Abstrakt algebra
Download 0,99 Mb.
|
ABSTRAKT ALGEBRA(oquv qollanma)
- Bu sahifa navigatsiya:
- 6.1.4-ta’rif.
6.1.2-ta’rif. Agar K ⊂ F kengaytmada a ∈ F element uchun hech bo‘lmaganda bittasi noldan farqli bo‘lgan k0, k1, . . . , kn−1, kn ∈ K elementlar topilib,
k0an + k1an−1 + · · · + kn−1a + kn = 0 tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda a element K maydon ustida algebraik element deb ataladi. Aks holda, ushbu elementga transendent element deyiladi. Ta’rifdan ko‘rinadiki, agar a ∈ F element K maydon ustida algebraik bo‘lsa, u holda u koeffitsiyentlari K maydondan olingan biror ko‘phadning ildizi bo‘ladi. Bunday ko‘phadlarning darajasi eng kichik bo‘lganini a algebraik elementning minimal ko‘phadi deb ataladi. Ta’kidlash joizki, minimal ko‘phad bir qiy- matli aniqlanib, u K maydon ustida keltirilmas ko‘phad bo‘ladi. Ushbu minimal ko‘phadning d√arajasi esa a algebraik elementning darajasi deb ataladi. Masalan, 3 ∈ R soni Q ratsional sonlar maydoni ustida algebraik bo‘lib, uning darajasi 2 ga teng. 6.1.3-ta’rif. Agar α1, α2, . . . , αn algebraik elementlar topilib, K(α1, α2, . . . , αn) = F bo‘lsa, u holda K ⊂ F kengaytma algebraik hosil qilingan kengaytma deyi- ladi. Xususan, n = 1, ya’ni F = K(α) bo‘lganda bunday kengaytmaga sodda al- gebraik kengaytma deb ataladi. Ushbu α elementga esa primitiv element deyiladi. Agar K ⊂ F kengaytma uchun shunday K = K0 ⊂ K1 ⊂ · · · ⊂ Ks = F sodda algebraik kengaytmalar ketma-ketligi mavjud bo‘lsa, u holda ushbu ken- gaytmaga murakkab algebraik kengaytma deb ataladi. Ya’ni murakkab algeb- raik kengaytma, bu α1, α2, . . . , αs elementlar orqali hosil qilingan Ki = Ki−1(αi) ko‘rinishidagi bir nechta sodda algebraik kengaytmalar ketma-ketligidan iborat. Murakkab algebraik kengaytmaning ta’rifida umuman olganda αi elementlar Ki−1 maydonlarda algebraik bo‘lib, K maydonda algebraik bo‘lishi talab qilinmaydi. 6.1.4-ta’rif. Agar K ⊂ F kengaytmada ixtiyoriy a ∈ F element K maydonga nisbatan algebraik bo‘lsa, u holda ushbu kengaytmaga algebraik kengaytma deb ataladi. 6.1.1-tasdiq. K ⊂ F kengaytmada a ∈ F algebraik element berilgan bo‘lib, bu elementning darajasi n ga teng bo‘lsa, u holda [K(a) : K] = n, ya’ni sodda algebraik kengaytmaning darajasi minimal ko‘phadning darajasiga teng. Isbot. Aytaylik, a ∈ F element K maydon ustida algebraik element bo‘lib, f (x) uning minimal ko‘phadi bo‘lsin, ya’ni f (a) = 0, bu yerda deg(f (x)) = n. Quyidagi K[x] = {k0xs + k1xs−1 + · · · + ks−1x + ks | ki ∈ K} bir ozgaruvchili ko‘phadlar halqasini qaraymiz. Ma’lumki, K[a] ⊂ K(a) munos- abat o‘rinli. Biz K(a) ⊂ K[a] bo‘lishini ko‘rsatamiz. Buning uchun ixtiyoriy noldan farqli β = g(a) element uchun β−1 ∈ K[a] ekanligini ko‘rsatish kifoya, bu yerda g(x) koeffitsiyentlari K maydondan olingan qandaydir ko‘phad. g(a) /= 0 bo‘lganligi uchun g(x) ko‘phad f (x) ko‘phadga bo‘linmaydi hamda f (x) ko‘phadning keltirilmas ekanligidan EKUB(g(x), f (x)) = 1 bo‘lishi kelib chiqadi. U holda shunday M (x) va N (x) ko‘phadlar topilib, f (x)M (x) + g(x)N (x) = 1 tenglik o‘rinli. Ushbu tenglikdan x = a bo‘lganda g(a)N (a) = 1 ekanligini, ya’ni β−1 = N (a) ∈ K[a] bo‘lishini hosil qilamiz. Demak, K(a) = K[a]. Shunday qilib, biz ixtiyoriy β ∈ K(a) element uchun shunday g(x) ∈ K[x] ko‘phad topilib, β = g(a) ekanligini ko‘rsatdik. Agar g(x) ko‘phadni f (x) ko‘phadga qoldiqli bo‘lsak, g(x) = f (x)q(x) + r(x) tenglikdan β = g(a) = r(a) ekanligiga ega bo‘lamiz. Bu esa K(a) maydonning ixtiyoriy elementini dara- jasi n dan oshmaydigan r(x) ko‘phad orqali β = r(a) kabi yozish mumkinligini bildiradi. Bundan tashqari, 1, a, a2, . . . , an−1 elementlar K maydonda chiziqli erkli bo‘lganligi uchun ular K(a) maydonda bazis bo‘ladi. Demak, [K(a) : K] = n. Ta’kidlash joizki, biz yuqoridagi tasdiqning isbotida sodda algebraik ken- gaytma uchun K[a] ko‘phadlar halqasining maydon ekanligini va 1, a, a2, . . . , an−1 elementlarning K(a) maydonda bazis bo‘lishini ko‘rsatdik, bu yerda n soni a ele- mentning minimal ko‘phadi darajasi. Bundan tashqari, quyidagi natijani ham bevosita tasdiqning isbotidan hosil qilamiz. Download 0,99 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2025
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling