Abstrakt algebra
Nyoter va Artin halqalari
Download 0,99 Mb.
|
ABSTRAKT ALGEBRA(oquv qollanma)
- Bu sahifa navigatsiya:
- 5.6.3-ta’rif.
- Artin
Nyoter va Artin halqalariUshbu paragrafda biz maxsus halqalar bo‘lgan Nyoter va Artin halqalari haqida gaplashamiz. Ta’kidlash joizki, Nyoter va Artin halqalari mos ravishda o‘suvchi va kamayuvchi zanjirlarning uzilish shartlari orqali beriladi. Bizga R halqa va uning A1, A1, . . . , As, . . . ideallari berilgan bo‘lsin. 5.6.1-ta’rif. Agar R halqadagi ixtiyoriy o‘suvchi ideallar ketma-ketligi A1 ⊆ A2 ⊆ · · · ⊆ As ⊆ . . . uchun shunday n soni topilib, An = An+1 = . . . munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda R halqa o‘suvchi zanjirlarning uzilish shartini qanoatlantiradi deb ataladi. 5.6.2-ta’rif. Agar R halqadagi ixtiyoriy kamayuvchi ideallar ketma-ketligi A1 ⊇ A2 ⊇ · · · ⊇ As ⊇ . . . uchun shunday n soni topilib, An = An+1 = . . . munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda R halqa kamayuvchi zanjirlarning uzilish shartini qanoatlantiradi deb ataladi. Boshqacha qilib aytganda, ixtiyoriy qat’iy o‘suvchi (kamayuvchi) zanjiri chekli bo‘lgan halqaga o‘suvchi zanjirlarning uzilish shartini (kamayuvchi zanjirlarning uzilish shartini) qanoatlantiradi deyiladi. 5.6.1-misol. Butun sonlar halqasi Z o‘suvchi zanjirlarning uzilish shartini qanoatlantirib, kamayuvchi zanjirlarning uzilish shartini qanoatlantirmaydi. Haqiqatdan ham, agar Z halqaning A1 ⊆ A2 ⊆ · · · ⊆ As ⊆ . . . o‘suvchi zanjiri berilgan bo‘lsa, u holda qandaydir mi sonlar uchun Ai = miZ bo‘lib, mi+1 | mi munosabat o‘rinli bo‘ladi. m1 son chekli bo‘lganligi va uning bo‘luvchilari soni chekli ekanligidan ixtiyoriy qat’iy o‘suvchi zanjir chekli ekanligi kelib chiqadi. Demak, Z halqa o‘suvchi zanjirlarning uzilish shartini qanoatlanti- radi. Lekin Z halqada cheksiz ko‘p ideallardan iborat 2Z ⊇ 4Z ⊇ · · · ⊇ 2sZ ⊇ . . . kamayuychi zanjir mavjud. Shuning uchun Z halqa kamayuvchi zanjirlarning uzi- lish shartini qanoatlantirmaydi. 5.6.3-ta’rif. O‘suvchi zanjirlarning uzilish shartini qanoatlantiruvchi halqa Nyoter halqasi deb ataladi. Kamayuvchi zanjirlarning uzilish shartini qanoatlantiruvchi halqa Artin halqasi deb ataladi. Yuqoridagi 5.6.1-misoldan ko‘rinadiki, butun sonlar halqasi Nyoter halqasi bo‘lib, Artin halqasi bo‘lmaydi. Bundan tashqari, ixtiyoriy chekli halqalar ham Nyoter, ham Artin halqasiga misol bo‘ladi. Quyidagi misolda esa, Nyoter halqasi ham Artin halqasi ham bo‘lmaydigan halqaga misol keltiramiz. 5.6.2-misol. [0, 1] kesmada uzluksiz bo‘lgan funksiyalar to‘plamida qo‘shish va ko‘paytirish amallarini (f + g)(x) = f (x) + g(x), (f · g)(x) = f (x)g(x) kabi aniqlasak, u holda C[0, 1] to‘plam ushbu amallarga nisbatan halqa bo‘lib, bu halqa Nyoter halqasi ham Artin halqasi ham bo‘lmaydi. Chunki, ushbu halqada 1 An = {f ∈ C[0, 1] | f (x) = 0, 0 ≤ x ≤ n}, 1 Bn = {f ∈ C[0, 1] | f (x) = 0, n ≤ x ≤ 1}, ideallarni qarasak, A1 ⊂ A2 ⊂ · · · ⊂ As ⊂ . . . cheksiz o‘suvchi zanjir bo‘lsa, B1 ⊃ B2 ⊃ · · · ⊃ Bs ⊃ . . . esa cheksiz kamayuvchi zanjir bo‘ladi. Ta’kidlash joizki, biz Nyoter va Artin halqalarining ta’riflarini halqaning ikki yoqlama ideallaridan iborat zanjirlar orqali kiritdik. Faqat chap (o‘ng) ideallardan iborat zanjirlar orqali chap (o‘ng) Nyoter va Artin halqalari ta’riflarini yuqoridagi kabi kiritish mumkin. Endi Nyoter halqalarining xususiyatini ta’riflovchi quyidagi teoremani kelti- ramiz. 5.6.1-teorema. Berilgan R halqa uchun quyidagilar ekvivalent:
Isbot. 1) ⇒ 2) Aytaylik, R halqa Nyoter halqasi bo‘lib, uning I ideallar sinfi berilgan bo‘lsin. Ixtiyoriy A1 ∈ I elementni, ya’ni R halqaning I sinfida yotadigan ixtiyoriy idealini olaylik. Agar A1 ideal I sinfning maksimal elementi bo‘lmasa, uni o‘z ichiga oluvchi A2 ideal mavjud. Xuddi shunday, agar A2 ideal ham maksimal element bo‘lmasa, u holda uni o‘z ichiga oluvchi A3 ideal mavjud. Ushbu jarayonni davom ettirish natijasida A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ · · · ⊂ Ak ⊂ . . . o‘suvchi zanjir hosil qilamiz. R halqa Nyoter halqasi bo‘lganligi uchun shunday n soni topilib, An = An+1 = . . . o‘rinli bo‘ladi. Ushbu An ideal esa, I ideallar sinfining maksimal elementi bo‘ladi.
a2 ∈ A, a2 ∈/ ⟨a1⟩ elementni olib, ⟨a1, a2⟩ idealni qaraymiz. Ushbu jarayonni davom ettirgan holda ⟨a1⟩ ⊂ ⟨a1, a2⟩ ⊂ · · · ⊂ ⟨a1, a2, . . . , an⟩ ⊂ . . . ideallarni hosil qilamiz. Agar I = {⟨a1⟩, ⟨a1, a2⟩, . . . ⟨a1, a2, . . . , an⟩, . . . } ideallar sinfini qarasak, ushbu sinf maksimal elementga ega. Ushbu maksimal element ⟨a1, a2, . . . , as⟩ uchun ⟨a1, a2, . . . , as⟩ = A munosabat o‘rinli bo‘ladi. Demak, A ideal chekli sondagi elementlar orqali hosil qilinadi.
A = ∞ Ai to‘plam ham R halqaning ideali bo‘lib, uning ham hosil qiluvchilari i=1 soni chekli bo‘ladi. Aytaylik, A = ⟨a1, a2, . . . , an⟩ bo‘lsin. U holda aj element qandaydir Aij elementga tegishli ekanligidan 1, 2, . . . , n sonlari uchun i1, i2, . . . , in sonlarini hosil qilamiz. Agar k = max{i1, i2, . . . , in} deb olsak, Ak = A bo‘lib, Ak = Ak+1 = . . . munosabat bajariladi. Ya’ni, R halqa Nyoter halqasi. Ta’kidalsh joizki, Artin halqalari uchun 5.6.1-teoremaning analogi quyidagicha bo‘ladi. 5.6.2-teorema. R halqa Artin halqasi bo‘lishi uchun, uning ixtiyoriy ideallar sinfi minimal elementga ega bo‘lishi zarur va yetarli. Quyida Artin halqasi bo‘lib, Nyoter halqasi bo‘lmaydigan halqaga misol kelti- ramiz. Z 5.6.3-misol. Ixtiyoriy p tub son uchun (p∞) = a pn ∈ Q | 0 ≤ a < pn, n ∈ N to‘plamni qaraymiz. Ushbu to‘plamda a ⊕ b = (a + b)(mod 1), a Ⓢ b = 0 amal- larni qarasak, (Z(p∞), ⊕, Ⓢ) uchlik birlik elementga ega bo‘lmagan kommutativ halqa tashkil qiladi. Ushbu halqadagi ko‘paytma trivial bo‘lganligi uchun ixtiyoriy (Z(p∞), ⊕) qism gruppa ideal bo‘ladi. Aytaylik, Z(p∞) halqaning qandaydir I ideali berilgan bo‘lib, k soni qanday- pk dir q element uchun q ∈/ I shart bajariluvchi eng kichik son bo‘lsin. Ma’lumki, pk = EKUB(q, p) = 1 bo‘ladi, aks holda p | q bo‘lib, q a pk−1 ∈/ I munosabatdan k sonining eng kichik ekanligiga ziddiyat hosil qilamiz. Endi I idealning 1 2 pk−1 − 1 Jk−1 = {0, pk−1 , pk−1 , . . . , pk−1 } qism to‘plamini qarab, I = J ekanligini ko‘rsatamiz. pn Faraz qilaylik, I idealda r , n ≥ k element mavjud bo‘lsin, bu yerda = EKUB(r, p) = 1. U holda shunday x, y butun sonlar topilib, xr + yp = 1. Ikkinchi pk tomondan esa xr (xpn−k)r pn yr y = va pk pk−1 elementlar I idealda yotganligi uchun = 1 xr+yp pk pk ∈ I. Bundan esa, ixtiyoriy q uchun pk ∈ I bo‘lib, bu k sonining tanla- q pn nishiga zid. Demak, I idealning barcha elementlari r , n < k ko‘rinishida bo‘ladi. Bundan esa, J = I kelib chiqadi. Shunday qilib, biz Z(p∞) halqaning ixtiyoriy xos ideali chekli ekanligini ko‘rsatdik. Bundan esa, ixtiyoriy kamayuvchi zanjirning chekli ekanligi kelib chiqadi. Ya’ni, (Z(p∞) halqa Artin halqasi. Lekin J1 ⊂ J2 ⊂ · · · ⊂ Jk ⊂ . . . qat’iy o‘suvchi zanjirni qarasak, bu zanjir chekli emas, ya’ni Z(p∞) halqa Nyoter halqasi emas. Endi Nyoter halqalarining gomomorf obrazi va ularning to‘g‘ri yig‘indilarini o‘rganamiz. Download 0,99 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2025
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling