Abstrakt algebra

6.1.2-ta’rif. Agar K ⊂ F kengaytmada a ∈ F element uchun hech bo‘lmaganda bittasi noldan farqli bo‘lgan k₀, k₁, . . . , k_n−1, k_n ∈ K elementlar topilib,
k₀aⁿ + k₁aⁿ⁻¹ + · · · + k_n−1a + k_n = 0
tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda a element K maydon ustida algebraik element deb ataladi. Aks holda, ushbu elementga transendent element deyiladi.
Ta’rifdan ko‘rinadiki, agar a ∈ F element K maydon ustida algebraik bo‘lsa, u holda u koeffitsiyentlari K maydondan olingan biror ko‘phadning ildizi bo‘ladi. Bunday ko‘phadlarning darajasi eng kichik bo‘lganini a algebraik elementning minimal ko‘phadi deb ataladi. Ta’kidlash joizki, minimal ko‘phad bir qiy- matli aniqlanib, u K maydon ustida keltirilmas ko‘phad bo‘ladi. Ushbu minimal
ko‘phadning d_√arajasi esa a algebraik elementning darajasi deb ataladi.
Masalan, 3 ∈ R soni Q ratsional sonlar maydoni ustida algebraik bo‘lib,
uning darajasi 2 ga teng.
6.1.3-ta’rif. Agar α₁, α₂, . . . , α_n algebraik elementlar topilib, K(α₁, α₂, . . . , α_n) = F bo‘lsa, u holda K ⊂ F kengaytma algebraik hosil qilingan kengaytma deyi- ladi.
Xususan, n = 1, ya’ni F = K(α) bo‘lganda bunday kengaytmaga sodda al- gebraik kengaytma deb ataladi. Ushbu α elementga esa primitiv element deyiladi.
Agar K ⊂ F kengaytma uchun shunday
K = K₀ ⊂ K₁ ⊂ · · · ⊂ K_s = F
sodda algebraik kengaytmalar ketma-ketligi mavjud bo‘lsa, u holda ushbu ken- gaytmaga murakkab algebraik kengaytma deb ataladi. Ya’ni murakkab algeb- raik kengaytma, bu α₁, α₂, . . . , α_s elementlar orqali hosil qilingan K_i = K_i−1(α_i) ko‘rinishidagi bir nechta sodda algebraik kengaytmalar ketma-ketligidan iborat. Murakkab algebraik kengaytmaning ta’rifida umuman olganda α_i elementlar K_i−1 maydonlarda algebraik bo‘lib, K maydonda algebraik bo‘lishi talab qilinmaydi.


6.1.4-ta’rif. Agar K ⊂ F kengaytmada ixtiyoriy a ∈ F element K maydonga nisbatan algebraik bo‘lsa, u holda ushbu kengaytmaga algebraik kengaytma deb ataladi.
6.1.1-tasdiq. K ⊂ F kengaytmada a ∈ F algebraik element berilgan bo‘lib, bu elementning darajasi n ga teng bo‘lsa, u holda [K(a) : K] = n, ya’ni sodda algebraik kengaytmaning darajasi minimal ko‘phadning darajasiga teng.
Isbot. Aytaylik, a ∈ F element K maydon ustida algebraik element bo‘lib, f (x) uning minimal ko‘phadi bo‘lsin, ya’ni f (a) = 0, bu yerda deg(f (x)) = n. Quyidagi
K[x] = {k₀x^s + k₁x^s−1 + · · · + k_s−1x + k_s | k_i ∈ K}
bir ozgaruvchili ko‘phadlar halqasini qaraymiz. Ma’lumki, K[a] ⊂ K(a) munos- abat o‘rinli. Biz K(a) ⊂ K[a] bo‘lishini ko‘rsatamiz. Buning uchun ixtiyoriy noldan farqli β = g(a) element uchun β⁻¹ ∈ K[a] ekanligini ko‘rsatish kifoya, bu yerda g(x) koeffitsiyentlari K maydondan olingan qandaydir ko‘phad.
g(a) /= 0 bo‘lganligi uchun g(x) ko‘phad f (x) ko‘phadga bo‘linmaydi hamda
f (x) ko‘phadning keltirilmas ekanligidan EKUB(g(x), f (x)) = 1 bo‘lishi kelib chiqadi. U holda shunday M (x) va N (x) ko‘phadlar topilib,
f (x)M (x) + g(x)N (x) = 1
tenglik o‘rinli. Ushbu tenglikdan x = a bo‘lganda g(a)N (a) = 1 ekanligini, ya’ni
β⁻¹ = N (a) ∈ K[a] bo‘lishini hosil qilamiz. Demak, K(a) = K[a].
Shunday qilib, biz ixtiyoriy β ∈ K(a) element uchun shunday g(x) ∈ K[x] ko‘phad topilib, β = g(a) ekanligini ko‘rsatdik. Agar g(x) ko‘phadni f (x) ko‘phadga qoldiqli bo‘lsak, g(x) = f (x)q(x) + r(x) tenglikdan β = g(a) = r(a) ekanligiga ega bo‘lamiz. Bu esa K(a) maydonning ixtiyoriy elementini dara- jasi n dan oshmaydigan r(x) ko‘phad orqali β = r(a) kabi yozish mumkinligini bildiradi. Bundan tashqari, 1, a, a², . . . , aⁿ⁻¹ elementlar K maydonda chiziqli erkli bo‘lganligi uchun ular K(a) maydonda bazis bo‘ladi. Demak, [K(a) : K] = n.
Ta’kidlash joizki, biz yuqoridagi tasdiqning isbotida sodda algebraik ken- gaytma uchun K[a] ko‘phadlar halqasining maydon ekanligini va 1, a, a², . . . , aⁿ⁻¹ elementlarning K(a) maydonda bazis bo‘lishini ko‘rsatdik, bu yerda n soni a ele- mentning minimal ko‘phadi darajasi. Bundan tashqari, quyidagi natijani ham bevosita tasdiqning isbotidan hosil qilamiz.