Abstrakt algebra

3.1.3-misol. Tartibi 32 ga teng bo‘lgan barcha abel gruppalarini toping.
Yechish. 32 = 2⁵ bo‘lganligi uchun 5 sonini barcha mumkin bo‘lgan yoyil- malarini qaraymiz.
5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1
bo‘lganligi uchun tartibi 32 ga teng bo‘lgan ixtiyoriy abel gruppasi quyidagi grup- palardan biriga izomorf bo‘ladi
Z₅,
Z₁₆ ⊕ Z₂,
Z₈ ⊕ Z₄,
Z₈ ⊕ Z₂ ⊕ Z₂,
Z₄ ⊕ Z₄ ⊕ Z₂,
Z₄ ⊕ Z₂ ⊕ Z₂ ⊕ Z₂,
Z₂ ⊕ Z₂ ⊕ Z₂ ⊕ Z₂ ⊕ Z₂.
Q
3.1.4-misol. Tartibi 20 ga teng bo‘lgan barcha abel gruppalarini toping.
Yechish. 20 = 2² · 5 ekanligidan, tartibi 20 ga teng bo‘lgan ixtiyoriy gruppa
G(5) va G(2) primar komponentalarning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifodalanib,
^{|G(5)| = 5 va |G(2)| = 4 bo‘ladi. O‘z navbatida G(5) ∼}= ^{Z5 bo‘lsa, G(2) esa}
Z₄ va Z₂ ⊕ Z₂ gruppalardan biriga izomorf. Demak, tartibi 20 ga teng bo‘lgan ixtiyoriy abel gruppasi Z₅ ⊕ Z₄ va Z₅ ⊕ Z₂ ⊕ Z₂ gruppalardan biriga izomorf. Q
3.1.5-misol. G = Z₅₀ ⊕ Z₂₀ ⊕ Z₈ gruppaning elementar bo‘luvchilarini toping.
^{Yechish. 50 = 52 · 2, 20 = 22 · 5 va 8 = 23 bo‘lganligi uchun Z50 ∼}= ^{Z25 ⊕ Z2
va Z20 ∼}= ^{Z4 ⊕ Z5 bo‘ladi. U holda
G ∼}= ^{Z52 ⊕ Z5 ⊕ Z23 ⊕ Z22 ⊕ Z2}
bo‘ladi. Demak, G gruppaning elementar bo‘luvchilari 5², 5, 2³, 2², 2 lardan iborat.
Q


3.1.6-misol. G = Z₂₄ ⊕ Z₃₆ ⊕ Z₁₀ gruppaning invariant faktorlarini toping.

· · ·
Yechish. 24 = 2³ 3, 36 = 2² 3² va 10 = 2 5 bo‘lganligi uchun gruppaning
elementar bo‘luvchilari 2³, 2², 2, 3², 3, 5 sonlaridan iborat. U holda

2^3,	2^2,	2
3^2,	3,	1
5,	1,	1

deb olsak, m₁ = 2³ ·3² ·5 = 360, m₂ = 2² ·3 = 12 va m₃ = 2 bo‘ladi. Ya’ni invariant faktorlari 360, 12, 2. Demak, G gruppa Z₃₆₀ ⊕ Z₁₂ ⊕ Z₂ gruppaga izomorf. Q

1. Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

   1. 
      Tartibi 9, 16 va 27 sonlariga teng bo‘lgan barcha abel gruppalarini toping.
      
   2. 
      Tartibi 15, 21, 22, 26, 33 va 35 sonlariga teng bo‘lgan barcha abel gruppalarini toping.
      
   3. 
      Tartibi 12, 18, 28, 36, 45 va 60 sonlariga teng bo‘lgan barcha abel gruppalarini toping.
      
   4. 
      Tartibi 63, 80, 180, 240 va 360 sonlariga teng bo‘lgan barcha abel gruppalarini toping.
      
   5. 
      Tartibi pq (p va q turli tub sonlar) ga teng bo‘lgan ixtiyoriy abel gruppasi
      

Z_p ⊕ Z_q gruppaga izomorf ekanligini isbotlang.

6. 
   G = Z₁₄₄ ⊕ Z₁₂ ⊕ Z₈ gruppaning elementar bo‘luvchilarini toping.
   
7. 
   G = Z₁₂₀ ⊕ Z₃₀ ⊕ Z₈ gruppaning elementar bo‘luvchilarini toping.
   
8. 
   G = Z₁₈₀ ⊕ Z₄₀ ⊕ Z₉ gruppaning elementar bo‘luvchilarini toping.
   
9. 
   G = Z₄₀ ⊕ Z₁₅ ⊕ Z₃₆ gruppaning invariant faktorlarini toping.
   
10. 
    G = Z₂₂ ⊕ Z₆₀ ⊕ Z₁₈ gruppaning invariant faktorlarini toping.
    
11. 
    G = Z₄₄ ⊕ Z₆₆ ⊕ Z₁₂ ⊕ Z₇₂ gruppaning invariant faktorlarini toping.
    
12. 
    Tartibi 540 ga teng bo‘lgan barcha abel gruppalarini toping.
    
13. 
    Tartibi 504 ga teng bo‘lgan barcha abel gruppalarini toping.
    
14. 
    Tartibi p³ ga teng bo‘lgan barcha abel gruppalarini toping.
    
15. 
    Tartibi p⁴ ga teng bo‘lgan barcha abel gruppalarini toping.
    

16. 
    Tartibi p³q² ga teng bo‘lgan barcha abel gruppalarini toping.
    
17. 
    Tartibi 120 ga teng bo‘lgan gruppaning tartibi uchga teng bo‘lgan nechta elementi mavjud.
    
18. 
    Tartibi 2⁴ · 3² · 5³ ga teng bo‘lgan nechta abel gruppasi mavjud.
    
19. 
    Tartibi 2³ · 3² · 5 · 7² ga teng bo‘lgan nechta abel gruppasi mavjud.
    

2. Hosil qiluvchi elementlari soni chekli bo‘lgan abel gruppalari

Biz ushbu mavzuda cheksiz abel gruppalarini o‘rganamiz. Avvalgi mavzuda biz ixtiyoriy chekli abel gruppasi siklik gruppalarning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifoda- lanishini ko‘rsatgan edik. Biz hosil qiluvchi elementlari soni chekli bo‘lgan cheksiz abel gruppalarni o‘rganib, ularni ham siklik gruppalarning to‘g‘ri yig‘indisi shak- lida ifodalanishini ko‘rsatamiz. Ma’lumki, Z gruppa bitta hosil qiluvchiga ega bo‘lgan cheksiz siklik gruppa bo‘lsa, Z₂ ⊕ Z₆ ⊕ Z gruppa siklik bo‘lmagan gruppa bo‘ladi. Ushbu Z₂ ⊕ Z₆ ⊕ Z gruppaning hosil qiluvchi elementlari 3 ta bo‘lib, ular
(1₂, 0, 0), (0, 1₆, 0), (0, 0, 1).
Bizga G abel gruppasi va uning {a₁, a₂, . . . , a_k} elementlar to‘plami berilgan bo‘lsin. n₁a₁ + n₂a₂ + · · · + n_ka_k, n_i ∈ Z ifodaga bu elementlarning chiziqli kombinatsiyasi deb ataladi.


3.2.1-ta’rif. Agar G gruppaning a₁, a₂, . . . , a_k elementlarining chiziqli kombi- natsiyasi nolga tengligidan, ya’ni n₁a₁ + n₂a₂ + · · · + n_ka_k = 0 ekanligidan n₁ = n₂ = · · · = n_k = 0 bo‘lishi kelib chiqsa, u holda ushbu elementlar to‘plami chiziqli erkli deb ataladi. Agar a₁, a₂, . . . , a_k elementlar to‘plami chiziqli erkli bo‘lib, G gruppaning ixtiyoriy a ∈ G elementini ushbu elementlarning chiziqli kom- binatsiyasi orqali a = n₁a₁ + n₂a₂ + · · · + n_ka_k kabi ifodalash mumkin bo‘lsa, u holda X = {a₁, a₂, . . . , a_k} to‘plam G gruppaning bazisi deb ataladi.
Agar G gruppada bazis mavjud bo‘lsa, u holda u erkin abel gruppasi deb ataladi. Butun sonlar gruppasining chekli sondagi to‘g‘ri yig‘indisi Z⊕Z⊕· · · ⊕Z erkin abel gruppasi bo‘ladi. Chunki, ushbu gruppada chekli sondagi

(1, 0, 0 . . . , 0), (0, 1, 0 . . . , 0), . . . , (0, 0, 0, . . . , 1)

bazis mavjud. Lekin biz yuqorida ko‘rgan Z₂ ⊕ Z₆ ⊕ Z gruppa erkin abel gruppasi emas, chunki (1₂, 0, 0), (0, 1₆, 0), (0, 0, 1) elementlar to‘plami chiziqli erkli emas.

Ya’ni, hosil qiluvchi elementlari soni chekli bo‘lgan gruppalar har doim ham erkin abel gruppasi bo‘lavermaydi.

Quyidagi teoremada ixtiyoriy erkin abel gruppasi chekli sondagi siklik grup- palarning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifodalanishini ko‘rsatamiz.


3.2.1-teorema. Ixtiyoriy erkin abel gruppasi cheksiz siklik gruppalarning to‘g‘ri ^{yig‘indisi shaklida ifodalanadi, ya’ni G ∼}= ^{Z ⊕ Z ⊕ · · · ⊕ Z.}
Isbot. Aytaylik, X = {a₁, a₂, . . . , a_k} to‘plam G gruppaning bazisi bo‘lsin. U holda a₁, a₂, . . . , a_k elementlar chiziqli erkli bo‘lganligi uchun n_ia_i = 0a₁ + · · · + n_ia_i + · · · + 0a_k = 0 tenglikdan n_i = 0 kelib chiqadi. Bu esa, a_i elementning tartibi cheksizga teng ekanligini bildiradi. Demak, G gruppa ⟨a_i⟩, 1 ≤ i ≤ k siklik gruppalarning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifodalanadi, ya’ni G = ⟨a₁⟩ ⊕ ⟨a₂⟩ ⊕ · · · ⊕
^{⟨ak⟩. Cheksiz siklik gruppalar Z ga izomorf bo‘lganligi uchun G ∼}= ^{Z ⊕ Z ⊕ · · · ⊕ Z}
ekanligini hosil qilamiz.
Ta’kidlash joizki, erkin abel gruppalarida turli xil bazislar mavjud bo‘lishi mumkin. Masalan, Z ⊕ Z gruppada {(1, 0), (0, 1)} bazisdan tashqari
{(1, 0), (0, −1)}, {(−1, 0), (0, 1)} va {(−1, 0), (0, −1)} bazislar ham mavjud.
Quyidagi teoremada erkin abel gruppasining turli bazislaridagi elementlari soni bir xil bo‘lishini ko‘rsatamiz.