Abstrakt algebra

Isbot. Zaruriylik. Aytaylik, P birlamchi ideal bo‘lib, a, b ∈ P elementlar uchun aRb ⊆ P bo‘lsin. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz
A = RaR, B = RbR.

U holda A va B to‘plamlar R halqaning ideallari bo‘lib,

AB = (RaR)(RbR) ⊆ R(aRb)R ⊆ RPR ⊆ P.
P ideal birlamchi ideal bo‘lganligi uchun A ⊆ P yoki B ⊆ P. Agar A ⊆ P bo‘lsa, u holda ⟨a⟩³ ⊆ RaR = A ⊆ P ekanligidan a ∈ P kelib chiqadi. Xuddi shunga o‘xshab, agar B ⊆ P bo‘lsa, u holda b ∈ P ekanligini hosil qilamiz. Demak, a ⊆ P yoki b ⊆ P.


Yetarlilik. Aytaylik, ixtiyoriy a, b ∈ R elementlar uchun aRb ⊆ P ekanligidan a ⊆ P yoki b ⊆ P kelib chiqsin. Faraz qilaylik, R halqaning A va B ideallari berilgan bo‘lib, AB ⊆ P va A ¢ P bo‘lsin. U holda shunday a ∈ A element topilib, a ∈/ P. Ixtiyoriy b ∈ B element uchun
aRb = (aR)b ⊆ AB ⊆ P

ekanligidan, a ∈ P yoki b ∈ P kelib chiqadi. Lekin, a ∈/ P bo‘lganligi uchun biz

ixtiyoriy b ∈ B element uchun b ∈ P ekanligini hosil qilamiz. Demak, B ⊆ P,
ya’ni P birlamchi ideal.
Yuqoridagi teoremadan quyidagi natijani hosil qilamiz.
5.4.1-natija. R halqaning P ideali berilgan bo‘lib, ixtiyoriy a, b ∈ R elementlar uchun ab ∈ P ekanligidan a ∈ P yoki b ∈ P kelib chiqsa, u holda P birlamchi ideal bo‘ladi.
Isbot. Faraz qilaylik, A va B ideallar uchun AB ⊆ P va A ¢ P bo‘lsin. U holda ∀a ∈ A \ P va ∀b ∈ B elementlar uchun ab ∈ AB ⊆ P bo‘lib, teorema
shartiga ko‘ra a ∈ P yoki b ∈ P bo‘ladi. Lekin a ∈/ P bo‘lganligi uchun b ∈ P
kelib chiqadi. Ushbu b elementling ixtiyoriyligidan B ⊆ P munosabatni hosil
qilamiz. Demak, P birlamchi ideal.
Ta’kidlash kerakki, 5.4.1-natijaning teskarisi R halqa kommutativ bo‘lgan holda to‘g‘ri bo‘lib, umumiy holda esa har doim ham o‘rinli emas. Chunki, agar R halqa kommutativ bo‘lib, P uning birlamchi ideali va ab ∈ P bo‘lsa, u holda
⟨ab⟩ ⊆ P bo‘lib, R halqaning kommutativligidan ⟨a⟩⟨b⟩ ⊆ ⟨ab⟩ ⊆ P kelib chiqadi. Bundan esa, ⟨a⟩ ⊆ P yoki ⟨b⟩ ⊆ P ya’ni a ∈ P yoki b ∈ P hosil bo‘ladi. Demak,
R halqa kommutativ bo‘lsa 5.4.1-natijaning teskarisi o‘rinli. Halqa kommutativ bo‘lmagan holda ushbu natijaning teskarisi o‘rinli bo‘lmasligiga biz quyidagi mi- solda javob beramiz.
5.4.4-misol. M_n(Z) matritsalar halqasi uchun I = {0} ideal birlamchi ideal bo‘lib, ab ∈ I ekanligidan a ∈ I yoki b ∈ I bo‘lishi har doim ham kelib chiqmaydi. Chunki, M_n(Z) halqa nolning bo‘luvchilariga ega.
5.4.5-misol. Z butun sonlar halqasida P = {3k | k ∈ Z} ideal birlamchi ideal bo‘lib, P = {6k | k ∈ Z} ideal esa birlamchi emas.
Quyidagi teoremada biri bor kommutativ halqada birlamchi ideallarning xos- sasini keltiramiz.
5.4.4-teorema. Biri bor kommutativ R halqaning P (P /= R) ideali birlamchi bo‘lishi uchun R/P faktor halqa butunlik sohasi bo‘lishi zarur va yetarli.


Isbot. Zaruriylik. Aytaylik, R biri bor kommutativ halqa va P uning bir- lamchi ideali bo‘lsin. U holda R/P faktor halqa ham biri bor halqa bo‘lib, 1_R + P
element uning birlik elementi bo‘ladi. P birlamchi bo‘lib, P R bo‘lganligi uchun
1_R+P P, chunki, P = 0+P element faktor halqaning nol elementi bo‘ladi. Endi
R/P faktor halqada nolning bo‘luvchisi mavjud emasligini ko‘rsatamiz. Faraz qi- laylik, a + P va b + P elementlar uchun (a + P )(b + P ) = 0 + P bo‘lsin, u holda ab + P = P bo‘lib, ab ∈ P ekanligi kelib chiqadi. Bundan esa, R halqaning kom- mutativligi va P idealning birlamchi ekanligini hisobga olsak, a ∈ P yoki b ∈ P kelib chiqadi. Bu esa, a + P = 0 + P yoki b + P = 0 + P ekanligini anglatadi. Ya’ni, R/P faktor halqa nolning bo‘luvchisiga ega emas.
Yetarlilik. Aytaylik, R/P faktor halqa butunlik sohasi bo‘lsin. Agar ab ∈ P
bo‘lsa, u holda
0 + P = ab + P = (a + P )(b + P )
ekanligidan a + P = 0 + P yoki b + P = 0 + P kelib chiqadi. Bu esa, a ∈ P yoki b ∈ P ekanligini anglatadi. Bundan esa, R halqa kommutativ bo‘lganligi uchun P idealning birlamchi ekanligi kelib chiqadi.
Agar R halqa bosh ideallar sohasi bo‘lsa, u holda quyidagiga ega bo‘lamiz.


5.4.5-teorema. Aytaylik, R bosh ideallar sohasi va P uning xos ideali bo‘lsin. P ideal birlamchi ideal bo‘lishi uchun uning tub element orqali hosil qilinishi zarur va yetarli.
Isbot. Aytaylik, R bosh ideallar sohasi va P = ⟨p⟩ uning xos ideali bo‘lsin. U holda p /= 0 va P /= R bo‘lib, p elementning teskarilanuvchi emasligini hosil qilamiz. Agar ab ∈ R elementlar uchun p | ab bo‘lsa, u holda ab = pc bo‘lib, ab ∈ P ekanligiga, bundan esa, a ∈ P yoki b ∈ P munosabatga ega bolamiz. Demak, p | a yoki p | b, ya’ni p element tub element bo‘ladi.
Va aksincha, agar p tub element uchun P = ⟨p⟩ idealni qarasak, u holda ab ∈ P shartni qanoatlantiruvchi a, b ∈ R elementlar uchun p | ab kelib chiqib, bundan p | a yoki p | b hosil bo‘ladi. Bu esa, a ∈ P yoki b ∈ P ekanligini, ya’ni P idealning birlamchiligini anglatadi.
Yuqoridagi teooremadan butun sonlar halqasining barcha birlamchi ideallari 0, Z va ⟨p⟩ = {pk | p tub son} ideallardan iborat bo‘lishini hosil qilamiz.
Endi maksimal ideal tushunchasini kiritamiz.


5.4.6-ta’rif. Aytaylik, R halqa va unung M ideali berilgan bo‘lsin. Agar M /= R bo‘lib, R halqaning M ⊂ I ⊂ R shartni qanoatlantiruvchi I ideali mavjud bo‘lmasa, u holda M ideal maksimal ideal deb ataladi.

Maksimal chap va o‘ng ideal tushunchalari ham yuqoridagi ta’rif kabi kiritiladi.

5.4.6-misol. Z butun sonlar halqasida A = {3k | k ∈ Z} iedal maksimal ideal bo‘lib, B = {4k | k ∈ Z} ideal esa maksimal emas, chunki ushbu B ideal uchun I = {2k | k ∈ Z} ideal mavjud bo‘lib, B ⊂ I ⊂ Z.
Ta’kidlash joizki, biri bor kommutativ halqaning ixtiyoriy maksimal ideali birlamchi ideal bo‘ladi. Haqiqatdan ham, M ideal R halqaning maksimal ide-
ali bo‘lib, a, b ∈ R elementlar uchun ab ∈ M va a ∈/ M bo‘lsin. U holda
⟨M, a⟩ = {u + ra | u ∈ M, r ∈ R} idealni qarasak, M ⊂ ⟨M, a⟩ bo‘lib, M ning maksimal ekanligidan ⟨M, a⟩ = R kelib chiqadi. Demak, 1 ∈ ⟨M, a⟩, ya’ni shunday u ∈ M, r ∈ R elementlar mavjud bo‘lib, 1 = u + ra bo‘ladi. Bundan esa, b = bu + rab ∈ M ekanligi kelib chiqadi. Ya’ni M birlamchi ideal.
Quyidagi misolda esa, biri bor kommutativ halqada birlamchi ideal bo‘lib, maksimal bo‘lmagan idealga misol keltiramiz.
5.4.7-misol. R = {(a, b) | a, b ∈ Z} to‘plamda
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) · (c, d) = (ac, bd)
amallarni qarasak, (R, +, ·) halqada I = {(a, 0) |a ∈ Z} to‘plam birlamchi ideal bo‘lib, maksimal bo‘lmaydi. Chunki, I idealni o‘z ichiga oluvchi J = {(a, b) |a ∈ Z, b ∈ 2Z} ideal mavjud. Ya’ni I ⊂ J ⊂ R.
Ta’kidalsh joizki, agar kommutativ halqa birlik elementga ega bo‘lmasa, uning ixtiyoriy maksimal ideali birlamchi bo‘lishi shart emas.
5.4.8-misol. R = 2Z juft sonlardan iborat halqada I = 4Z to‘plam maksimal ideal bo‘lib, lekin birlamchi ideal emas, chunki, 2 ∈/ I va 2 · 2 = 4 ∈ I.
5.4.6-teorema. Bosh ideallar sohasining P xos ideali birlamchi bo‘lishi uchun uning maksimal bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Aytaylik, P birlamchi ideal bo‘lsin. U holda 5.4.5-teoremaga ko‘ra qandaydir p tub element uchun P = ⟨p⟩ bo‘ladi. Faraz qilaylik, qandaydir I ideal uchun P ⊂ I, P /= I bo‘lsin. U holda a ∈ I \ P element mavjud. Ushbu a va p elementlar o‘zaro tub bo‘lganligi uchun shunday s, t ∈ R elementlar mavjud bo‘lib, sa + tp = 1. Bundan esa, 1 = sa + tp ∈ I kelib chiqadi. Demak I = R, ya’ni P maksimal ideal.
Endi 5.4.4-teoremaning maksimal ideallar uchun analogini keltiramiz.
5.4.7-teorema. R birlik elementli kommutativ halqaning M ideali maksimal bo‘lishi uchun R/M faktor halqa maydon bo‘lishi zarur va yetarli.