Abstrakt algebra

4.2.6-teorema (Silovning uchinchi teoremasi). Chekli gruppaning Silov p-qism gruppalari soni gruppa tartibini bo‘lib, p modul bo‘yicha 1 bilan taqqosla- nuvchi bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, G gruppa uchun n = |G| = p^k · m, k ≥ 1, (p, m) = 1 bo‘lsin. G gruppaning barcha qism gruppalari to‘plamini S(G) = {H | H ≤ G} kabi, barcha Silov p-qism gruppalari sonini esa n_p kabi belgilaymiz. Berilgan G gruppaning S(G) = {H | H ≤ G} to‘plamga ta’sirini quyidagicha aniqlaymiz:
g ∗ H = g · H · g⁻¹, ∀g ∈ G, ∀H ∈ S(G),
ya’ni, ta’sir orqali H qism gruppa o‘ziga qo‘shma bo‘lgan qism gruppaga o‘tadi.
Silovning ikkinchi teoremasiga ko‘ra, ushbu ta’sir orqali barcha Silov p-qism gruppalari bitta orbitada yotishi kelib chiqadi. Demak, qandaydir S Silov p-qism gruppasi uchun n_p = |orb(S)| bo‘ladi. |G| = |orb(S)| · |St(S)| tenglikdan Silov p-qism gruppalari soni n ning bo‘luvchisi ekanligi kelib chiqadi, ya’ni n_p | n.
Endi n_p = 1 + p · q ekanligini, ya’ni Silov p-qism gruppalari soni p modul bo‘yicha 1 bilan taqqoslanuvchi bo‘lishini ko‘rsatamiz. Buning uchun barcha Silov p-qism gruppalari to‘plamini F = {S₁, S₂, . . . , S_|np|} kabi belgilab, S₁ gruppaning F to‘plamga ta’sirini a ∗ S_i = a · S_i · a⁻¹ kabi aniqlaymiz, bu yerda a ∈ S_i va S_i ∈ F (umuman olganda ixtiyoriy S_i0 uchun ta’sir aniqlash mumkin, umumiylikka ziyon yetkazmagan holda i₀ = 1 deb olib, S₁ gruppa uchun aniqlangan ta’sirni qaraymiz).
Ma’lumki, ∀a ∈ S₁ uchun a · S₁ · a⁻¹ = S₁, ya’ni S₁ nuqta qo‘zg‘almas nuqta bo‘ladi. Demak, ushbu ta’sirga nisbatan |orb(S₁)| = 1. Endi ushbu S₁ nuqta yagona qo‘zg‘almas nuqta ekanligini ko‘rsatamiz. Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni qandaydir i /= 1 uchun S_i nuqta qo‘zg‘almas nuqta bo‘lsin, u holda a · S_i · a⁻¹ = S_i, ∀a ∈ S₁. Bundan esa, S₁ · S_i = S_i · S₁ tenglik kelib chiqadi. U holda 1.4.6- teoremaga ko‘ra bu qism gruppalarning ko‘paytmasi H = S_i·S₁ ham G gruppaning qism gruppasi bo‘ladi.
S₁ va S_i Silov p-qism gruppalari H qism gruppada yotganligi uchun, ular H gruppaning Silov p-qism gruppalari. Bundan esa, Silovning ikkinchi teoremasiga ko‘ra, ular H gruppada ham o‘zaro qo‘shma bo‘ladi, ya’ni ∃h ∈ H topilib, S₁ = h · S_i · h⁻¹. Bundan esa, h = a · b, a ∈ S₁, b ∈ S_i ekanligini hisobga olib,
S₁ = a · b · S_i · (a · b)⁻¹ = a · (b · S_i · b⁻¹) · a⁻¹ = a · S_i · a⁻¹ = S_i
tenglikka ega bo‘lamiz. Demak i = 1.
Shunday qilib, biz S₁ ∗ F → F ta’sir S₁ nuqtadan boshqa qo‘zg‘almas nuqtaga ega emasligini ko‘rsatdik. F to‘plamning elementlari soni orbitalardagi elementlar soni yig‘indilariga teng va faqatgina bitta orbita bitta elementli qolgan orbitalar

elementlari soni |orb(S )| = ^pk
bo‘lib, ular p ga bo‘linganligi uchun n
= 1+p·q

i
tenglik kelib chiqadi.
|St(S_i)| ^p

Demak, Silovning uchinchi teoremasidan G gruppaning tartibi p^k · m ga teng bo‘lsa, u holda uning Silov p-qism gruppalari soni n_p = 1 + pq bo‘lib, n_p | m
ekanligi kelib chiqadi.
4.2.3-misol. Agar G nokommutativ gruppa uchun |G| = p³ bo‘lsa, u holda
|Z(G)| = p ekanligini ko‘rsating, bu yerda p – tub son.
Yechish. |G| = p³ ekanligidan 4.2.3-teoremaga ko‘ra |Z(G)| > 1 kelib chiqadi. G gruppa nokommutativ bo‘lganligi uchun |Z(G)| /= p³. Demak, |Z(G)| = p yoki |Z(G)| = p². Agar |Z(G)| = p² bo‘lsa, u holda |G/Z(G)| = p bo‘lib, G/Z faktor gruppaning siklik ekanligi, bundan esa, G gruppaning kommutativligi kelib chiqadi. Demak, |Z(G)| = p. Q
4.2.4-misol. Tartibi 45 ga teng bo‘lgan ixtiyoriy gruppa tartibi 9 ga teng normal qism gruppaga ega ekanligini ko‘rsating.
Yechish. Gruppaning tartibi 45 = 3² · 5 bo‘lganligi uchun, uning Silov 3- qism gruppasi mavjud. U holda Silovning uchinchi teoremasiga ko‘ra, Silov 3- qism gruppalarning soni uchun n₃ = 3k + 1 va n₃ | 45. Bu munosabatlar esa k = 0, ya’ni n₃ = 1 bo‘lgandagina bajariladi. Demak, gruppaning yagona Silov 3-qism gruppasi mavjud bo‘lib, uning tartibi 9 ga teng. Silov 3-qism gruppasining yagonaligidan esa, uning normal bo‘lishi kelib chiqadi. Q
4.2.5-misol. Tartibi 96 ga teng bo‘lgan gruppaning tartibi 16 yoki 32 ga teng bo‘lgan normal qism gruppasi mavjudligini ko‘rsating.
Yechish. Tartibi 96 = 2⁵ ·3 bo‘lgan G gruppaning Silov 2-qism gruppalari soni n₂ bo‘lsin. Silovning uchinchi teoremasiga ko‘ra n₂ = 2k + 1 va n₂ | 96 bo‘ladi. Bundan esa, n₂ = 1 yoki n₂ = 3 ekanligi kelib chiqadi.
Agar n₂ = 1 bo‘lsa, u holda gruppaning yagona Silov 2-qism gruppasi mavjud.
Uning tartibi 32 ga teng bo‘lib, u normal qism gruppa bo‘ladi.
Agar n₂ = 3, ya’ni G gruppaning 3 ta Silov 2-qism gruppasi mavjud bo‘lsa, u holda ushbu Silov 2-qism gruppalarni A, B va C kabi belgilab, A ∩ B kesishmani qaraymiz. |A| = |B| = |C| = 32 ekanligidan A ∩ B qism gruppaning tartibi ham 32 ning bo‘luvchisi ekanligi kelib chiqadi. A /= B bo‘lganligi uchun |A ∩ B| <

|AB|
32, hamda |AB| ≤ 96 ekanligidan va |A ∩ B| = |AB| = ^|A||B|
₌ 32·32
|AB|
₌ 32·32
|AB|

tenglikdan |A ∩ B| > 8 bo‘lishini hosil qilamiz. Demak, |A ∩ B| = 16. Bundan esa,
[A : A ∩ B] = 2 va [B : A ∩ B] = 2 kelib chiqib, A ∩ B a A va A ∩ B a B ekanligi hosil bo‘ladi. Bu esa, A, B ⊆ N (A∩B), ya’ni AB ⊆ N (A∩B) ekanligini bildiradi.

|A∩B|

·₌
|N (A ∩ B)| ≥ |AB| = ^|A||B|
32 32
16
= 64 munosabatdan esa, |N (A ∩ B)| = 96,

ya’ni N (A ∩ B) = G kelib chiqadi. Bu esa A ∩ B qism gruppa G gruppaning tatribi 16 ga teng normal qism gruppasi ekanligini anglatadi. Q

4.2.6-misol. Agar tartibi 52 ga teng bo‘lgan gruppa tartibi 4 ga teng normal qism gruppaga ega bo‘lsa, u holda gruppaning kommutativ ekanligini isbotlang.
Yechish. Aytaylik, G gruppaning H normal qism gruppasi mavjud bo‘lib,
|H| = 4 bo‘lsin. U holda H kommutativ bo‘ladi. Ikkinchi tomondan esa, |G| = 13·4 bo‘lgani uchun gruppaning Silov 13-qism gruppalari mavjud, hamda ularning soni 13k + 1 bo‘lib, u 52 sonining bo‘luvchisi. Bundan esa, G gruppa yagona Silov 13-qism gruppaga ega ekanligi kelib chiqadi. Agar ushbu Silov 13-qism gruppani A orqali belgilasak, A a G bo‘lib, A ∩ H = {e} bo‘ladi. Ushbu A va

| ∩ |
H qism gruppalarning normal ekanligidan va |AH| = ^|A||H| = 52 bo‘lishidan esa,
A H
G = A × H kelib chiqadi. Har ikkala A va H normal qism gruppalar kommutativ
bo‘lganligi uchun G ham kommutativ bo‘ladi. Q

1. Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

   1. 
      Tartibi 14 ga teng bo‘lgan gruppaning tartibi 7 ga teng yagona normal qism gruppasi mavjudligini isbotlang.
      
   2. 
      Tartibi 24 ga teng bo‘lgan gruppaning tartibi 7 ga teng bo‘lgan elementlari nechta bo‘lishini aniqlang.
      
   3. 
      Tartibi 36 ga teng bo‘lgan kommutativ gruppaning tartibi 6 ga teng bo‘lgan elementga ega ekanligini ko‘rsating.
      
   4. 
      Tartibi 15 ga teng bo‘lgan gruppaning kommutativ ekanligini isbotlang.
      
   5. 
      (Z₁₂, +₁₂) gruppaning barcha 2-qism gruppalarini toping.
      
   6. 
      (Z₁₂, +₁₂) gruppaning barcha 3-qism gruppalarini toping.
      
   7. 
      A₄ gruppaning barcha 2-qism gruppalarini toping.
      
   8. 
      Tartibi pq ga teng bo‘lgan kommutativ gruppaning siklik ekanligini isbotlang. Bu yerda p, q-tub sonlar va p /= q.
      
   9. 
      Tartibi p² ga teng bo‘lgan gruppaning siklik bo‘lishini yoki siklik gruppalarn- ing to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifodalanishini isbotlang.
      
   10. 
       Agar tartibi 28 ga teng bo‘lgan gruppa tartibi 4 ga teng yagona qism grup- paga ega bo‘lsa, u holda bu gruppaning kommutativ ekanligini isbotlang.
       
   11. 
       S₄ gruppaning barcha Silov 3-qism gruppalarini toping.
       

12. 
    Gruppa yagona xos qism gruppaga ega bo‘lishi uchun u siklik bo‘lib, tartibi
    

p² ga teng bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.

13. 
    |G/Z(G)| = 91 tenglik o‘rinli bo‘ladigan G gruppa mavjudmi?
    
14. 
    Agar G gruppaning P Silov p-qism gruppasi va H qism grupalari berilgan bo‘lib, N_G(P ) ⊆ H bo‘lsa, u holda N_G(H) = H ekanligini isbotlang.
    
15. 
    Agar G gruppaning P Silov p-qism gruppasi va H qism grupalari berilgan bo‘lib, P a H va H a G bo‘lsa, u holda P a G ekanligini isbotlang.
    
16. 
    Agar |G| = 143 bo‘lsa, uning Silov 11-qism gruppasi yagona ekanligini ko‘rsating.
    

17. 
    G gruppa va uning H normal qism gruppasi berilgan bo‘lsin. H gruppaning ixtiyoriy P Silov p-qism gruppasi uchun G = H · N_G(P ) bo‘lishini isbotlang.
    
18. 
    Ixtiyoriy chekli kommutativ gruppa o‘zining Silov p-qism gruppalari ichki to‘g‘ri ko‘paytmalari shaklida ifodalanishini isbotlang.
    
19. 
    Agar |G| = p^m bo‘lib, H to‘plam G gruppaning xos qism gruppasi bo‘lsa, u
    

holda aHa⁻¹ = H shartni qanoatlantiruvchi a ∈ G, a ∈/
ekanligini isbotlang.