Abstrakt algebra

Nilpotent gruppalar

Endi nilpotent gruppalar ta’rifini kiritib ularning xossalarini keltiramiz.
4.4.4-ta’rif. Agar G gruppada G_i/G_i+1 ⊆ Z(G/G_i+1) shartni qanoatlantiruvchi
G = G₀ ⊇ G₁ ⊇ G₂ ⊇ · · · ⊇ G_n−1 ⊇ G_n = {e}
normal qator mavjud bo‘lsa, u holda G gruppaga nilpotent gruppa deb ataladi. Berilgan qatorga esa G gruppaning markaziy qatori deyiladi.

Ta’kidlash joizki, ixtiyoriy normal qator subnormal bo‘lganligi va Z(G/G_i) gruppaning kommutativligidan, ixtiyoriy nilpotent gruppaning yechiluvchan ekan- ligi kelib chiqadi. Bundan tashqari, ixtiyoriy kommutativ gruppa ham nilpotent bo‘ladi. Quyidagi misolda esa, yechiluvchan S₃ gruppaning nilpotent emasligini ko‘rsatamiz.

4.4.5-misol. S₃ o‘rin almashtirishlar gruppasi uchun ikkita normal qator mavjud bo‘lib, ular quyidagilardan iboratdir


S₃ ⊇ {e}
va
S₃ ⊇ {e, (1 2 3), (1 3 2)} ⊇ {e}.
Birinchi qator uchun S₃/{e} ¢ Z(S₃/{e}) ekanligi ravshan.
Ikkinchi qator uchun esa H₁/{e} ¢ Z(S₃/{e}) bo‘ladi, bu yerda H₁ =
{e, (1 2 3), (1 3 2)}. Demak, S₃ gruppa nilpotent emas.
Quyidagi teoremada ixtiyoriy chekli p-gruppasining nilpotent ekanligini ko‘rsatamiz.
4.4.6-teorema. Chekli p-gruppa nilpotent bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, G gruppa chekli p-gruppa bo‘lsin. Agar |G| = 1 bo‘lsa, u holda uning nilpotent ekanligi ma’lum. Aytaylik, |G| > 1 bo‘lsin, u holda p- gruppaning markazi uchun |Z(G)| > 1 ekanligidan H₁ = Z(G) /= {e} bo‘ladi (4.2.3-teoremaga ko‘ra). Agar G /= Z(G) bo‘lsa, u holda |G/Z(G)| > 1 bo‘lib, G/Z(G) ham p-gruppa bo‘lganligi uchun |Z(G/H₁)| > 1. U holda G gruppaning shunday H₂ normal qism gruppasi topilib, H₁ ⊂ H₂ va H₂/H₁ = Z(G/H₁) bo‘ladi.

Natijada biz {e} ⊂ H₁ ⊂ H₂ qatorni hosil qilamiz. Agar G
ushbu jarayonni yana davom ettirgan holda,
{e} ⊂ H₁ ⊂ H₂ ⊂ · · · ⊂ H_n
H₂ bo‘lsa, u holda

normal qatorni hosil qilamiz. G gruppa chekli bo‘lganligi uchun bu jarayon chekli qadamdan keyin to‘xtaydi, ya’ni H_n = G bo‘ladi. Ushbu normal qator uchun H_i+1/H_i = Z(G/H_i) ekanligidan G gruppaning nilpotentligi kelib chiqadi.
Endi berilgan G gruppa uchun quyi markaziy qator tushunchasini kiritamiz.
Gruppaning G^[i] qism gruppalarini quyidagicha aniqlaymiz
G^[1] = G, G^[2] = [G^[1], G], . . . , G^[i] = [G^[i−1], G], i ≥ 1.
U holda ushbu qator
G = G^[1] ⊇ G^[2] ⊇ G^[3] ⊇ . . .
markaziy qator bo‘lib, uni G gruppaning quyi markaziy qatori deb ataladi.

4.4.7-teorema. G gruppa nilpotent bo‘lishi uchun G^[n] = {e} shartni qanoat- lantiruvchi n natural son topilishi zarur va yetarli.
Isbot. Aytaylik, qandaydir natural n soni uchun G^[n] = {e} bo‘lsin. U holda
{e} = G^[n] ⊆ G^[n−1] ⊆ · · · ⊆ G^[2] ⊆ G^[1] = G
qator markaziy qator bo‘lib, G gruppaning nilpotent ekanligi kelib chiqadi.
Endi buning aksini, ya’ni agar G gruppa nilpotent bo‘lsa, u holda G^[m] =
{e} shartni qanoatlantiruvchi m natural soni mavjudligini ko‘rsatamiz. Gruppa nilpotent bo‘lganligi uchun
{e} = G₀ ⊆ G₁ ⊆ G₂ ⊆ · · · ⊆ G_n = G
markaziy qator mavjud. U holda G_i+1/G_i ⊆ Z(G/G_i) bo‘lib, ∀g_i+1 ∈ G_i+1 va g ∈ G uchun g_i+1G_i · gG_i = gG_i · g_i+1G_i bo‘ladi. Bundan esa, g_i+1gG_i = gg_i+1G_i ekanligi, ya’ni g⁻¹ g⁻¹g_i+1gG_i = G_i bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa, g⁻¹ g⁻¹g_i+1g ∈

i+1
G_i ekanligini, ya’ni [G_i+1, G] ⊆ G_i bo‘lishini anglatadi.
i+1

Biz endi G^[i] ⊆ G_n−i+1, 1 ≤ i ≤ n + 1 ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun i
ga nisbatan induksiya metodidan foydalanamiz. G^[1] = G = G_n ekanligidan ushbu munosabatning i = 1 da o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Faraz qilaylik, G^[j] ⊆ G_n−j+1 munosabat o‘rinli bo‘lsin. U holda
G^[j+1] = [G^[j], G] ⊆ [G_n−j+1, G] ⊆ G_n−j.
Demak, G^[i] ⊆ G_n−i+1 munosabat i = 1, 2, . . . , n + 1 lar uchun o‘rinli. Demak,
G^[n+1] ⊆ G₀ = {e} bo‘ladi.
Yuqoridagi teoremadan foydalanib, nilpotent gruppaning ixtiyoriy qism grup- pasi ham nilpotent bo‘lishini ko‘rsatish qiyin emas. Chunki, agar G gruppa nilpo- tent bo‘lsa, u holda qandaydir n soni uchun G^[n] = {e} bo‘ladi. Gruppaning ixtiyoriy H qism gruppasi uchun H^[i] ⊆ G^[i] ekanligidan H^[n] = {e} bo‘lishi, ya’ni qism gruppaning ham nilpotentligi kelib chiqadi.
Endi gruppa uchun yuqori markaziy qator tushunchasini kiritamiz. Beril- gan G gruppa uchun Z₀(G) = {e} va Z₁(G) = Z(G) kabi belgilashlarni kirita- miz. Z₁(G) qism gruppa G da normal bo‘lganligi uchun G/Z₁(G) faktor grup- pani qarash mumkin, hamda Z(G/Z₁(G)) ham o‘z navbatida faktor gruppa- ning normal qism gruppasi bo‘ladi. U holda G gruppaning Z₁(G) ⊆ Z₂(G) va Z₂(G)/Z₁(G) = Z(G/Z₁(G)) shartlarni qanoatlantiruvchi yagona Z₂(G) normal qism gruppasi mavjud.
Ushbu jarayonni davom ettirgan holda, Z_i(G) ⊆ Z_i+1(G) va Z_i+1(G)/Z_i(G) =
Z(G/Z_i(G)) shartlarni qanoatlantiruvchi
{e} = Z₀(G) ⊆ Z₁(G) ⊆ Z₂(G) ⊆ · · · ⊆ Z_n(G) ⊆ . . .

qatorni hosil qilamiz. Ushbu Z_i(G) qism gruppalar G da normal bo‘lganligi uchun, biz hosil qilgan qator normal qator bo‘ladi. Ushbu qatorga G gruppaning yuqori markaziy qatori deb ataladi.

Ta’kidlash joizki, agar G gruppada qandaydir n natural son uchun Z_n(G) = G
tenglik o‘rinli bo‘lsa, biz hosil qilgan
{e} = Z₀(G) ⊆ Z₁(G) ⊆ Z₂(G) ⊆ · · · ⊆ Z_n(G) = G
qator markaziy qator bo‘ladi, chunki Z_i+1(G)/Z_i(G) = Z(G/Z_i(G)).
Demak, agar Z_n(G) = G bo‘lsa, u holda G nilpotent bo‘ladi. Quyidagi teore- mada esa, ushbu munosabatning teskarisi ham o‘rinli ekanligini isbotlaymiz.
4.4.8-teorema. Agar G gruppa nilpotent bo‘lsa, u holda n natural soni mavjud bo‘lib, G = Z_n(G) bo‘ladi.
Isbot. Gruppa nilpotent ekanligidan
{e} = G₀ ⊆ G₁ ⊆ G₂ ⊆ · · · ⊆ G_n = G

j+1
markaziy qator mavjud ekanligi kelib chiqadi. Ya’ni G_i/G_i−1 ⊆ Z(G/G_i−1). Teo- remani isbotlash uchun induktiv tarzda G_i ⊆ Z_i(G) ekanligini ko‘rsatamiz. i = 0 uchun G₀ = {e} = Z₀(G) bo‘lib, induksiya bazasi o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Aytaylik, G_j ⊆ Z_j(G) bo‘lsin, u holda [G_j+1, G] ⊆ G_j ⊆ Z_j(G) ekanligidan foy- dalansak, ∀g_j+1 ∈ G_j+1 va ∀g ∈ G uchun g⁻¹ g⁻¹g_j+1g ⊆ Z_j(G) kelib chiqadi. Bundan g_j+1Z_j(G) · gZ_j(G) = gZ_j(G) · g_j+1Z_j(G) tenglikka ega bo‘lamiz. Bu esa g_j+1Z_j(G) ∈ Z(G/Z_j(G)) = Z_j+1(G)/Z_j(G) ekanligini, ya’ni g_j+1 ∈ Z_j+1(G) bo‘lishini anglatadi. Demak, G_j+1 ⊆ Z_j+1(G). U holda G_n = G ekanligidan Z_n(G) = G bo‘lishi kelib chiqadi.
Quyidagi lemmada yuqori markaziy qator uchun o‘rinli bo‘ladigan xossalardan birini keltiramiz.
4.4.1-lemma. Agar G gruppa H va K gruppalarning to‘g‘ri ko‘paytmasidan iborat bo‘lsa, ya’ni G = H × K bo‘lsa, u holda Z_i(G) = Z_i(H) × Z_i(K) bo‘ladi.
Isbot. Lemmani i ga nisbatan induksiya usulidan foydalanib isbotlaymiz.
Agar i = 1 bo‘lsa, u holda
Z₁(G) = Z(G) = Z(H × K) = Z(H) × Z(K) = Z₁(H) × Z₁(K)
ekanligidan lemmaning o‘rinli bo‘lishi kelib chiqadi.
Faraz qilaylik, lemmadagi tenglik i = k uchun o‘rinli bo‘lsin, ya’ni Z_k(G) = Z_k(H) × Z_k(K). Biz uni i = k + 1 uchun o‘rinli ekanligini ko‘rsatamiz. Ma’lumki, Z_k+1(G) qism gruppa G gruppaning Z_k(G) ⊆ Z_k+1(G) va Z_k+1(G)/Z_k(G) = Z(G/Z_k(G)) shatlarni qanoatlantiruvchi yagona normal qism gruppasi. Tabiiy





= Z

(H × K)/Z_k(H) × Z_k(K)

Z(G/Z_k(G)) = Z (H × K)/Z_k(H × K)
ravishda aniqlanuvchi quyidagi ψ : H/Z_i(H) × K/Z_i(K) → (H × K)/Z_i(H × K) izomorfizmni qaraymiz. U holda

= Z ψ((H/Z_k(H)) × (K/Z_k(K)))

= ψ Z_k+1(H)/Z_k(H) × Z_k+1(K)/Z_k(K)

= ψ

=






Z(H/Z_k(H)) × Z(K/Z_k(K))

= ψ Z(H/Z_k(H) × K/Z_k(K))

Z_k+1(H) × Z_k+1(K)

/Z_k(H × K)
= Z_k+1(H) × Z_k+1(K) /Z_k(G).
Demak, Z_k+1(G) = Z_k+1(H) × Z_k+1(K).
Yuqoridagi lemmadan nilpotent gruppalarning to‘g‘ri ko‘paytmasi yana nilpo- tent bo‘lishi kelib chiqadi. Chunki, agar H va K gruppalar nilpotent bo‘lsa, u holda Z_n(H) = H va Z_n(K) = K bo‘lib, Z_n(H × K) = Z_n(H) × Z_n(K) = H × K ekanligidan ularning to‘g‘ri ko‘paytmasi ham nilpotent bo‘lishini hosil qilamiz. Ushbu mulohazani umumlashtirgan holda quyidagi teoremaga ega bo‘lamiz.
4.4.9-teorema. Agar G₁, G₂, . . . , G_n gruppalar nilpotent bo‘lsa, u holda G₁×G₂×
· · · × G_n gruppa ham nilpotent bo‘ladi.
Quyidagi teoremada biz gruppaning nilpotent bo‘lishiga ekvivalent bo‘lgan bir qancha shartlarni keltiramiz. Xususan, ushbu teorema nilpotent gruppalarni p- gruppalar orqali to‘liq tasniflash imkonini beradi.