Abstrakt algebra

5.1.6-ta’rif. Elementlari soni chekli bo‘lgan halqa chekli halqa, aks holda chek- siz halqa deyiladi.
Chegirmalar halqasi (Z_n, +_n, ·_n) chekli halqa bo‘lsa, (Z, +, ·), (Q, +, ·)(R, +, ·) va (M_n(R), +, ·) halqalar cheksiz halqalar bo‘ladi. Bundan tashqari, (Z_n, +_n, ·_n) halqa n murakkab son bo‘lgan holda nolning bo‘luvchisiga ega bo‘lgan halqa bo‘ladi. Masalan, (Z₆, +₆, ·₆) halqada 2 · 3 = 0, ya’ni 2 va 3 nolning bo‘luvchilari.
Quyidagi teoremada nolning bo‘luvchisiga ega bo‘lmagan chekli kommutativ halqa maydon bo‘lishini ko‘rsatamiz.


5.1.4-teorema. Elementlari kamida ikkita bo‘lgan, nolning bo‘luvchisiga ega bo‘lmagan chekli kommutativ halqa maydon bo‘ladi.

Isbot. Aytaylik, R nolning bo‘luvchisiga ega bo‘lmagan kommutativ halqa bo‘lib, elementlari n ta bo‘lsin, u holda R = {a₁, a₂, . . . , a_n}. Biz ushbu halqaning maydon bo‘lishini ko‘rsatishimiz uchun, uning birlik elementga ega ekanligini va ixtiyoriy noldan farqli elementi teskarilanuvchiligini ko‘rsatishimiz kerak. Ixtiyoriy a ∈ R element uchun
aa₁, aa₂, . . . , aa_n
elementlarni qaraymiz. Ma’lumki, ushbu elementlar turli xil bo‘ladi, chunki agar aa_i = aa_j bo‘lsa, u holda 5.1.3-teoremaga ko‘ra ushbu halqada qisqar- tirish qoidasi o‘rinli bo‘lib, bundan a_i = a_j ekanligi kelib chiqadi. Demak, R = {aa₁, aa₂, . . . , aa_n}. U holda bu elementlar ichida a ga teng bo‘lgani mavjud, ya’ni qandaydir k uchun aa_k = a. R halqaning kommutativligini hisobga olsak, a_ka = aa_k = a kelib chiqadi. Endi ushbu a_k elementning birlik element ekanligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy b ∈ R element olsak, bu elementni b = aa_j ko‘rinishida yozish mumkin. U holda
ba_k = a_kb = a_k(aa_j) = (a_ka)a_j = aa_j = b
ekanligidan a_k elementning birlik elementligi kelib chiqadi.
Endi ixtiyoriy a elementning teskarilanuvchi ekanligini ko‘rsatamiz. Ushbu a_k birlik element ham R da yotganligi uchun a_k ∈ {aa₁, aa₂, . . . , aa_n}. Bu esa qandaydir s uchun aa_s = a_k ekanligini bildiradi. R halqa kommutativ bo‘lganligi uchun a_sa = aa_s = a_k. Demak, a element teskarilanuvchi. Bundan esa, R halqa- ning barcha elementlari teskarilanuvchi ekanligi kelib chiqadi. Shunday qilib, biz R halqaning maydon ekanligini ko‘rsatdik.
Yuqoridagi teoremadan ushbu natijalarni olishimiz mumkin.
5.1.1-natija. Ixtiyoriy chekli butunlik sohasi maydon bo‘ladi.
5.1.2-natija. Z_n halqa maydon bo‘lishi uchun n tub son bo‘lishi zarur va yetarli.

1. Nilpotent va idempotent elementlar

R halqaning ixtiyoriy a ∈ R elementi va n butun son uchun na elementni quyidagicha aniqlaymiz:

` ˛¸ x
0a = 0, na = a + a + · · · + a, n > 0, na = (−n)(−a), n < 0.
n ta
Halqaning ixtiyoriy a, b ∈ R elementlari va ixtiyoriy m, n butun sonlar uchun quyidagi xossalar o‘rinli ekanligi osongina kelib chiqadi:
(m + n)a = ma + na, m(a + b) = ma + mb,
(mn)a = m(na), m(ab) = (ma)b = a(mb), (ma)(nb) = mn(ab).


5.1.7-ta’rif. Agar shunday n natural soni mavjud bo‘lib, ixtiyoriy a element uchun na = 0 tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda bu shartni qanoatlantiruvchi eng kichik na- tural songa, halqaning xarakteristikasi deb ataladi. Agar bunday natural son mavjud bo‘lmasa, u holda halqaning xarakteristikasi nolga teng deyiladi.
Masalan, Z, Q, R, C halqalar xarakteristikasi nolga teng bo‘lgan halqalar bo‘lsa, Z_n halqa esa, xarakteristikasi n ga teng bo‘lgan halqadir. Quyidagi misolda xarakteristikasi 2 ga teng bo‘lgan halqaga misol keltiramiz.
5.1.10-misol. Ixtiyoriy bo‘sh bo‘lmagan X to‘plamning qism to‘plamlaridan tu- zilgan P (X) to‘plamlar oilasini qaraymiz. Ma’lumki, P (X) to‘plam simmetrik ayirma amaliga nisbatan kommutativ gruppa tashkil qiladi. Agar (P (X), Δ, ∩) uchlikni qarasak, u holda bu uchlik halqa tashkil qiladi, ya’ni P (X) to‘plam sim- metrik ayirma va kesishma amallariga nisbatan halqa tashkil qiladi. Bu halqa kom- mutativ, birlik elementga ega halqa bo‘lib, birlik element vazifasini bo‘sh to‘plam bajaradi, ya’ni e = ∅. Ushbu halqaning xarakteristikasi 2 ga teng, chunki
2A = A Δ A = (A \ A) ∪ (A \ A) = ∅.
Quyidagi teoremada butunlik sohasining xarakteristikasi qanday songa teng bo‘lishi mumkinligi haqida ma’lumot beramiz.
5.1.5-teorema. Butunlik sohasining xarakteristikasi faqat nolga yoki tub songa teng bo‘ladi.
Isbot. Faraz qilaylik, R butunlik sohasi chekli xarakteristikaga ega bo‘lib, u murakkab n soniga teng bo‘lsin. U holda n = n₁n₂, 1 < n₁, n₂ < n hamda ixtiyoriy a ∈ R uchun na = 0, xususan n1 = 0. U holda 0 = n1 = (n₁n₂)1 = (n₁1)(n₂1) bo‘ladi. R nolning bo‘luvchisiga ega bo‘lmaganligi uchun n₁1 = 0 yoki n₂1 = 0. Agar n₁1 = 0 bo‘lsa, u holda ixtiyoriy a ∈ R uchun n₁a = n₁(1a) = (n₁1)a = 0. Bu esa, halqaning xarakteristikasi n ekanligiga, ya’ni n ning minimalligiga zid. Xuddi shunday, n₂1 = 0 ekanligidan ham ziddiyat kelib chiqadi. Demak, n tub son.
Endi halqaning nilpotent va idempotent elementlari tushunchalarini kiritamiz.
5.1.8-ta’rif. Agar halqaning a ∈ R elementi uchun a² = a shart bajarilsa, u holda bu element idempotent element deb ataladi. Agar qandaydir n natural son uchun aⁿ = 0 bo‘lsa, u holda bu element nilpotent element deb ataladi.
Halqaning nilpotent va idempotent elementlari uchun quyidagi sodda xossalar o‘rinli.

1. 
   Agar a ∈ R element idempotent bo‘lsa, u holda u nilpotent emas.
   
2. 
   Agar a ∈ R element nilpotent bo‘lsa, u holda u teskarilanuvchi emas.
   

3. 
   Agar a ∈ R element nilpotent bo‘lsa, u holda u nolning bo‘luvchisi bo‘ladi.
   
4. 
   Agar R kommutativ halqa bo‘lib, a va b elementlar nilpotent bo‘lsa, u holda
   

a + b ham nilpotent bo‘ladi.

5. 
   Agar R birlik elementli, nolning bo‘luvchilariga ega bo‘lmagan halqa bo‘lsa, u holda halqaning 0 va 1 dan boshqa idempotent elementlari mavjud emas.
   

5.1.11-misol. Z₁₂ halqaning idempotent elementlari 0, 1, 4 va 9, nilpotent ele- mentlari esa 0 va 6 lardan iborat bo‘ladi.

2. Bul va regulyar halqalar

Biz endi ba’zi muhim halqalarni, ya’ni Bul va regulyar halqalarni keltirib o‘tamiz.
5.1.9-ta’rif. Barcha elementlari idempotent bo‘lgan biri bor halqa Bul halqasi
deyiladi.
Bul halqasiga eng sodda misol (Z₂, +₂, ·₂) halqa bo‘lsa, yana bir Bul halqasiga misol sifatida (P (X), Δ, ∩) halqani keltirishimiz mumkin.
Bul halqalari uchun quyidagi teorema o‘rinli.
5.1.6-teorema. Ixtiyoriy Bul halqasi kommutativ bo‘lib, uning xarakteristikasi 2 ga teng.

∈
Isbot. Aytaylik, R Bul halqasi bo‘lsin. Dastlab uning xarakteristikasi 2 ga teng ekanligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy x R uchun x² = x, xususan, x + x element uchun ham (x + x)² = x + x. Bu tenglikdan x² + x² + x² + x² = 2x, bundan esa, 4x = 2x, ya’ni 2x = 0 kelib chiqadi. Demak, halqaning xarakteristikasi 2 ga teng. Endi R halqaning kommutativligini ko‘rsatamiz. Buning uchun (x + y)² =
x + y tenglikni chap tomonini ochib chiqsak, x + xy + yx + y = x + y, ya’ni xy+yx = 0 kelib chiqadi. Bu tenglikning ikkala tomoniga xy ni qo‘shib, halqaning xarakteristikasi 2 ga teng ekanligidan foydalansak,
xy = 2xy + yx = yx.
Demak, R kommutativ halqa.