Halqalarning to‘g‘ri yig‘indisi
Bizga A va B halqalar berilgan bo‘lsin. Ushbu to‘plamlarning A × B dekart ko‘paytmasida quyidagi amallarni aniqlaymiz
(a1, b1) + (a2, b2) = (a1 + a2, b1 + b2), (a1, b1) · (a2, b2) = (a1 · a2, b1 · b2),
bu yerda a1, a2 ∈ A, b1, b2 ∈ B bo‘lib, birinchi va ikkinchi komponentalar bo‘yicha yig‘indi va ko‘paytmalar mos ravishda A va B halqalardagi aniqlangan amallardir.
U holda A × B to‘plam yuqorida aniqlangan amallarga nisbatan halqa tashkil qilib, ushbu halqa A va B halqalarning to‘g‘ri yig‘indisi deb ataladi va A ⊕ B kabi belgilanadi. Ushbu halqada nol element (0, 0) ko‘rinishida bo‘lib, agar A va B halqalar birlik elementli halqalar bo‘lsa, u holda (1, 1) element birlik element vazifasini bajaradi. A va B halqalarning to‘g‘ri yig‘indisi nolning bo‘luvchilariga ega bo‘lgan halqa hisoblanadi, chunki, (a, 0) · (0, b) = (0, 0) ekanligidan (a, 0) va (0, b) ko‘rinishidagi elementlar nolning bo‘luvchisi ekanligi kelib chiqadi.
Biz yuqorida ikkita halqaning to‘g‘ri yig‘indisini aniqlagan bo‘lsak, induktiv tarzda bir nechta R1, R2, . . . , Rn halqalarning ham to‘g‘ri yig‘indisini aniqlash mumkin, ya’ni R1 ×R2 ×· · ·×Rn to‘plamda har bir komponenta bo‘yicha qo‘shish va ko‘paytirish amallarini aniqlash orqali halqa hosil qilish mumkin.
Do'stlaringiz bilan baham: |