Abstrakt algebra

5.6.6-teorema (Gilbertning bazis haqidagi teoremasi). Agar R halqa kom- mutativ birlik elementli Nyoter halqasi bo‘lsa, u holda R[x₁, x₂, . . . , x_n] ko‘phadlar halqasi ham Nyoter halqasi bo‘ladi.

Endi Artin halqasining muhim xossalaridan birini keltiramiz.

5.6.7-teorema. Bittadan ko‘p elementga ega va nolning bo‘luvchilariga ega bo‘lmagan kommutativ Artin halqasi maydon bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, R halqa nolning bo‘luvchilariga ega bo‘lmagan kommutativ Artin halqasi bo‘lsin. Ixtiyoriy a ∈ R element olib, quyidagi ideallarni qaraymiz

2 3
⟨a⟩ ⊃ ⟨a ⟩ ⊃ ⟨a ⟩ . . . .
U holda shunday n soni topilib, ⟨aⁿ⟩ = ⟨aⁿ⁺¹⟩ = . . . munosabat o‘rinli, ya’ni aⁿ ∈ ⟨aⁿ⁺¹⟩. Demak, qandaydir m butun son va r ∈ R element uchun aⁿ = raⁿ⁺¹ + maⁿ⁺¹ tenglik o‘rinli bo‘lib, bundan aⁿ⁻¹(a − ra² − ma²) = 0 kelib chiqadi. aⁿ⁻¹ /= 0 va R halqa nolning bo‘luvchilariga ega bo‘lmaganligi uchun
a = ra² + ma² = (ra + ma)a.

| ∈ Z ∈ Q
Ushbu e = ra + ma element R halqaning birlik elementi bo‘lib, e = (r + me)a ekanligidan esa a elementning teskarilanuvchi ekanligi kelib chiqadi. Demak, R maydon bo‘ladi.
5.6.4-misol. R = ^{a b} a , b, c halqa o‘ng Nyoter halqasi bo‘lib,
0 c

₀
chap Nyoter halqasi emasligini ko‘rsating.

Yechish. Ushbu R halqada I_n =
m

0 0
²ⁿ | m ∈ Z

to‘plamlarni qarasak,

ular halqaning chap ideallari bo‘lib, I_n ⊂ I_n+1 bo‘ladi. Ya’ni R halqada

I₁ ⊂ I₂ ⊂ I₃ ⊂ · · · ⊂ I_k ⊂ . . .
qat’iy o‘zuvchi chap ideallar zanjiri mavjud. Demak, R halqa chap Nyoter halqasi emas.
Endi ushbu R halqaning o‘ng Nyoter halqasi ekanligini ko‘rsatamiz. Buning
uchun R halqaning ixtiyoriy o‘ng idealining hosil qiluvchi elementlari soni chekli ekanligini ko‘rsatish kifoya.
Agar R halqaning ideali A₁ = ko‘rinishda bo‘lsa, u holda

1
b

0 0

0 b
_{0 b 0 0} = _{0 1}



0

0 0

0 0

0 0

1

0 0

0 0

r

ekanligidan ^{0 1} ∈ A bo‘lishini, ya’ni A = ^{0 1} R = ^{0 1} teng-
likni hosil qilamiz. Bu esa, A₁ ideal bitta hosil qiluvchi elementga ega ekanligini
anglatadi.

Xuddi shunga o‘xshab,

2

0 c

0 1

3

0 c

0 0

0 1

r


r

A = _{0 0} = _{0 0} , A = _{0 b} = _{0 1} , _{0 0} ,
A = _{m d} = _{k 0} , _{0 0}


4

0 e

0 0

1 0
ekanligini ko‘rsatish mumkin. Bu yerda, b /= 0, c /= 0, m /= 0 hamda k element A₄ ko‘rinishidagi idealga tegishli matritsalarning birinchi ustun va birinchi satrida turgan sonlar ichidagi eng kichik natural son. Q

1. Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

   1. 
      O‘zi Artin halqasi bo‘lib, qism halqasi Artin halqasi bo‘lmaydigan halqaga misol keltiring.
      
   2. 
      O‘zi Nyoter halqasi bo‘lib, qism halqasi Nyoter halqasi bo‘lmaydigan halqaga misol keltiring.
      
   3. 
      Artin halqasining gomomorf obrazi ham Artin halqasi bo‘lishini isbotlang.
      
   4. 
      Agar R halqaning I ideali berilgan bo‘lib, I va R/I halqalar Artin halqalari bo‘lsa, u holda R halqaning ham Artin halqasi ekanligini ko‘rsating.
      
   5. 
      Agar birlik elementli o‘ng Artin halqasida qandaydir a, b elementlar uchun
      

ab = 1 bo‘lsa, u holda ba = 1 ekanligini ko‘rsating.

6. 
   Birlik elementli kommutativ Artin halqasining ixtiyoriy birlamchi(prime) ide- ali maksimal ekanligini ko‘rsating.
   

BOB 6

Galua nazariyasi

Biz ushbu bobda maydonning kengaytmalari tushunchalarini kiritib, u orqali Galua nazariyasini keltiramiz. Ma’lumki, Galua nazariyasi algebraik tenglamalarni radikallarda yechish masalasini o‘rganish natijasida paydo bo‘lgan bo‘lib, algebraik ko‘phadga o‘rin almashtirishlar gruppasining qism gruppasi bo‘lgan Galua gruppasini mos qo‘yish orqali amalga oshiriladi. Galua nazariyasi- ning fundamental teoremasi biror maydonning chekli normal va separabel ken- gaytmasining Galua gruppasi barcha qism gruppalari bilan ushbu kengaytma qism maydonlari orasidagi moslikni o‘rnatuvchi teorema hisoblanadi. Bobning asosiy teoremalaridan biri bu f (x) = 0 algebraik tenglama radikallarda yechilishi uchun ushbu ko‘phadga mos keluvchi Galua gruppasining yechiluvchan bo‘lishi zarur va yetarli ekanligi haqidagi teoremadir.

1. Maydonning kengaytmalari

Dastlab maydonning kengaytmalari tushunchalarini kiritib olamiz. Bizga F may- don va uning K qism maydoni berilgan bo‘lsa, u holda F maydon K maydonning kengaytmasi deb ataladi. Biz K maydonning F kengaytmasi berilgan bo‘lsa, K ⊂ F kabi belgilashdan foydalanamiz. Ta’kidlash joizki, K ⊂ F kengaytmada F maydonni K maydon ustidagi vektor fazo sifatida qarash mumkin.
6.1.1-ta’rif. K ⊂ F kengaytmada F maydonni K maydon ustidagi vektor fazo sifatidagi o‘lchami dim_K F = [F : K] kabi belgilanadi va F maydonning K maydon ustidagi darajasi deb ataladi.
Agar [F : K] soni chekli bo‘lsa, u holda ushbu kengaytma chekli kengaytma, aks holda cheksiz deb ataladi. Demak, K ⊂ F kengaytma chekli bo‘lib, [F : K] = n bo‘lsa, u holda shunday α₁, α₂, . . . , α_n ∈ F elementlar mavjud bo‘lib, ixtiyoriy β ∈ F element yagona ravishda
β = k₁α₁ + k₂α₂ + · · · + k_nα_n
207

kabi ifodalanadi, bu yerda k₁, k₂, . . . , k_n ∈ K. Ushbu α₁, α₂, . . . , α_n elementlar esa

K ⊂ F kengaytmaning bazisi deb ataladi.
Bizga K ⊂ F kengaytma va X ⊂ F to‘plam berilgan bo‘lsin. Ma’lumki, biror maydonning qism maydonlari kesishmasi yana qism maydon bo‘ladi. F maydon- ning K ∪ X to‘plamni o‘z ichiga oluvchi barcha qism maydonlari kesishmasi K maydon ustida X to‘plam orqali hosil qilingan maydon deyiladi va K(X) kabi bel- gilanadi. Ushbu K(X) maydon X to‘plam, hamda K maydonni o‘z ichiga oluvchi eng kichik maydon bo‘ladi. X to‘plam chekli bo‘lib, X = {α₁, α₂, . . . , α_n} bo‘lgan holda biz K maydonning chekli K(α₁, α₂, . . . , α_n) kengaytmasini hosil qilamiz.