Abstrakt algebra

4.2.1-teorema. Aytaylik, G gruppa tartibi n ga teng bo‘lgan kommutativ gruppa bo‘lib, m soni n ning bo‘luvchisi bo‘lsin. U holda G gruppaning tartibi m ga teng bo‘lgan qism gruppasi mavjud.


Isbot. n = 1 va n = 2 uchun teorema o‘rinli ekanligi ravshan. Faraz qilaylik, tartibi n dan kichik kommutativ gruppalar uchun teorema o‘rinli bo‘lsin. Agar p tub soni uchun p | m bo‘lsa, u holda m = pm₁ bo‘lib, 4.2.1-lemmaga ko‘ra G gruppada tartibi p ga teng bo‘lgan H qism gruppa mavjud. G gruppa kommutativ bo‘lganligi uchun H normal qism gruppa bo‘lib, G/H faktor gruppa uchun



| |
G/H = ^|G| = ⁿ
|H| p
bo‘ladi.
|G/H| < n va m₁ | |G/H| bo‘lganligi uchun induksiya faraziga ko‘ra G/H faktor gruppada tartibi m₁ ga teng bo‘lgan K/H qism gruppa mavjud. Bu yerdagi K to‘plam G gruppaning qism gruppasi bo‘lib, |K| = |K/H| · |H| = m₁p = m ekanligidan uning tartibi m ga teng ekanligi kelib chiqadi.

Quyidagi teorema Koshi teoremasi nomi bilan atalib, unda tartibi p tub soniga bo‘linuvchi kommutativ bo‘lmagan gruppalar ham tartibi p ga teng bo‘lgan ele- mentga ega ekanligi ko‘rsatiladi. Ushbu teorema Silovning birinchi teoremasining xususiy holi bo‘lganligi uchun biz uni isbotsiz keltiramiz.

4.2.2-teorema (Koshi teoremasi). Agar G gruppaning tartibi n ga teng bo‘lib, n soni p tub soniga bo‘linsa, u holda G gruppada tartibi p ga teng bo‘lgan element mavjud. Xususan, G gruppa tartibi p ga teng bo‘lgan siklik qism gruppaga ega.
Endi bevosita Silov teoremasi uchun kerak bo‘ladigan tushuncha va xossalarni keltirib o‘tamiz. Bizga biror G gruppa berilgan bo‘lsin. Ma’lumki, g ∗ a = g ·a ·g⁻¹ amal orqali G gruppaning o‘zidan o‘ziga ta’sir aniqlash mumkin. U holda ushbu ta’sirda a ∈ G elementning stabilizatori C(a) = {g ∈ G | a · g = g · a} to‘plamdan, orbitasi esa a bilan qo‘shma bo‘ladigan elementlardan iborat bo‘ladi, ya’ni
St(a) = C(a), orb(a) = {b ∈ G | b = g · a · g⁻¹}.
Bizga gruppaning to‘plamga ta’siri mavzusidan ma’lum bo‘lgan |orb(a)| = [G :
St(a)] tenglikdan esa |orb(a)| = ^|G| ekanligiga ega bo‘lamiz.

4.1.2-teoremaga ko‘ra esa
|C(a)|



Σ
|G| = [G : C(a)] (4.1)
a

tenglikka ega bo‘lamiz, bu yerda yig‘indi turli orbitalardan bittadan olingan ele- mentlar bo‘yicha olinadi.

Ma’lumki, agar a ∈ Z(G) bo‘lsa, u holda C(a) = G bo‘lib, orb(a) = {a}
bo‘ladi. Demak, (4.1) tenglikni

kabi yozish mumkin.

|G| = |Z(G)| +

Σ
a∈/Z(G)
[G : C(a)] (4.2)