Abstrakt algebra

Isbot. Zaruriylik. Aytaylik, M maksimal ideal bo‘lsin. R/M halqa ham kommutativ biri bor halqa bo‘lib, ixtiyoriy noldan farqli a + M ∈ R/M element

olsak, a ∈/ M bo‘ladi. Agar ⟨M, a⟩ idealni qarasak, M ⊂ ⟨M, a⟩ ⊂ R bo‘lib,

M maksimal bo‘lganligi uchun ⟨M, a⟩ = R bo‘ladi. Demak, 1 ∈ ⟨M, a⟩, ya’ni shunday m ∈ M va r ∈ R elementlar topiladiki, m + ra = 1 bo‘ladi. Bu esa
m + ra + M = 1 + M, ya’ni ra + M = 1 + M ekanligini bildiradi. Bundan esa (a + M )(r +M ) = 1 +M ekanligini, ya’ni a +M elementning teskarilanuvchiligini hosil qilamiz. Demak, R/M halqa kommutativ biri bor halqa bo‘lib, uning ixtiyoriy elementi teskarilanuvchi bo‘ladi, ya’ni R/M maydon.
Yetarlilik. Aytaylik, R/M maydon bo‘lsin. U holda M /= R. Agar I ideal uchun M ⊂ I bo‘lsa, u holda a ∈ I \ M element uchun a + M element R/M
maydonning noldan farqli elementi bo‘ladi. Maydonning ixtiyoriy noldan farqli elementi teskarilanuvchi bo‘lganligi uchun shunday r ∈ R \ M element mavjudki, (a + M ) · (r + M ) = 1 + M, ya’ni 1 − ar ∈ M. Bundan esa, 1 = m + ar ∈ I ekanligini, ya’ni I = R tenglikni hosil qilamiz. Demak, M maksimal ideal.
Endi yana bir muhim ideal bo‘lgan primar ideal tushunchasini kiritamiz. Pri- mar ideal tushunchasining kiritilishini butun sonlar halqasidagi ⟨p^k⟩ ko‘rinishidagi halqalar bilan bog‘lash mumkin. Ma’lumki, arifmetikaning asosiy teoremasiga

ko‘ra ixtiyoriy n butun sonni n = p^α1 p^α2 . . . p^αs
ko‘rinishida ifodalash mumkin.

1 2 s
Bu yerdagi p_i tub sonlar orqali hosil qilingan ⟨p_i⟩ ideallar Z halqaning birlamchi

i
ideallari bo‘lsa, ⟨p^αi ⟩ ideallar esa primar ideallar bo‘ladi.
5.4.7-ta’rif. Aytaylik, R kommutativ halqaning Q ideali berilgan bo‘lsin. Agar
ab ∈ Q, a ∈/ Q shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy a, b ∈ R elementlar uchun
shunday n natural son topilib, bⁿ ∈ Q bo‘lsa, u holda Q ideal primar(primary)
ideal deb ataladi.

Ta’rifdan ko‘rinadiki, ixtiyoriy birlamchi ideal primar ideal bo‘ladi. Quyidagi misolda esa, yuqorida aytilganidek, ⟨p^k⟩ ko‘rinishidagi ideallarning butun sonlar halqasida primar ideal bo‘lishini ko‘rsatamiz.

5.4.9-misol. Butun sonlar halqasining ⟨p^k⟩ ko‘rinishidagi ideali primar ideal bo‘ladi. Ta’kidlash joizki, k ≥ 2 bo‘lganda ⟨p^k⟩ ideal birlamchi ideal bo‘lmaydi. Biz
uning primar ekanligini ko‘rsatamiz. Aytaylik, ab ∈ ⟨p^k⟩ bo‘lib, a ∈/ ⟨p^k⟩ bo‘lsin.
U holda shunday r ∈ Z son topilib, ab = rp^k bo‘ladi. a soni p^k ga bo‘linmaganligi
uchun b soni p ga bo‘linishini, ya’ni b = qp ekanligini hosil qilamiz. Bundan esa,
b^k = q^kp^k ∈ ⟨p^k⟩ ekanligi kelib chiqadi. Demak, ⟨p^k⟩ primar ideal.
5.4.8-ta’rif. Aytaylik, R kommutativ halqa va uning I ideali berilgan bo‘lsin. Quyidagi

k
{a ∈ R | a ∈ I qandaydir k ∈ N uchun}
to‘plamga I halqaning radikali deb ataladi va ^√I kabi belgilanadi.

Ta’kidlash joizki, i_√xtiyoriy I ideal uchun I ⊆ √I bo‘lib, √I ham ideal bo‘ladi.
Chunki, agar a, b ∈ I bo‘lsa, u holda shunday n va m natural sonlari uchu_√ n
aⁿ, b^m ∈ I. Bundan esa, (a − b)^n+m ∈ I ekanligi kelib chiqadi, ya’ni a −_√b ∈ I.
Agar r ∈ R va a _√∈ I bo‘lsa, u holda (ra)ⁿ = rⁿaⁿ ∈ I ekanligidan ra ∈ I hosil
bo‘ladi. Demak, I ideal.
5.4.2-tasdiq. Agar R kommutativ halqaning Q ideali primar bo‘lsa, u holda ^√Q
ham primar ideal bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, a, b ∈ R elementlar uchun ab ∈ ^√Q va a ∈/ ^√Q bo‘lsin. U
holda qandaydir n natural son uchun (ab)ⁿ ∈ Q. Bundan esa, aⁿbⁿ ∈ Q, lekin
aⁿ ∈/ Q ekanligi kelib chiqadi. Q id_√eal primar bo‘lganligi uchun shunday m ∈ N

son topilib, (bⁿ)^m ∈ Q. Demak, b ∈ Q ya’ni Q primar ideal.
Quyidagi teoremada R kommutativ halqaning I primar idealini R/I faktor halqa bilan xarakterlovchi xossani keltiramiz.
5.4.8-teorema. R kommutativ halqaning I ideali primar bo‘lishi uchun R/I faktor halqadagi ixtiyoriy nolning bo‘luvchisi nilpotent element bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriylik. Aytaylik, I primar ideal bo‘lib, a + I element R/I faktor halqada nolning bo‘luvchisi bo‘lsin. U holda shunday b + I ∈ R/I element uchun (a + I)(b + I) = I bo‘ladi. Bundan esa, ab ∈ I kelib chiqadi. I halqaning primarligini va b ∈/ I ekanligini hisobga olsak, qandaydir n ∈ N natural son uchun aⁿ ∈ I bo‘lishini hosil qilamiz. Demak, (a +I)ⁿ = aⁿ +I = I, ya’ni a +I nilpotent. Yetarlilik. Aytaylik, R/I faktor halqadagi ixtiyoriy nolning bo‘luvchisi nilpo-
tent bo‘lib, a, b ∈ R elementlar uchun ab ∈ I va a ∈/ I bo‘lsin. U holda
(a + I)(b + I) = ab + I = I. Agar b + I element nolning bo‘luvchisi bo‘ladi. Bundan esa uning nilpotent ekanligi, ya’ni (b + I)ⁿ = bⁿ + I = I bo‘lishi kelib chiqadi. U holda bⁿ ∈ I bo‘lib, I idealning primar ekanligini hosil qilamiz.
5.4.10-misol. Ixtiyoriy ideali birlamchi ideal bo‘ladigan butunlik sohasi maydon bo‘lishini isbotlang.
Yechish. Aytaylik, R butunlik sohasi bo‘lsin. U holda ixtiyoriy noldan farqli a ∈ R element uchun a²R idealni qaraymiz. Ushbu ideal birlamchi ideal bo‘lganligi uchun a² ∈ a²R munosabatdan a ∈ a²R kelib chiqadi. Demak, qandaydir, b ∈ R element topilib, a = a²b. Bundan esa, a(1 − ab) = 0 tenglikni hamda a /= 0 bo‘lganligi uchun ab = 1 bo‘lishini hosil qilamiz. Demak, R butunlik sohasining ixtiyoriy noldan farqli a elementi teskarilanuvchi ekan, ya’ni R maydon.
Q
5.4.11-misol. ⟨x⟩ ideal Z[x] halqaning birlamchi ideali bo‘lib, maksimal bo‘lmasligini ko‘rsating.


Yechish. Aytaylik, Z[x] halqaning
f (x) = a₀ + a₁x + · · · + a_nxⁿ, g(x) = b₀ + b₁x + · · · + b_mx^m
elementlari uchun f (x)g(x) ∈ ⟨x⟩ bo‘lsin. U holda a₀b₀ = 0 bo‘lib, a₀ = 0 yoki b₀ = 0 bo‘ladi. Bundan esa, f (x) ∈ ⟨x⟩ yoki g(x) ∈ ⟨x⟩ kelib chiqadi. Demak, ⟨x⟩ birlamchi ideal.
Endi ushbu idealning maksimal emasligini ko‘rsatamiz. Agar ⟨x, 2⟩ idealni qarasak, ushbu ideal uchun ⟨x⟩ ⊂ ⟨x, 2⟩ ⊂ Z[x] munosabat o‘rinli bo‘lib, bundan
⟨x⟩ idealning maksimal emasligi kelib chiqadi. Q
5.4.12-misol. ⟨x²⟩ ideal Z[x] halqaning primar ideali ekanligini ko‘rsating.
Yechish. Aytaylik, Z[x] halqaning
f (x) = a₀ + a₁x + · · · + a_nxⁿ, g(x) = b₀ + b₁x + · · · + b_bx^b

elementlari uchun f (x)g(x) ∈ ⟨x²⟩ va f (x) ∈/ ⟨x²⟩ bo‘lsin. U holda, a₀b₀ = 0 va

a₀b₁ + a₁b₀ = 0 bo‘lib, a₀ 0 yoki a₁ 0.
Agar a₀ 0 bo‘lsa, u holda b₀ = b₁ = 0, ya’ni g(x) ∈ ⟨x²⟩. Agar a₀ = 0 bo‘lsa,
u holda a₁ /= 0 bo‘lib, bundan b₀ = 0, ya’ni (g(x))² ∈ ⟨x²⟩ kelib chiqadi. Demak,
⟨x²⟩ primar ideal. Q

3.