Abstrakt algebra

Nyoter va Artin halqalari

Ushbu paragrafda biz maxsus halqalar bo‘lgan Nyoter va Artin halqalari haqida gaplashamiz. Ta’kidlash joizki, Nyoter va Artin halqalari mos ravishda o‘suvchi va kamayuvchi zanjirlarning uzilish shartlari orqali beriladi.
Bizga R halqa va uning A₁, A₁, . . . , A_s, . . . ideallari berilgan bo‘lsin.
5.6.1-ta’rif. Agar R halqadagi ixtiyoriy o‘suvchi ideallar ketma-ketligi
A₁ ⊆ A₂ ⊆ · · · ⊆ A_s ⊆ . . .
uchun shunday n soni topilib, A_n = A_n+1 = . . . munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda
R halqa o‘suvchi zanjirlarning uzilish shartini qanoatlantiradi deb ataladi.
5.6.2-ta’rif. Agar R halqadagi ixtiyoriy kamayuvchi ideallar ketma-ketligi
A₁ ⊇ A₂ ⊇ · · · ⊇ A_s ⊇ . . .
uchun shunday n soni topilib, A_n = A_n+1 = . . . munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda R
halqa kamayuvchi zanjirlarning uzilish shartini qanoatlantiradi deb ataladi.

Boshqacha qilib aytganda, ixtiyoriy qat’iy o‘suvchi (kamayuvchi) zanjiri chekli bo‘lgan halqaga o‘suvchi zanjirlarning uzilish shartini (kamayuvchi zanjirlarning uzilish shartini) qanoatlantiradi deyiladi.

5.6.1-misol. Butun sonlar halqasi Z o‘suvchi zanjirlarning uzilish shartini qanoatlantirib, kamayuvchi zanjirlarning uzilish shartini qanoatlantirmaydi. Haqiqatdan ham, agar Z halqaning
A₁ ⊆ A₂ ⊆ · · · ⊆ A_s ⊆ . . .
o‘suvchi zanjiri berilgan bo‘lsa, u holda qandaydir m_i sonlar uchun A_i = m_iZ bo‘lib, m_i+1 | m_i munosabat o‘rinli bo‘ladi. m₁ son chekli bo‘lganligi va uning bo‘luvchilari soni chekli ekanligidan ixtiyoriy qat’iy o‘suvchi zanjir chekli ekanligi kelib chiqadi. Demak, Z halqa o‘suvchi zanjirlarning uzilish shartini qanoatlanti- radi.
Lekin Z halqada cheksiz ko‘p ideallardan iborat
2Z ⊇ 4Z ⊇ · · · ⊇ 2^sZ ⊇ . . .
kamayuychi zanjir mavjud. Shuning uchun Z halqa kamayuvchi zanjirlarning uzi- lish shartini qanoatlantirmaydi.
5.6.3-ta’rif. O‘suvchi zanjirlarning uzilish shartini qanoatlantiruvchi halqa
Nyoter halqasi deb ataladi.
Kamayuvchi zanjirlarning uzilish shartini qanoatlantiruvchi halqa Artin halqasi deb ataladi.
Yuqoridagi 5.6.1-misoldan ko‘rinadiki, butun sonlar halqasi Nyoter halqasi bo‘lib, Artin halqasi bo‘lmaydi. Bundan tashqari, ixtiyoriy chekli halqalar ham Nyoter, ham Artin halqasiga misol bo‘ladi. Quyidagi misolda esa, Nyoter halqasi ham Artin halqasi ham bo‘lmaydigan halqaga misol keltiramiz.
5.6.2-misol. [0, 1] kesmada uzluksiz bo‘lgan funksiyalar to‘plamida qo‘shish va ko‘paytirish amallarini
(f + g)(x) = f (x) + g(x), (f · g)(x) = f (x)g(x)
kabi aniqlasak, u holda C[0, 1] to‘plam ushbu amallarga nisbatan halqa bo‘lib, bu halqa Nyoter halqasi ham Artin halqasi ham bo‘lmaydi. Chunki, ushbu halqada
1
A_n = {f ∈ C[0, 1] | f (x) = 0, 0 ≤ x ≤ _n},
1
B_n = {f ∈ C[0, 1] | f (x) = 0, _n ≤ x ≤ 1},
ideallarni qarasak, A₁ ⊂ A₂ ⊂ · · · ⊂ A_s ⊂ . . . cheksiz o‘suvchi zanjir bo‘lsa,
B₁ ⊃ B₂ ⊃ · · · ⊃ B_s ⊃ . . . esa cheksiz kamayuvchi zanjir bo‘ladi.

Ta’kidlash joizki, biz Nyoter va Artin halqalarining ta’riflarini halqaning ikki yoqlama ideallaridan iborat zanjirlar orqali kiritdik. Faqat chap (o‘ng) ideallardan iborat zanjirlar orqali chap (o‘ng) Nyoter va Artin halqalari ta’riflarini yuqoridagi kabi kiritish mumkin.

Endi Nyoter halqalarining xususiyatini ta’riflovchi quyidagi teoremani kelti- ramiz.
5.6.1-teorema. Berilgan R halqa uchun quyidagilar ekvivalent:

1. 
   R halqa Nyoter halqasi.
   
2. 
   R halqaning ixtiyoriy ideallar sinfi maksimal elementga ega.
   
3. 
   R halqaning ixtiyoriy ideali hosil qiluvchilari soni chekli bo‘lgan ideal.
   

Isbot. 1) ⇒ 2) Aytaylik, R halqa Nyoter halqasi bo‘lib, uning I ideallar sinfi berilgan bo‘lsin. Ixtiyoriy A₁ ∈ I elementni, ya’ni R halqaning I sinfida yotadigan ixtiyoriy idealini olaylik. Agar A₁ ideal I sinfning maksimal elementi bo‘lmasa, uni o‘z ichiga oluvchi A₂ ideal mavjud. Xuddi shunday, agar A₂ ideal ham maksimal element bo‘lmasa, u holda uni o‘z ichiga oluvchi A₃ ideal mavjud. Ushbu jarayonni davom ettirish natijasida A₁ ⊂ A₂ ⊂ A₃ ⊂ · · · ⊂ A_k ⊂ . . . o‘suvchi zanjir hosil qilamiz. R halqa Nyoter halqasi bo‘lganligi uchun shunday n soni topilib, A_n = A_n+1 = . . . o‘rinli bo‘ladi. Ushbu A_n ideal esa, I ideallar sinfining maksimal elementi bo‘ladi.

2. 
   ⇒ 3) Aytaylik, R halqadagi ixtiyoriy I ideallar sinfi maksimal elementga ega bo‘lib, R halqaning ixtiyoriy A ideali berilgan bo‘lsin. U holda a₁ ∈ A element uchun ⟨a₁⟩ idealni qaraymiz. Agar ⟨a₁⟩ = A bo‘lsa, u holda A ideal bitta hosil qiluvchili ideal bo‘lib, tasdiq isboti kelib chiqadi. Agar ⟨a₁⟩ ⊂ A bo‘lsa, u holda
   

a₂ ∈ A, a₂ ∈/ ⟨a₁⟩ elementni olib, ⟨a₁, a₂⟩ idealni qaraymiz. Ushbu jarayonni
davom ettirgan holda
⟨a₁⟩ ⊂ ⟨a₁, a₂⟩ ⊂ · · · ⊂ ⟨a₁, a₂, . . . , a_n⟩ ⊂ . . .
ideallarni hosil qilamiz. Agar I = {⟨a₁⟩, ⟨a₁, a₂⟩, . . . ⟨a₁, a₂, . . . , a_n⟩, . . . } ideallar sinfini qarasak, ushbu sinf maksimal elementga ega. Ushbu maksimal element
⟨a₁, a₂, . . . , a_s⟩ uchun ⟨a₁, a₂, . . . , a_s⟩ = A munosabat o‘rinli bo‘ladi. Demak, A
ideal chekli sondagi elementlar orqali hosil qilinadi.

2. 
   
   S
   ⇒ 1) Aytaylik, R halqaning ixtiyoriy idealining hosil qiluvchilari soni chekli bo‘lib, A₁ ⊂ A₂ ⊂ · · · ⊂ A_s ⊂ . . . o‘suvchi zanjir berilgan bo‘lsin. U holda
   

A = ∞ A_i to‘plam ham R halqaning ideali bo‘lib, uning ham hosil qiluvchilari
i=1
soni chekli bo‘ladi. Aytaylik, A = ⟨a₁, a₂, . . . , a_n⟩ bo‘lsin. U holda a_j element
qandaydir A_ij elementga tegishli ekanligidan 1, 2, . . . , n sonlari uchun i₁, i₂, . . . , i_n

sonlarini hosil qilamiz. Agar k = max{i₁, i₂, . . . , i_n} deb olsak, A_k = A bo‘lib,

A_k = A_k+1 = . . . munosabat bajariladi. Ya’ni, R halqa Nyoter halqasi.
Ta’kidalsh joizki, Artin halqalari uchun 5.6.1-teoremaning analogi quyidagicha bo‘ladi.
5.6.2-teorema. R halqa Artin halqasi bo‘lishi uchun, uning ixtiyoriy ideallar sinfi minimal elementga ega bo‘lishi zarur va yetarli.
Quyida Artin halqasi bo‘lib, Nyoter halqasi bo‘lmaydigan halqaga misol kelti- ramiz.

Z
5.6.3-misol. Ixtiyoriy p tub son uchun

(p^∞) = ^a _pn

∈ Q | 0 ≤ a < pⁿ, n ∈ N

to‘plamni qaraymiz. Ushbu to‘plamda a ⊕ b = (a + b)(mod 1), a Ⓢ b = 0 amal- larni qarasak, (Z(p^∞), ⊕, Ⓢ) uchlik birlik elementga ega bo‘lmagan kommutativ halqa tashkil qiladi. Ushbu halqadagi ko‘paytma trivial bo‘lganligi uchun ixtiyoriy (Z(p^∞), ⊕) qism gruppa ideal bo‘ladi.
Aytaylik, Z(p^∞) halqaning qandaydir I ideali berilgan bo‘lib, k soni qanday-

_pk
dir q element uchun ^q ∈/ I shart bajariluvchi eng kichik son bo‘lsin. Ma’lumki,

_pk

=
EKUB(q, p) = 1 bo‘ladi, aks holda p | q bo‘lib, ^q
a _pk−1
∈/ I munosabatdan k

sonining eng kichik ekanligiga ziddiyat hosil qilamiz. Endi I idealning
1 2 p^k−1 − 1

J_k−1 = {0, _pk−1 , _pk−1 , . . . ,
_pk−1 ^}

qism to‘plamini qarab, I = J ekanligini ko‘rsatamiz.

_pn
Faraz qilaylik, I idealda ^r , n ≥ k element mavjud bo‘lsin, bu yerda

=
EKUB(r, p) = 1. U holda shunday x, y butun sonlar topilib, xr + yp = 1. Ikkinchi

_pk
tomondan esa ^xr
(xp^n−k)r _pn
yr y

=

va
_pk _pk−1
elementlar I idealda yotganligi uchun

=
1 ^xr+yp
_pk _pk
∈ I. Bundan esa, ixtiyoriy q uchun _pk
∈ I bo‘lib, bu k sonining tanla-

q

_pn
nishiga zid. Demak, I idealning barcha elementlari ^r , n < k ko‘rinishida bo‘ladi. Bundan esa, J = I kelib chiqadi. Shunday qilib, biz Z(p^∞) halqaning ixtiyoriy xos ideali chekli ekanligini ko‘rsatdik. Bundan esa, ixtiyoriy kamayuvchi zanjirning chekli ekanligi kelib chiqadi. Ya’ni, (Z(p^∞) halqa Artin halqasi.
Lekin
J₁ ⊂ J₂ ⊂ · · · ⊂ J_k ⊂ . . .
qat’iy o‘suvchi zanjirni qarasak, bu zanjir chekli emas, ya’ni Z(p^∞) halqa Nyoter halqasi emas.
Endi Nyoter halqalarining gomomorf obrazi va ularning to‘g‘ri yig‘indilarini o‘rganamiz.