‘plam bo‘ladi.
4.1.3-misol. Aytaylik G gruppaning biror H qism gruppasi berilgan bo‘lsin, X =
{aH | a ∈ G} deb olsak, u holda G gruppaning X to‘plamga ta’sirini quyidagicha aniqlaymiz:
g ٨ (aH) = (g · a)H, ∀g ∈ G, ∀aH ∈ X.
U holda, e ٨ (aH) = (e · a)H = aH va
(g₁ · g₂) ٨ (aH) = ((g₁ · g₂) · a)H = (g₁(·g₂ · a))H = g₁ ٨ (g₂ ٨ (aH))
ekanligidan X ning G-to‘plam ekanligi kelib chiqadi.

Endi G gruppaning X to‘plamga ta’siri aniqlangan bo‘lsa, bu orqali X to‘plamda ekvivalentlik munosabatini kiritish mumkinligini ko‘rsatamiz. Buning uchun X to‘plamning a, b elementlari orasidagi a ∼ b munosabatni quyidagicha aniqlaymiz:

agar g ∈ G mavjud bo‘lib, g ٨ a = b bo‘lsa, u holda a ∼ b.

Quyidagi teoremada, ushbu ∼ munosabatning ekvivalentlik munosabati ekan- ligini isbotlaymiz.
4.1.1-teorema. Aytaylik, G gruppa berilgan bo‘lib, bo‘sh bo‘lmagan X to‘plam esa G-to‘plam bo‘lsin. X to‘plamda aniqlangan ∼ munosabat ekvivalentlik munosabati bo‘ladi, bu yerda
a ∼ b ⇔ ∃g ∈ G, g ٨ a = b.
Isbot. Ixtiyoriy a ∈ X, uchun e ٨ a = a ekanligidan a ∼ a, ya’ni ∼ munosa- batning refleksiv ekanligi kelib chiqadi.
Endi ushbu munosabatning simmetrik ekanligini ko‘rsatamiz. Agar a, b ∈ X
uchun a ∼ b bo‘lsa, u holda g ∈ G element topilib, g ٨ a = b bo‘ladi. Bundan esa,
g⁻¹ ٨ b = g⁻¹ ٨ (g ٨ a) = (g⁻¹ · g)a = e ٨ a = a
ekanligi, ya’ni b ∼ a kelib chiqadi. Demak, ∼ munosabat simmetrik ekan.
Endi munosabatning tranzitivligini ko‘rsatamiz. Agar a ∼ b va b ∼ c bo‘lsa, u holda g₁, g₂ ∈ G elementlar topilib, g₁ ٨ a = b va g₂ ٨ b = c bo‘ladi hamda
(g₂ · g₁) ٨ a = g₂ ٨ (g₁ ٨ a) = g₂ ٨ b = c
tengliklardan a ∼ c ekanligi, ya’ni ∼ munosabatning tranzitivligi kelib chiqadi. Demak, ∼ munosabat ekvivalentlik munosabati bo‘ladi.
Har qanday ekvivalentlik munosabati berilgan to‘plamni o‘zaro kesishmay- digan sinflarga ajratgani uchun, yuqorida aniqlangan ekvivalentlik munosabati ham X to‘plamni sinflarga ajratadi. Ushbu sinflar G gruppaning X to‘plamdagi orbitalari deb ataladi. Demak, a ∈ X elementning orbitasi [a] = {b ∈ X | b ∼ a} to‘plamdan iborat bo‘ladi va orb(a) kabi belgilanadi.
Endi a ∈ X element uchun G to‘plamning quyidagi qism to‘plamini
aniqlaymiz:
St(a) = {g ∈ G | g ٨ a = a}.
Ta’kidlash joizki, ushbu St(a) to‘plam G gruppaning qism gruppasi bo‘ladi. Haqiqatdan ham, e ٨ a = a ekanligidan e ∈ St(a) kelib chiqiadi. Ixtiyoriy g, h ∈ St(a) elementlar uchun, g ٨ a = a va h ٨ a = a ekanligidan quyidagi tengliklarga ega bo‘lamiz:
(g · h) ٨ a = g ٨ (h ٨ a) = g ٨ a = a,


h⁻¹ ٨ a = h⁻¹ ٨ (h ٨ a) = (h⁻¹ · h) ٨ a = e ٨ a = a.
Demak, g · h ∈ St(a) va h⁻¹ ∈ St(a), ya’ni St(a) to‘plam G gruppaning qism gruppasi bo‘ladi. Ushbu St(a) qism gruppalar statsionar qism gruppalar yoki stabilizatorlar deyiladi. Quyidagi lemmada a ∈ X elementning orbitasi va stabilizatori orasidagi munosabatni keltiramiz.
4.1.1-lemma. Aytaylik, G gruppaning X to‘plamga ta’siri aniqlangan bo‘lsin. Ixtiyoriy a ∈ X element uchun [G : St(a)] = |orb(a)| tenglik o‘rinli. Ya’ni, a elementning orbitasi elementlari soni St(a) qism gruppaning indeksiga teng.
Isbot. L orqali St(a) qism gruppaning barcha chap qo‘shni sinflaridan tashkil topgan oilani bilgilaymiz, ya’ni L = {gSt(a) | g ∈ G}. Biz ushbu L to‘plam va orb(a) orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatamiz. Buning uchun quyidagicha f : L → orb(a) akslantirish aniqlaymiz:
f (gSt(a)) = g ٨ a, ∀gSt(a) ∈ L.
Bu akslantirishning to‘g‘ri aniqlanganligi va inyektivligi quyidagi munosabat- lardan kelib chiqadi:


g₁St(a) = g₂St(a) ⇔ g₂⁻¹ · g₁ ∈ St(a)
⇔ g₂⁻¹ ٨ (g₁ ٨ a) = (g₂⁻¹ · g₁) ٨ a = a ⇔ g₁ ٨ a = g₂ ٨ a.
Uning syurektiv bo‘lishi ham osongina kelib chiqadi, chunki ∀b ∈ orb(a) uchun
g ∈ G topilib, g ٨ a = b, ya’ni, f (gSt(a)) = g ٨ a = b.
Demak, f : L → orb(a) biyektiv, ya’ni [G : St(a)] = |L| = |orb(a)|.
Agar gruppaning a, b ∈ G elementlari uchun shunday g ∈ G element topilib, b = g⁻¹ · a · g tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda a va b elementlar o‘zaro qo‘shma elementlar deyiladi.
4.1.2-misolda H sifatida G gruppani o‘zini olsak, gruppaning o‘zidan o‘ziga bo‘lgan ta’sirini hosil qilamiz. a ∈ G elementning ushbu ta’sirdagi orbitasi, unga qo‘shma bo‘lgan elementlar to‘plamidan iborat bo‘ladi, ya’ni
orb(a) = {b ∈ G | b = g⁻¹ · a · g}.
Ushbu to‘plamga a elementning qo‘shma sinfi deb ataladi. Ravshanki, G gruppa o‘zaro kesishmaydigan qo‘shma sinflarning birlashmasidan iborat bo‘ladi. Endi qism gruppalar uchun qo‘shmalik ta’rifini keltiramiz. Agar G gruppaning
H va K qism gruppalari uchun ∃g ∈ G element topilib, H = g⁻¹ · K · g tenglik
o‘rinli bo‘lsa, u holda bu qism gruppalar qo‘shma deyiladi.
Yuqoridagi lemmadan G chekli gruppa bo‘lsa, u holda ixtiyoriy elementning orbitasining quvvati (elementlar soni) gruppaning tartibi bo‘luvchisi ekanligi kelib

chiqadi. Bundan tashqari ekvivalent sinflarning aniqlanishi undagi elementning tanlanishiga bog‘liq bo‘lmaganligini hisobga olsak, a ∼ b ekanligidan [G : St(a)] = [G : St(b)] tenglik kelib chiqadi. Yuqoridagi mulohazalardan va 4.1.1-lemmadan foydalanib, quyidagi teoremani isbotlash mumkin.

4.1.2-teorema. Aytaylik, G gruppaning X to‘plamga ta’siri aniqlangan bo‘lsin.

1. 
   Agar a, b ∈ X elementlar uchun a ∼ b bo‘lsa, u holda St(a) va St(b) gruppalar o‘zaro qo‘shma bo‘ladi.
   
2. 
   Agar G chekli gruppa bo‘lib, X chekli to‘plamning ekvivalentlik munosabati orqali kesishmaydigan sinflarga yoyilmasi X = orb(a₁)∪orb(a₂)∪· · ·∪orb(a_r) ko‘rinishida bo‘lsa, u holda
   

Σ
r
|X| = [G : St(a_i)].
i=1


Isbot. 1) Aytaylik, a, b ∈ X elementlar uchun a ∼ b bo‘lsin. U holda shunday g ∈ G element topilib, b = g ٨ a bo‘ladi, bundan esa, a = g⁻¹ ٨ b kelib chiqadi. Ixtiyoriy g · h · g⁻¹ ∈ gSt(a)g⁻¹ elementni qaraymiz, bu yerda h ∈ St(a), ya’ni h ٨ a = a. U holda
(g · h · g⁻¹) ٨ b = g ٨ (h ٨ (g⁻¹ ٨ b)) = g ٨ (h ٨ a) = g ٨ a = b.

⊆

−1
Demak, g · h · g⁻¹ ∈ St(b), bundan esa, gSt(a)g⁻¹ ⊆ St(b) hosil bo‘ladi. Xuddi shunga o‘xshab g St(b)g St(a) ekanligini ham ko‘rsatish mumkin. Natijada biz gSt(a)g⁻¹ = St(b) tenglikka ega bo‘lamiz, ya’ni St(a) va St(b) qism gruppalar o‘zaro qo‘shma.
2) 4.1.1-teoremaga ko‘ra X to‘plam kesishmaydigan sinflarning birlashmasi ko‘rinishida ifodalanadi. X to‘plam chekli bo‘lganligi uchun, uni r ta sinfning

[G : St(a_i)]
i=1

birlashmasi ko‘rinishida yozish mumkin. 4.1.1-lemmaga ko‘ra |X| =
ekanligini hosil qilamiz.
_Σr

Endi G gruppaning X to‘plamga ta’siri yordamida G gruppani S(X) o‘rin almashtirishlar gruppasiga akslantiruvchi gomomorfizm qurish mumkinligini ko‘rsatamiz. Dastlab, ixtiyoriy g ∈ G element uchun τ_g : X → X akslantirishni τ_g(a) = g٨a kabi aniqlaymiz. Ushbu τ_g akslantirish o‘zaro bir qiymatli akslantirish bo‘ladi. Chunki,

τ_g(a) = τ_g(b) ⇒ g ٨ a = g ٨ b ⇒ a = b
munosabatdan uning inyektiv ekanligi kelib chiqsa, g ٨ (g⁻¹ ٨ b) = b tenglikdan
∀b ∈ X uchun a = g⁻¹ ٨ b element topilishi, ya’ni akslantirishning syurektiv

ekanligi kelib chiqadi. Demak, τ_g ∈ S(X). Bundan tashqari, g₁, g₂ ∈ G elementlar va ∀a ∈ X uchun

τ_g1·g2 (a) = (g₁ · g₂) ٨ a = g₁ ٨ (g₂ ٨ a) = τ_g1 (g₂ ٨ a) = τ_g1 (τ_g2 (a)) = (τ_g1 ◦ τ_g2 )(a) tengliklardan τ_g1·g2 = τ_g1 ◦ τ_g2 kelib chiqadi.
Endi G gruppadan S(X) o‘rin almashtirishlar gruppasiga ψ : G → S(X)
akslantirishni quyidagicha aniqlaymiz
ψ(g) = τ_g, ∀g ∈ G.
U holda ψ akslantirsih uchun
ψ(g₁ · g₂) = τ_g1·g2 = τ_g1 ◦ τ_g2 = ψ(g₁) ◦ ψ(g₂)
tengliklarning bajarilishini, ya’ni uning gomomorfizm ekanligini hosil qilamiz.
Agar X to‘plam sifatida G gruppaning biror H qism gruppasi barcha chap qo‘shni sinflari to‘plamini olsak, ya’ni X = {aH|a ∈ G} deb olsak, u holda 4.1.3- misolga ko‘ra G gruppaning ushbu to‘plamga ta’sirini g(aH) = (g · a)H kabi aniqlash mumkin. Demak, yuqoridagi mulohazalar yordamida ψ : G → S(X) gomomorfizm aniqlanadi. Ushbu tasdiq Kelining umumlashgan teoremasi deb nomlanadi.
4.1.1-tasdiq. Aytaylik, G gruppa va uning H qism gruppasi berilgan bo‘lib, X = {aH|a ∈ G} bo‘lsin. U holda ψ : G → S(X) gomomorfizm mavjud bo‘lib, Kerψ ⊆ H.
Isbot. Tasdiqni isbotlash uchun Kerψ ⊆ H ekanligini ko‘rsatish kifoya. Ix- tiyoriy g ∈ Kerψ olsak, u holda ψ(g) = τ_g akslantirish X to‘plamdagi bir- lik akslantirish bo‘ladi, ya’ni ∀aH ∈ X uchun τ_g(aH) = aH. Bundan esa, g(aH) = aH, ∀aH ∈ X ekanligi, xususan gH = H, ya’ni g ∈ H kelib chiqadi. Demak, Kerψ ⊆ H.
Quyidagi natijada G gruppaning H qism gruppasi bo‘yicha indeksi orqali nor- mal qism gruppasi mavjudligini aniqlash kriteriyasini keltiramiz.
4.1.1-natija. Aytaylik, G gruppa va ining indeksi n ga teng bo‘lgan H xos qism gruppasi berilgan bo‘lsin. Agar G gruppaning tartibi n! ning bo‘luvchisi bo‘lmasa, u holda G gruppa notrivial normal bo‘luvchiga ega.
Isbot. 4.1.1-tasdiqqa ko‘ra, ψ : G → S(X) gomomorfizm mavjud bo‘lib, ^{Kerψ ⊆ H bo‘ladi. Bundan esa, G/Kerψ ∼}= ^{ψ(G) ⊂ S(X) kelib chiqadi. H} qism gruppaning indeksi n ga teng bo‘lganligi uchun |X| = n, ya’ni |S(X)| =
n!, demak ψ(G) gruppaning tartibi n! ning bo‘luvchisi bo‘ladi. Ya’ni |G/Kerψ|
soni ham n! ning bo‘luvchisi. Lekin G gruppaning tartibi n! ning bo‘luvchisi


bo‘lmaganligi uchun |Kerψ| = 1 kelib chiqadi. Ixtiyoriy gomomorfizmning yadrosi
normal bo‘luvchi bo‘lganligi hamda Kerψ /= e va Kerψ ⊆ H ekanligidan uning
notrivial normal bo‘luvchi ekanligi kelib chiqadi.
Endi qo‘zg‘almas nuqta ta’rifini kiritamiz.


4.1.2-ta’rif. Aytaylik, G gruppaning X to‘plamga ta’siri aniqlangan bo‘lsin. Agar g ٨ a = a tenglik bajarilsa, u holda a ∈ X element g ∈ G elementga nisbatan qo‘zg‘almas nuqta deyiladi. Agar a ∈ X element G gruppaning barcha ele- mentlariga nisbatan qo‘zg‘almas bo‘lsa, u holda u G gruppaga nisbatan qo‘zg‘almas nuqta deyiladi.
X^g orqali X to‘plamning g elementga nisbatan qo‘zg‘almas nuqtalar to‘plamini belgilaymiz, ya’ni
X^g = {a ∈ X | g ٨ a = a}.
X to‘plamning berilgan ta’sirdagi orbitalar sonini |X/G| kabi belgilaymiz. Ushbu teoremada orbitalar sonini qo‘zg‘almas nuqtalar soni orqali beruvchi ifodasi kelti- riladi.