Abstrakt algebra

Halqalarning gomomorfizmi va izomorfizmi

Ushbu mavzuda biz halqalar uchun gomomorfizm va izomorfizmlar tushuncha- larini kiritib, izomorfizm va moslik teoremalarini keltiramiz.
5.3.1-ta’rif. Bizga (R, +, ·) va (R^′, +^′, ·^′) halqalar va f : R → R^′ akslantirish berilgan bo‘lsin. Agar ixtiyoriy a, b ∈ R elementlar uchun
f (a + b) = f (a) +^′ f (b),
f (a · b) = f (a) ·^′ f (b)
tengliklar o‘rinli bo‘lsa, u holda f akslantirish R halqani R^′ halqaga o‘tkazuvchi
gomomorfizm deb ataladi.
5.3.2-ta’rif. Bizga R va R^′ halqalar hamda f : R → R^′ gomomorfizm berilgan bo‘lsin.

• 
  Agar f syurektiv bo‘lsa, u holda f akslantirish epimorfizm deyiladi;
  

• 
  Agar f inyektiv bo‘lsa, u holda f akslantirish monomorfizm deyiladi;
  
• 
  Agar f biyektiv bo‘lsa, u holda f akslantirish izomorfizm deyiladi;
  
• 
  R halqani o‘zini o‘ziga akslantiruvchi izomorfizm esa avtomorfizm deb ata- ladi.
  

Agar R halqani R^′ halqaga o‘tkazuvchi izomorfizm mavjud bo‘lsa, u holda ^{ushbu halqalar izomorf deyiladi va R ∼}= ^{R′ kabi belgilanadi. R halqani o‘zini}
o‘ziga o‘tkazuvchi barcha avtomorfizmlar to‘plami esa Aut(R) kabi belgilanadi. Halqalarning gomomorfizmi uchun quyidagi xossalar o‘rinli bo‘lib, ushbu xossalar gruppaning gomomorfizmi xossalari kabi isbotlanadi.
5.3.1-teorema. Bizga R va R^′ halqalar, hamda f : R → R^′ gomomorfizm berilgan bo‘lsin. U holda quyidagilar o‘rinli:
1) f (0) = 0^′.
2) f (−a) = −f (a).

3. 
   Agar R halqaning A qism halqasi berilgan bo‘lsa, u holda f (A) = {f (x) | x ∈
   

A} to‘plam R^′ halqaning qism halqasi bo‘ladi.

3. 
   Agar R^′ halqaning B qism halqasi berilgan bo‘lsa, u holda f ⁻¹(B) = {x ∈
   

R | f (x) ∈ B} to‘plam R halqaning qism halqasi bo‘ladi.

3. 
   Agar R kommutativ bo‘lsa, u holda f (R) ham kommutativ bo‘ladi.
   
4. 
   Agar R biri bor halqa bo‘lib, f epimorfizm bo‘lsa, u holda R^′ ham birlik ele- mentga ega va f (1) = 1^′ bo‘ladi.
   
5. 
   
   ∈
   Agar R biri bor halqa bo‘lib, f epimorfizm va a R element teskarilanuvchi bo‘lsa, u holda f (a) ham teskarilanuvchi, hamda f (a)⁻¹ = f (a⁻¹).
   

R halqani R^′ halqaga o‘tkazuvchi f : R → R^′ gomomorfizmning yadrosi deb quyidagi to‘plamga aytiladi
Kerf = {a ∈ G | f (a) = 0^′}.
Yuqoridagi teoremaga ko‘ra ixtiyoriy gomomorfizmining yadrosi bo‘sh emas, chunki 0 ∈ Kerf. Bundan tashqari halqa gomomorfizmining yadrosi ikki yoqlama ideal bo‘ladi. Haqiqatdan ham, agar a, b ∈ Kerf va x ∈ R bo‘lsa, u holda f (a) = f (b) = 0 ekanligidan f (a − b) = f (a) − f (b) = 0, f (a · x) = f (a) · f (x) = 0 va f (x · a) = f (x) · f (a) = 0 bo‘lishini hosil qilamiz. Bu esa a − b, a · x, x · a ∈ Kerf ekanligini, ya’ni halqa gomomorfizmi yadrosining ideal bo‘lishini anglatadi.


5.3.1-misol. • R halqani R^′ halqaga o‘tkazuvchi f (a) = 0^′ kabi aniqlangan
f : R → R^′ akslantirish gomomorfizm bo‘lib, Kerf = R bo‘ladi.

• 
  R halqani o‘zini o‘ziga o‘tkazuvchi ayniy akslantirsh gomomorfizm bo‘lib, Kerf = {0} bo‘ladi. Bundan tashqari ushbu ayniy akslantirish avtomorfizm bo‘ladi.
  

Endi (Z, +, ·) butun sonlar halqasini (Z_n, +_n, ·_n) chegirmalar halqasiga o‘tkazuvchi gomomorfizmga misol keltiramiz.
5.3.2-misol. Z halqani Z_n halqaga o‘tkazuvchi f (a) = a kabi aniqlangan aks- lantirish gomomorfizm bo‘lib, uning yadrosi uchun Kerf = nZ munosabat o‘rinli. Ya’ni ushbu akslantirishning yadrosi n soniga karrali bo‘lgan butun sonlar to‘plamidan iborat bo‘ladi.

→
Quyidagi misolda biri bor R va R^′ halqalar uchun f : R R^′ gomo- morfizm syurektiv bo‘lmasa, u holda f (1) = 1^′ tenglik har doim ham o‘rinli bo‘lavermasligini ko‘rsatamiz. Buning uchun Z × Z to‘plamda quyidagi amallarni aniqlaymiz

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) · (c, d) = (a · c, b · d).

U holda Z × Z to‘plam ushbu qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil qilib, bu halqaning nol elementi (0, 0), birlik elementi esa (1, 1) bo‘ladi.
5.3.3-misol. Z halqadan Z ⊕ Z halqaga bo‘lgan f : Z → Z ⊕ Z akslantirishni quyidagicha aniqlaylik
f (x) = (x, 0), ∀x ∈ Z.
Ushbu akslantirish gomomorfizm bo‘lib, u inyektiv, lekin syurektiv emas. Ya’ni bu akslantirish monomorfizm, lekin epimorfizm emas. Z halqaning birlik elementi uchun f (1) = (1, 0) bo‘lib, bu element Z ⊕ Z halqaning birlik elementi emas. Ya’ni birinchi halqa birlik elementining obrazi ikkinchi halqaning birlik elementi bo‘lmaydi.
Biz avvalgi mavzuda (Z[√3], +, ·) va (Z[√5], +, ·) halqalarni qarab o‘tgan edik.
Bir qarashda ushbu halqalar izomorf halgalarga o‘xshab ko‘rinadi. Lekin ular izomorf halqalar bo‘lmaydi.
5.3.4-misol. (Z[^√3], +, ·) va (Z[^√5], +, ·) halqalar izomorf emasligini ko‘rsating.
Yechish. Teskarini faraz qilamiz, ya’ni f : Z[√3] → Z[√5] izomorfizm mavjud
bo‘lsin. U holda f (1) = 1 bo‘lib, bundan esa f (3) = 3 ekanligi kelib chiqadi. Ikkinchi tomondan esa,
f (3) = f (^√3²) = (f (^√3))²
munosabatdan f (√3) = √3 tenglikka ega bo‘lamiz. Demak, √3 ∈ Z[√5]. Bu esa ziddiyat. Q
Endi gruppalar nazariyasida bo‘lgani kabi tabiiy gomomorfizm tushunchasi va izomorfizm haqidagi teoremalarni keltiramiz. Teoremalarning isbotlari gruppalar uchun berilgan teoremalar isboti kabi bo‘lganligi uchun biz ularning isbotlariga batafsil to‘xtalib o‘tirmaymiz.
Bizga R halqa va uning I ideali berilgan bo‘lsin. U holda quyidagi g : R → R/I
akslantirishni qaraymiz
g(a) = a + I, ∀a ∈ R.
Ushbu akslantirish gomomorfizm bo‘lib, u tabiiy gomomorfizm deb ataladi. Tabiiy gomomorfizm syurektiv bo‘lib, Kerg = I munosabat o‘rinli.
5.3.2-teorema. Bizga R halqani R^′ halqaga o‘tkazuvchi f : R → R^′ epimorfizm berilgan bo‘lsin. Agar R halqaning I ideali uchun I ⊆ Kerf munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda g : R → R/I syurektiv tabiiy gomomorfizm uchun f = h ◦ g shartni qanoatlantiruvchi yagona h : R/I → R^′ epimorfizm mavjud. Shuningdek, h inyektiv bo‘lishi uchun I = Kerf tenglik o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Teoremani isbotlash uchun h : R/I → R^′ akslantirishni h(a+I) = f (a) kabi aniqlaymiz. Ushbu akslantirish to‘g‘ri aniqlangan bo‘lib, f = h ◦ g tenglik o‘rinli bo‘ladi. Uning gomomorfizm ekanligi esa quyidagi tenglikdan kelib chiqadi
h (a + I) · (b + I) = h(a · b + I) = f (a · b) = f (a) · f (b) = h(a + I) · h(b + I).



Endi bevosita izomorfizm haqidagi teoremalarni keltiramiz.