Abstrakt algebra

5.1.10-ta’rif. Agar x ∈ R element uchun x = xyx tenglikni qanoatlantiradigan y ∈ R element mavjud bo‘lsa, u holda x element regulyar element deyiladi. Bar- cha elementlari regulyar bo‘lgan halqa regulyar halqa deyiladi.
5.1.12-misol. 1) Z halqaning regulyar elementlari 0, 1, -1 lardan iborat bo‘ladi.

2. 
   Ixtiyoriy Bul halqasi regulyar halqa bo‘ladi.
   
3. 
   Haqiqiy sonlar halqasi R regulyar halqa, lekin Bul halqasi emas.
   

Regulyar halqalar uchun quyidagi teorema o‘rinli.

5.1.7-teorema. Aytaylik, R regulyar halqa bo‘lib, ixtiyoriy x /= 0 element uchun
x = xyx tenglikni qanoatlantiruvchi y ∈ R element yagona bo‘lsin. U holda

1. 
   R halqa nolning bo‘luvchisiga ega emas.
   
2. 
   x /= 0 element uchun x = xyx ekanligidan y = yxy bo‘lishi kelib chiqadi.
   
3. 
   R halqa jism bo‘ladi.
   

Isbot. 1) Aytaylik, x, z noldan farqli elementlar uchun xz = 0 bo‘lsin. Teo- rema shartiga ko‘ra x = xyx tenglikni qanoatlantiruvchi yagona y ∈ R element mavjud. U holda
x(y − z)x = xyx − xzx = xyx
ekanligidan y − z = y tenglikni, ya’ni z = 0 ekanligini hosil qilamiz. Demak, R
halqa nolning bo‘luvchisiga ega emas.

2. 
   Noldan farqli x element uchun x = xyx ekanligidan biz quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz
   

x(y − yxy) = xy − x(yxy) = xy − (xyx)y = xy − xy = 0.
R halqa nolning bo‘luvchisiga ega bo‘lmaganligi uchun y −yxy = 0, ya’ni y = yxy.

2. 
   Dastlab, teorema shartini qanoatlantiruvchi halqa biri bor halqa ekanligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy x /= 0 element uchun x = xyx tenglikni qanoatlantiruvchi yagona y ∈ R element mavjud. Biz e = xy elementni birlik element bo‘lishini ko‘rsatamiz. Ushbu element noldan farqli bo‘lib,
   

e² = (xy)(xy) = (xyx)y = xy = e.
R halqa nolning bo‘luvchisiga ega emasligini hisobga olsak, ixtiyoriy z ∈ R
element uchun
(ze − z)e = ze² − ze = ze − ze = 0
e(ez − z) = e²z − ez = ez − ez = 0
tengliklardan ze − z = 0 va ez − z = 0 ekanligini, ya’ni ze = ez = z munosabatni hosil qilamiz. Demak, e = xy element birlik element bo‘ladi.

Endi R halqaning ixtiyoriy noldan farqli elementining teskarilanuvchi ekanli- gini ko‘rsatamiz. Aytaylik, x /= 0 bo‘lib, x = xyx bo‘lsin. U holda xyx = xe va xyx = ex, ya’ni x(yx − e) = 0 va (xy − e)x = 0. Bu tengliklardan esa, yx − e = 0 va xy − e = 0 ekanligi kelib chiqadi, chunki R halqa nolning bo‘luvchisiga ega emas. Demak, xy = yx = e, ya’ni x element teskarilanuvchi. Bundan esa, R halqaning jism ekanligini kelib chiqadi.


5.1.13-misol. R halqa noldan farqli nilpotent elementga ega bo‘lmasligi uchun
a² = 0 ekanligidan a = 0 tenglik kelib chiqishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.
Yechish. Aytaylik, R halqa noldan farqli nilpotent elementga ega bo‘lmasin.
U holda a² = 0 ekanligidan a = 0 tenglik kelib chiqishi ravshan.

∈
Endi misolning ikkinchi tomonini ya’ni a² = 0 ekanligidan a = 0 tenglik kelib chiqsa, R halqa noldan farqli nilpotent elementga ega bo‘lmasligini ko‘rsatamiz. Teskarisini faraz qilaylik, R halqaning noldan farqli b R nilpotent elementi mavjud bo‘lsin, ya’ni bⁿ = 0. Ushbu n natural sonini bⁿ = 0 tenglikni qanoat- lantiruvchi eng kichik natural son deb faraz qilish mumkin.
Agar n soni juft bo‘lsa, u holda n = 2m bo‘lib, (b^m)² = b^2m = bⁿ = 0. Bundan esa b^m = 0 ekanligini hosil qilamiz. Bu esa n sonining eng kichik ekanligiga zid.
Agar n soni toq son, ya’ni n = 2m + 1 bo‘lsa, u holda (b^m+1)² = b^2m+2 = b^2m+1b = 0 bo‘lib, bu tenglikdan b^m+1 = 0 ekanligini hosil qilamiz. Bu ham n sonining eng kichik ekanligiga zid, chunki, n > 1 bo‘lib m + 1 < n. Demak, R halqa noldan farqli nilpotent elementga ega emas. Q
5.1.14-misol. Aytaylik, R halqa birlik elementli kommutativ halqa bo‘lsin. Agar a ∈ R element teskarilanuvchi va b ∈ R element nilpotent bo‘lsa, u holda a + b elementning teskarilanuvchi ekanligini ko‘rsating.

∈
Yechish. a ∈ R element teskarilanuvchi bo‘lganligi uchun, shunday c ∈ R element topilib, ac = ca = 1 bo‘ladi. Ikkinchi tomondan esa b R element nilpotent bo‘lganligi uchun qandaydir n natural soni uchun bⁿ = 0. Endi d = c − c²b + c³b² +· · · +(−1)ⁿ⁻¹cⁿbⁿ⁻¹ elementni a + b elementning teskarisi ekanligini ko‘rsatamiz. Haqiqatdan ham
(a + b)d = (a + b)(c − c²b + c³b² + · · · + (−1)ⁿ⁻¹cⁿbⁿ⁻¹) =
= ac−ac²b+ac³b² +· · ·+(−1)ⁿ⁻¹acⁿbⁿ⁻¹ +bc−bc²b+bc³b² +· · ·+(−1)ⁿ⁻¹bcⁿbⁿ⁻¹ =
= 1−cb +c²b² +· · ·+(−1)ⁿ⁻¹cⁿ⁻¹bⁿ⁻¹ +cb −c²b² +c³b³ +· · ·+(−1)ⁿ⁻²cⁿ⁻¹bⁿ⁻¹ = 1. Xuddi shunga o‘xshab, d(a+b) = 1 ekanligini ham ko‘rsatish mumkin. Demak,
a + b element teskarilanuvchi. Q

Yuqoridagi misolda R halqaning kommutativ bo‘lishi muhim ahamiyatga ega. Chunki, kommutativ bo‘lmagan halqada teskarilanuvchi va nilpotent elementning yig‘indisi har doim ham teskarilanuvchi bo‘lavermaydi. Masalan, M₂(R) halqada
teskarilanuvchi A = ^{0 1} element va nilpotent B = ^{0 −1} elementlar-

1 0 0 0
ning yig‘indisi A + B = ^{0 0} teskarilanuvchi emas.
1 0
Quyidagi misolda M₂(R) halqaning regulyar halqa ekanligini isbotlaymiz.



5.1.15-misol. M₂(R) halqa regulyar halqa ekanligini ko‘rsating.

Yechish. Misolni yechish uchun ixtiyoriy A = ^{a b}
c d
elementning regulyar

ekanligini ko‘rsatamiz. Quyidagi hollarni qaraymiz.

1. 
   det(A) /= 0 bo‘lsin, u holda A matritsa teskarilanuvchi bo‘lib, B = A⁻¹
   

element uchun A = ABA bo‘ladi.

2. 
   
   a
   
   
   
   u holda d =
   
   
   ^bc bo‘lib, B =
   
   
   1
   a
   
   
   0
   
   
   matritsa uchun
   
   
   det(A) = 0 bo‘lsin. Agar A = 0, ya’ni a = b = c = d = 0 bo‘lsa, u holda ixtiyoriy B ∈ M₂(R) matrit sa uchu n A = ABA bo‘ladi. Agar a /= 0 bo‘lsa,
   

ABA =
0 0

a
a b ¹
c d
0 a b
₌ a b _.

0 0 c d c d
Demak, A matritsa regulyar element bo‘ladi.
Xuddi shunga o‘xshab, b 0, c 0 va d /= 0 bo‘lgan hollarda ham A
matritsaning regulyar element ekanligini ko‘rsatish mumkin. Ya’ni, M₂(R) regulyar halqa. Q

3. Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

   1. 
      Quyidagi sonlar to‘plamining qaysilari qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil qilishini aniqlang:
      
      • 
        nZ, ya’ni natural n soniga karrali bo‘lgan butun sonlar to‘plami.
        
      • 
        maxraji fiksirlangan tub sonning darajalaridan iborat bo‘lgan ratsional sonlar to‘plami.
        
      • 
        x + ^√2y ko‘rinishidagi haqiqiy sonlar to‘plami, bu yerda x, y ∈ Q.
        
      • 
        x + ^√3 2y ko‘rinishidagi haqiqiy sonlar to‘plami, bu yerda x, y ∈ Q.
        
      • 
        x+^√3 2y+^√3 4z ko‘rinishidagi haqiqiy sonlar to‘plami, bu yerda x, y, z ∈ Q.
        
   2. 
      Quyidagi to‘plamlarni halqa tashkil qilishini aniqlang, bu yerda i² = −1 :
      
      • 
        Z[^√n] = {x + y^√n | x, y ∈ Z}.
        
      • 
        Z[i] = {x + iy | x, y ∈ Z}.
        
      • 
        Q[i] = {x + iy | x, y ∈ Q}.
        
      • 
        Z[i^√n] = {x + iy^√n | x, y ∈ Z}.
        
      • 
        Q[i^√n] = {x + iy^√n | x, y ∈ Q}.
        

3. 
   Quyidagi matritsalar to‘plamining qaysilari matritsalarni qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil qilishini aniqlang:
   
   • 
     elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘lgan simmetrik matritsalar to‘plami;
     
   • 
     elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘lgan kososimmetrik matritsalar to‘plami;
     
   • 
     
     •
     elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘lgan yuqori uchburchak ko‘rinishidagi matritsalar to‘plami;
     

a b

•
2b a
ko‘rinishidagi matritsalar to‘plami bu yerda a, b ∈ Z;

z w
−w z
ko‘rinishidagi matritsalar to‘plami bu yerda z, w ∈ C.

4. 
   Bir o‘zgaruvchili ko‘phadlar to‘plami P (x) ko‘phadlarni qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil qilishini ko‘rsating.
   
5. 
   Bir o‘zgaruvchili ko‘phadlar to‘plami P (x) ko‘phadlarni qo‘shish va super- pozitsiya amallariga nisbatan halqa tashkil qiladimi?
   
6. 
   Quyidagi halqalarning barcha teskarilanuvchi elementlarini toping:
   

Z₆, Z₈, Z₁₂, Z₁₅, Z₁₈, Z₂₄, Z₃₀.

7. 
   Quyidagi halqalarda nolning bo‘luvchilarini toping:
   

Z₅, Z₈, Z₁₂, Z₁₅, Z₂₂, Z₂₄, Z₃₀.

8. 
   Quyidagi halqalarning barcha nilpotent elementlarini toping:
   

Z₆, Z₈, Z₁₂, Z₁₅, Z₁₆, Z₂₄, Z₃₆.

9. 
   Quyidagi halqalarning barcha idempotent elementlarini toping:
   

Z₅, Z₆, Z₈, Z₁₀, Z₁₂, Z₁₄. Z₂₇.

10. 
    Z_n halqa noldan farqli nilpotent elementga ega bo‘lmasligi uchun n soni-
    

ning kanonik yoyilmasi n = p₁p₂ . . . p_k(p_i
ekanligini isbotlang.
p_j) kabi bo‘lishi zarur va yetarli

11. 
    Z_n halqa nol va birdan farqli idempotent elementga ega bo‘lmasligi uchun
    

n = p^r bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.

12. 
    Agar Z_n halqada n = m · k bo‘lib, (m, k) = 1 bo‘lsa, u holda Z_n halqa nol va birdan farqli kamida ikkita idempotent elementga ega ekanligini isbotlang.
    

13. 
    Quyidagi halqalarning barcha idempotent elementlarini toping:
    

Z₁₅, Z₃₀, Z₄₂, Z₆₀, Z₇₂, Z₈₄. Z₉₀.

14. 
    Quyidagi halqalarning barcha nilpotent elementlarini toping:
    

^Z40^{, Z}44^{, Z}60^{, Z}72^{, Z}180^{, Z}252^{, Z}300^.

15. 
    M₂(R) halqaning barcha teskarilanuvchi, idempotent va nilpotent element- larini toping.
    
16. 
    Z[i] = {x + iy | x, y ∈ Z} halqaning barcha teskarilanuvchi, idempotent va nilpotent elementlarini toping.
    

17. 
    R halqa kommutativ bo‘lishi uchun (a + b)² = a² + 2ab + b² bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.
    
18. 
    R halqa kommutativ bo‘lishi uchun a² − b² = (a − b)(a + b) bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.
    
19. 
    R halqaning ixtiyoriy a ∈ R elementi uchun a³ = a tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda R halqaning kommutativ ekanligini isbotlang.
    
20. 
    Biri bor R halqaning a ∈ R nilpotent elementi uchun 1 − a va 1 + a element- larning teskarilanuvchu ekanligini isbotlang.
    
21. 
    Agar a ∈ R element halqaning idempotent elementi bo‘lsa, u holda ixtiyoriy
    

b ∈ R uchun (1 − a)ba elementning nilpotent ekanligini ko‘rsating.

22. 
    Agar biri bor R halqaning x, y ∈ R elementlari uchun xy va yx ko‘paytmalar teskarilanuvchi bo‘lsa, u holda x va y elementlar ham teskarilanuvchi bo‘lishini ko‘rsating.
    
23. 
    Agar biri bor, nolning bo‘luvchilariga ega bo‘lmagan R halqaning x, y ∈ R elementlari uchun xy ko‘paytma teskarilanuvchi bo‘lsa, u holda x va y elementlar ham teskarilanuvchi bo‘lishini ko‘rsating.
    

24. 
    Biri bor halqa Bul halqasi bo‘lishi uchun ixtiyoriy a, b elementlar uchun (a +
    

b)ab = 0 bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.

2.