Abstrakt algebra

Maksimal, birlamchi(prime) va primar(primary) ideallar

Endi halqaning bir qancha maxsus ideallari tushunchalarini keltirib, ularning xos- salarini o‘rganamiz. Dastlab, birlamchi(prime) ideal tushunchasini kiritamiz. Ta’kidlab o‘tish joizki, birlamchi ideal tushunchasining bir qancha ekvivalent ta’riflari mavjud bo‘lib, biz asosiy ta’rif sifatida quyidagini keltiramiz.
5.4.4-ta’rif. Aytaylik, R halqaning P ideali berilgan bo‘lsin. Agar ixtiyoriy A, B ideallar uchun AB ⊆ P ekanligidan A ⊆ P yoki B ⊆ P kelib chiqsa, u holda P ideal birlamchi(prime) ideal deb ataladi.
Ta’kidlash joizki, agar P birlamchi ideal bo‘lib, a, b ∈ R elementlar uchun
⟨a⟩⟨b⟩ ⊆ P bo‘lsa, u holda ⟨a⟩ ⊆ P yoki ⟨b⟩ ⊆ P kelib chiqadi. Bu esa, a ∈ P yoki b ∈ P ekanligini anglatadi. Demak, P birlamchi ideal bo‘lib, ⟨a⟩⟨b⟩ ⊆ P bo‘lsa, u holda a ∈ P yoki b ∈ P. Bundan tashqari, qandaydir k ∈ N natural soni uchun
⟨a⟩^k ⊆ P bo‘lsa, u holda a ∈ P bo‘ladi.
Birlamchi ideal tushunchasini yuqoridagi ta’rifga ekvivalent bo‘lgan quyidagi ta’rif orqali ham aniqlash mumkin. Ushbu ta’rifning yuqoridagi ta’rifdan farqi shundaki, bunda birlamchi ideal tushunchasi halqaning elementlari orqali beriladi.
5.4.5-ta’rif. Aytaylik, R halqaning P ideali berilgan bo‘lsin. Agar ixtiyoriy a, b ∈ R elementlar uchun aRb ⊆ P ekanligidan a ∈ P yoki b ∈ P kelib chiqsa, u holda P ideal birlamchi(prime) ideal deb ataladi.
Quyidagi teoremada esa, yuqoridagi ta’riflarning ekvivalent ekanligini ko‘rsatamiz.
5.4.3-teorema. R halqaning P ideali birlamchi ideal bo‘lishi uchun ixtiyoriy a, b ∈ R elementlar uchun aRb ⊆ P ekanligidan a ⊆ P yoki b ⊆ P kelib chiqishi zarur va yetarli.