Abstrakt algebra
Download 0.99 Mb.
|
ABSTRAKT ALGEBRA(oquv qollanma)
- Bu sahifa navigatsiya:
- 5.2.4-misol.
- 5.2.5-misol.
5.2.7-teorema. (R/I, +, ·) to‘plam halqa tashkil qiladi.
Isbot. Dastlab, R/I to‘plamda aniqlangan ko‘paytirish amalini to‘g‘ri aniqlanganligini isbotlaymiz. Ya’ni agar a + I = a′ + I va b + I = b′ + I bo‘lsa, u holda ab + I = a′b′ + I ekanligini ko‘rsatamiz. a′ ∈ a′ + I = a + I bo‘lganligi uchun, shunday x ∈ I element topilib, a′ = a + x bo‘ladi. O‘z navbatida, b′ ∈ b + I bo‘lganligi uchun qandaydir y ∈ I element uchun b′ = b + y. U holda a′b′ = (a + x)(b + y) = ab + ay + xb + xb. Bundan esa a′b′ − ab = ay + xb + xb ∈ I ekanligi kelib chiqadi, ya’ni ab + I = a′b′ + I. R/I to‘plamda ko‘paytirish amaliga nisbatan assosiativlikning o‘rinli bo‘lishi va destributivlik shartining bajarilishi esa ko‘paytmaning aniqlanishidan va 5.2.6- teoremadan bevosita kelib chiqadi. Yuqorida aniqlangan (R/I, +, ·) halqaga R halqaning I ideali bo‘yicha faktor halqasi deb ataladi. Masalan, Z butun sonlar halqasining I = nZ ideali bo‘yicha faktor halqasi Z/nZ = {nZ, 1 + nZ, . . . , n − 1 + nZ} sinflardan iborat bo‘ladi. 5.2.4-misol. Agar R halqaning ixtiyoriy a ∈ R elementi uchun a2 + a ∈ C(R) bo‘lsa, u holda halqaning kommutativ ekanligini isbotlang. Yechish. Aytaylik, a, b ∈ R bo‘lsin, u holda a2 + a, b2 + b ∈ C(R). Ikkinchi tomondan esa, (a + b)2 + a + b ∈ C(R), ya’ni a2 + ab + ba + b2 + a + b ∈ C(R). Bu munosabatdan esa, ab + ba ∈ C(R) ekanligi kelib chiqadi. Demak, a(ab + ba) = (ab + ba)a, ya’ni a2b = ba2. Bu esa a2 ∈ C(R) ekanligini bildiradi. a2 + a ∈ C(R) ekanligidan esa a ∈ C(R) kelib chiqadi. Shunday qilib, biz R halqaning ixtiyoriy a ∈ R elementi uning markazida yotishini ko‘rsatdik. Demak, R kommutativ halqa. Q 5.2.5-misol. M2(R) halqa sodda halqa ekanligini ko‘rsating. 1 0 Yechish. Aytaylik, M2(R) halqaning qandaydir notrivial J ideali mavjud bo‘lsin. U holda noldan farqli A = a b c d va C = 0 1 matritsalarni qarasak, 0 0 ∈ J element mavjud. B = 0 0 d 0 0 0 0 0 AB = b 0 , CD = c d , CAB = d 0 . Ma’lumki, J ideal bo‘lganligi uchun AB, CA, CAB ∈ J. Bundan esa, a, b, c, d sonlarining hech bo‘lmaganda bittasi noldan farqli bo‘lganligi uchun har doim a =/ 0 deb olish mumkinligi kelib chiqadi. U holda 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 = 0 1 , 0 0 0 1 = 0 0 elementlarning ham J idealga tegishli ekanligi kelib chiqadi. Demak, 0 1 0 0 0 1 E = 1 0 = 1 0 + 0 0 ∈ J kelib chiqadi. Bu esa J = M2(R) ekanligini bildiradi. Ya’ni, M2(R) halqa sodda emas. Q Mustaqil ishlash uchun misol va masalalarButun sonlar halqasining quyidagi qism to‘plamlarining qaysilari qism halqa tashkil qilishini aniqlang: 4Z. 4Z + 1. 5Z + 2. 4Z + 2. Quyidagi halqalarning barcha qism halqalarini aniqlang: Z12, Z15, Z16, Z20, Z30, Z. Quyidagi to‘plamlarni M2(R) matritsalar halqasining qism halqalari ekanli- gini ko‘rsating: A1 = a b ( 0 c ! | a, b, c ∈ R) . A2 = a b ( ( −b a ! | a, b ∈ R) . A3 = a b 0 a ! | a, b ∈ R) . A4 a ( 3 a ( = −b√ b√3 ! | a, b ∈ Q) . A5 = a + b b −b a ! | a, b ∈ Z) . Agar R biri bor halqa bo‘lsa, u holda T = {n1 | n ∈ Z} to‘plam qism halqa bo‘lishini isbotlang. R halqaning T = {a ∈ R | na = 0} qism to‘plami qism halqa bo‘lishini ko‘rsating. Agar a ∈ R element halqaning idempotent elementi bo‘lsa, u holda aRa to‘plam qism halqa bo‘lishini isbotlang. Z[x] ko‘phadlar halqasining ozod hadi juft butun sonlardan iborat bo‘lgan qism halqasi ideal bo‘lib, bosh ideal bo‘lmasligini ko‘rsating. Quyidagi halqalarning qism to‘plamlari ideal bo‘lishini ko‘rsating: R = Z24, I = {0, 8, 16}. √ √ R = Z28, I = {0, 7, 14, 21}. R = Z[ 7], I = {a + b 7 | a, b ∈ Z, a − b juft son}. 0 c 0 c R = ( a b ! | a, b, c ∈ Z) , I = ( 0 b ! | a ∈ Z) . 0 c 0 0 R = ( a b ! | a, b, c ∈ Z) , I = ( 0 a ! | a ∈ Z) . Yuqoridagi misollardagi halqalarning berilgan ideali bo‘yicha faktor halqa- larini aniqlang. ( R = a b 0 c ! | a, b, c ∈ Z) halqaning barcha ideallarini aniqlang. Aytaylik, a11 a12 a13 R = 0 a a 0 0 a33 0 b c 0 x 2y 22 23 | aij ∈ Z , I = 0 0 2d | b, c, d ∈ Z , J = 0 0 2z | x, y, z ∈ Z 0 0 0 0 0 0 bo‘lsin. U holda I to‘plam R da ideal, J to‘plam esa I da ideal bo‘lishini, lekin J to‘plam R da ideal bo‘lmasligini ko‘rsating. Quyidagi x −y z −t A = x −t z t x −y t −z y x | x, y, z, t ∈ R , to‘plam (M4(R), +, ·) halqaning qism halqasi ekanligini isbotlang. A = {x + √3 5y + √3 25z | x, y, z ∈ Q} to‘plam haqiqiy sonlar maydonining qism maydoni ekanligini ko‘rsating. Aytaylik, α ∈ R soni ratsional koeffitsiyentli f (x) keltirilmas (ratsional sonlar maydoni ustida keltirilmas) ko‘phadning ildizi bo‘lsin. U holda A = {x0 + x1α + x2α2 + · · · + xn−1αn−1 | xi ∈ Q} to‘plam haqiqiy sonlar maydonining qism maydoni ekanligini isbotlang. Agar R halqaning A chap ideali va B o‘ng ideallari berilgan bo‘lsa, u holda AB to‘plam R halqaning ikki yoqlama ideali bo‘lishini ko‘rsating. Kommutativ halqaning nilpotent elementlari to‘plami ideal bo‘lishini isbot- lang. R halqaning I1 va I2 ideallari birlashmasi I1 ∪ I2 ham ideal bo‘lishi uchun I1 ⊆ I2 yoki I2 ⊆ I1 bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang. R halqaning I va J ideallari uchun I +J ham ideal bo‘lishini va I +J = ⟨I ∪J⟩ ekanligini ko‘rsating. Quyidagi halqalarning berilgan I ideal bo‘yicha annulyatorlarini toping: R = Z12, I = {0, 4, 8}. R = Z15, I = {0, 5, 10}. R = Z20, I = {0, 2, 4, . . . , 18}. R = Z[i] = {a + ib | a, b ∈ Z}, I = {a + bi | a, b ∈ 2Z}. Regulyar halqaning ixtiyoriy ideali regulyar ekanligini ko‘rsating. Z[i]/⟨2⟩ faktor halqani aniqlang va uni maydon emasligini ko‘rsating. Z[i]/⟨3⟩ faktor halqa maydon bo‘lishini isbotlang. Z[i]/⟨n⟩ faktor halqa maydon bo‘lishi uchun n tub son bo‘lib, uning ikkita butun sonlar kvadratlari yig‘indisi shaklida ifodalanmasligi zarur va yetarli ekanligini isbotlang. Download 0.99 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling