Abstrakt algebra
Download 0,99 Mb.
|
ABSTRAKT ALGEBRA(oquv qollanma)
- Bu sahifa navigatsiya:
- 4.2.2-teorema (Koshi teoremasi ).
4.2.1-teorema. Aytaylik, G gruppa tartibi n ga teng bo‘lgan kommutativ gruppa bo‘lib, m soni n ning bo‘luvchisi bo‘lsin. U holda G gruppaning tartibi m ga teng bo‘lgan qism gruppasi mavjud.
Isbot. n = 1 va n = 2 uchun teorema o‘rinli ekanligi ravshan. Faraz qilaylik, tartibi n dan kichik kommutativ gruppalar uchun teorema o‘rinli bo‘lsin. Agar p tub soni uchun p | m bo‘lsa, u holda m = pm1 bo‘lib, 4.2.1-lemmaga ko‘ra G gruppada tartibi p ga teng bo‘lgan H qism gruppa mavjud. G gruppa kommutativ bo‘lganligi uchun H normal qism gruppa bo‘lib, G/H faktor gruppa uchun | | G/H = |G| = n |H| p bo‘ladi. |G/H| < n va m1 | |G/H| bo‘lganligi uchun induksiya faraziga ko‘ra G/H faktor gruppada tartibi m1 ga teng bo‘lgan K/H qism gruppa mavjud. Bu yerdagi K to‘plam G gruppaning qism gruppasi bo‘lib, |K| = |K/H| · |H| = m1p = m ekanligidan uning tartibi m ga teng ekanligi kelib chiqadi. Quyidagi teorema Koshi teoremasi nomi bilan atalib, unda tartibi p tub soniga bo‘linuvchi kommutativ bo‘lmagan gruppalar ham tartibi p ga teng bo‘lgan ele- mentga ega ekanligi ko‘rsatiladi. Ushbu teorema Silovning birinchi teoremasining xususiy holi bo‘lganligi uchun biz uni isbotsiz keltiramiz. 4.2.2-teorema (Koshi teoremasi). Agar G gruppaning tartibi n ga teng bo‘lib, n soni p tub soniga bo‘linsa, u holda G gruppada tartibi p ga teng bo‘lgan element mavjud. Xususan, G gruppa tartibi p ga teng bo‘lgan siklik qism gruppaga ega. Endi bevosita Silov teoremasi uchun kerak bo‘ladigan tushuncha va xossalarni keltirib o‘tamiz. Bizga biror G gruppa berilgan bo‘lsin. Ma’lumki, g ∗ a = g ·a ·g−1 amal orqali G gruppaning o‘zidan o‘ziga ta’sir aniqlash mumkin. U holda ushbu ta’sirda a ∈ G elementning stabilizatori C(a) = {g ∈ G | a · g = g · a} to‘plamdan, orbitasi esa a bilan qo‘shma bo‘ladigan elementlardan iborat bo‘ladi, ya’ni St(a) = C(a), orb(a) = {b ∈ G | b = g · a · g−1}. Bizga gruppaning to‘plamga ta’siri mavzusidan ma’lum bo‘lgan |orb(a)| = [G : St(a)] tenglikdan esa |orb(a)| = |G| ekanligiga ega bo‘lamiz. 4.1.2-teoremaga ko‘ra esa |C(a)| Σ |G| = [G : C(a)] (4.1) a tenglikka ega bo‘lamiz, bu yerda yig‘indi turli orbitalardan bittadan olingan ele- mentlar bo‘yicha olinadi. Ma’lumki, agar a ∈ Z(G) bo‘lsa, u holda C(a) = G bo‘lib, orb(a) = {a} bo‘ladi. Demak, (4.1) tenglikni kabi yozish mumkin. |G| = |Z(G)| + Σ a∈/Z(G) [G : C(a)] (4.2) Download 0,99 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2025
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling