Abstrakt algebra

BOB 5

Halqalar va ideallar

Biz avvalgi boblarda bitta binar amalga ega bo‘lgan algebraik sistemalarni, ya’ni gruppalarni batafsil o‘rgandik. Ushbu bobda esa ikkita binar amal bilan aniqlanu- vchi algebraik sistema bo‘lgan halqa tushunchasini kiritamiz. Gruppadagi ko‘plab tushunchalarning analoglari halqalar uchun ham aniqlanishi bilan bir qatorda, faqat halqalarga tegishli bo‘lgan tushunchalar ham mavjud. Biz ushbu bobda gruppalar nazariyasidan ma’lum bo‘lib, halqalar uchun ham analoglariga ega bo‘lgan xossalarni keltirganimizda, ba’zi tasdiq va teoremalarning isbotlarini qisqacha keltirib ketamiz.

1. Halqalar va ularning turlari

Bizga bo‘sh bo‘lmagan R to‘plam berilgan bo‘lib, unda ikkita binar amal aniqlan- gan bo‘lsin. Ushbu binar amallarni + va · kabi belgilab, ularni shartli ravishda qo‘shish va ko‘paytirish amallari deb ataymiz.
5.1.1-ta’rif. Bo‘sh bo‘lmagan R to‘plamda aniqlangan + va · binar amallari quyidagi shartlarni qanoatlantirsa:

1. 
   (R, +) kommutativ gruppa;
   
2. 
   (R, ·) yarim gruppa;
   
3. 
   Barcha a, b, c ∈ R elementlar uchun
   

a · (b + c) = (a · b) + (a · c), (b + c) · a = (b · a) + (c · a)
u holda (R, +, ·) uchlikka halqa deyiladi.
Boshqacha qilib aytganda, bo‘sh bo‘lmagan R to‘plamdagi + va · binar amallari uchun quyidagi aksiomalar bajarilsa, u holda (R, +, ·) halqa deb ataladi: (R₁) Ixtiyoriy a, b, c ∈ R elementlar uchun (a + b) + c = a + (b + c).
(R₂) Ixtiyoriy a, b ∈ R elementlar uchun a + b = b + a.
153

(R₃) Shunday 0 ∈ R element mavjudki, ixtiyoriy a ∈ R uchun a + 0 = a.

(R₄) Ixtiyoriy a ∈ R uchun shunday −a ∈ R element mavjudki, bunda
a + (−a) = 0.
(R₅) Ixtiyoriy a, b, c ∈ R elementlar uchun (a · b) · c = a · (b · c).
(R₆) Ixtiyoriy a, b, c ∈ R elementlar uchun a · (b + c) = (a · b) + (a · c) va (b + c) · a = (b · a) + (c · a).
Halqadagi 0 elementni halqaning nol elementi deyiladi. Odatda halqalar uchun a·b o‘rniga ab belgilashdan a+(−b) o‘rniga esa a−b belgilashdan foydalanish qabul qilingan.
5.1.1-misol. Z butun sonlar to‘plami odatdagi qo‘shish va ko‘paytirish amallari- ga nisbatan halqa bo‘ladi. Bundan tashqari, ratsional sonlar to‘plami Q, haqiqiy sonlar to‘plami R va kompleks sonlar to‘plami C ham qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil qiladi.
5.1.2-ta’rif. R halqaning barcha a, b ∈ R elementlari uchun ab = ba tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda R halqa kommutativ halqa deyiladi. Kommutativ bo‘lmagan halqalarga esa nokommutativ halqa deb ataladi.
Agar R halqada ko‘paytirish amaliga nisbatan birlik element mavjud bo‘lsa, ya’ni shunday e ∈ R element topilib, ixtiyoriy a ∈ R uchun ea = a = ae teng- lik o‘rinli bo‘lsa, u holda ushbu e elementga halqaning birlik elementi deyiladi. Gruppalar nazariyasidan ma’lumki, ixtiyoriy algebraik sistemaning birlik elementi yagona bo‘ladi. Demak, halqaning birlik elementi ham yagona bo‘lib, biz uni 1 orqali belgilaymiz. Birlik elementga ega bo‘lgan halqa biri bor halqa deb ataladi.
5.1.2-misol. (Z, +, ·), (Q, +, ·) (R, +, ·) va (C, +, ·) halqalar biri bor kommutativ halqalarga misol bo‘ladi.
5.1.3-misol. (2Z, +, ·) juft sonlar to‘plami birlik elementga ega bo‘lmagan halqa bo‘ladi.
5.1.4-misol. Agar R kommutativ halqa bo‘lsa, u holda R ustida aniqlangan bir o‘zgaruvchili ko‘phadlar to‘plami R[x], ko‘phadlarni qo‘shish va ko‘paytirish amal- lari bilan birgalikda kommutativ halqa bo‘ladi. Xususan, (Z[x], +, ·), (Q[x], +, ·), (R[x], +, ·) va (C[x], +, ·) halqalar kommutativ bo‘ladi.
5.1.5-misol. Chegirmalar sinfi Z_n = {0, 1, . . . , n} to‘plam unda aniqlangan qo‘shish va ko‘paytirish amallari bilan birgalikda halqa tashkil qiladi. (Z_n, +_n, ·_n) halqa chegirmalar halqasi deb ataladi.
Yuqorida biz faqat kommutativ halqalarga misollar keltirdik. Quyidagi misol- da esa nokommutativ halqaga misol keltiramiz.


5.1.6-misol. Elementlari biror R halqadan olingan n-tartibli kvadrat matritsalar to‘plami M_n(R) matritsalarni qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil qiladi. Matritsalarni ko‘paytirish amali uchun kommutativlik o‘rinli bo‘lmaganligi sababli (M_n(R), +, ·) nokommutativ halqa bo‘ladi.
Yuqoridagi misoldan ko‘rinadiki, M_n(Z), M_n(Q), M_n(R) va M_n(C) halqalar, ya’ni elementlari mos ravishda butun, ratsional, haqiqiy va kompleks sonlar- dan iborat bo‘lgan n-tartibli kvadrat matritsalar to‘plami nokommutativ halqa bo‘ladi. Ushbu matritsalar to‘plamlarida birlik matritsa yotganligini hisobga ol- sak, ular birlik elementga ega bo‘lgan halqalar bo‘ladi. M_n(2Z) to‘plam, ya’ni elementlari juft sonlardan iborat matritsalar to‘plami esa birlik elementga ega bo‘lmagan nokommutativ halqa bo‘ladi.
Endi halqaning ayrim elementar xossalarini keltiramiz.
5.1.1-teorema. R halqa va ixtiyoriy a, b ∈ R elementlar uchun quyidagi tengliklar o‘rinli:
1) a0 = 0a = 0.
2) a(−b) = (−a)b = −(ab).
Isbot. 1) aa + a0 = a(a + 0) = aa tenglikdan a0 elementning qo‘shishga nisbatan neytral element ekanligi kelib chiqadi, demak, a0 = 0. Xuddi shunga o‘xshab 0a = 0 tenglikni hosil qilish mumkin.

2. 
   0 = a(b − b) = ab + a(−b) tenglikdan a(−b) = −(ab) ekanligi kelib chiqadi.
   

Xuddi shunga o‘xshab (−a)b = −(ab) tenglik ham osongina ko‘rsatiladi.
Ta’kidlash joizki, agar R biri bor halqa bo‘lib, R /= {0} bo‘lsa, u holda uning 0 va 1 elementlari har xil bo‘ladi. Haqiqatdan ham, agar 1 = 0 bo‘lsa, u holda ixtiyoriy a ∈ R element uchun a = a1 = a0 = 0. Bu esa R /= {0} ekanligiga zid.
Aytaylik, R biri bor halqa bo‘lsin. Agar u ∈ R element uchun shunday v ∈ R
element topilib, uv = vu = 1 shart bajarilsa, u holda u element teskarilanuvchi
deyiladi, v element esa u elementning teskarisi deb ataladi va u⁻¹ kabi belgilanadi.
5.1.2-teorema. R biri bor halqaning barcha teskarilanuvchi elementlaridan tuzil- gan T to‘plam uchun quyidagilar o‘rinli:
1) T /= ∅.
2) 0 ∈/ T.

2. 
   ∀a, b ∈ T uchun ab ∈ T.
   

Isbot. 1) 1 · 1 = 1 = 1 · 1 bo‘lganligi uchun 1 ∈ T , demak T /= ∅.

2. 
   Ixtiyoriy v ∈ R element uchun 0v = 0 ekanligi va 0 /= 1 bo‘lganligi uchun 0 ∈/ T bo‘ladi.
   

2. 
   Aytaylik, a, b ∈ T bo‘lsin, u holda c, d ∈ R elementlar topilib, ac = ca = 1 va bd = db = 1. Ushbu
   

(ab)(dc) = a(bd)c = ac = 1, (dc)(ab) = d(ca)b = db = 1
tengliklardan esa ab elementning teskarilanuvchi ekanligi kelib chiqadi, ya’ni
ab ∈ T .
Yuqoridagi teoremadan kelib chiqadiki, biri bor halqaning barcha teskarilanuv- chi elementlaridan tashkil topgan to‘plam ko‘paytirish amaliga nisbatan gruppa tashkil qiladi.
5.1.3-ta’rif. Agar biri bor halqaning ixtiyoriy noldan farqli elementi teskarilanuv- chi bo‘lsa, u holda u jism deyiladi. Kommutativ jismga maydon deb ataladi.
Ta’kidlash joizki, (R, +, ·) halqa jism bo‘lishi uchun (R \{0}, ·) algebraik siste- maning gruppa bo‘lishi zarur va yetarli. O‘z navbatida R halqa maydon bo‘lishi uchun esa (R \ {0}, ·) algebraik sistemaning kommutativ gruppa bo‘lishi zarur va yetarli.
5.1.7-misol. 1) Butun sonlar halqasi (Z, +, ·) maydon tashkil qilmaydi, chunki uning 1 va -1 dan boshqa elementlari teskarilanuvchi emas.
2) Ratsional, haqiqiy va kompleks sonlar to‘plami (Q, +, ·), (R, +, ·), (C, +, ·)
maydon bo‘ladi.

Endi halqalarda yana bir muhim tushuncha bo‘lgan nolning bo‘luvchisi tushun- chasini kiritamiz.

5.1.4-ta’rif. Halqaning noldan farqli a ∈ R elementi uchun, shunday noldan farqi b ∈ R element topilib, ab = 0 yoki ba = 0 bo‘lsa, u holda a element nolning bo‘luvchisi deb ataladi.

Ta’kidlash joizki, jismda xususan maydonda, nolning bo‘luvchisi mavjud emas. Chunki, ab = 0 bo‘lsa, u holda b = (a⁻¹a)b = a⁻¹(ab) = a⁻¹0 = 0 tenglikdan b = 0 ekanligi kelib chiqadi.

5.1.5-ta’rif. Nolning bo‘luvchisiga ega bo‘lmagan kommutativ biri bor halqaga bu- tunlik sohasi deyiladi.
5.1.8-misol. Butun sonlar halqasi (Z, +, ·) butunlik sohasi bo‘ladi. Juft sonlar to‘plami (2Z, +, ·) esa birlik elementga ega bo‘lmagan kommutativ halqa bo‘lib, nolning bo‘luvchilari mavjud emas.

birgalikda, nolning bo‘luvchilariga ega. Xususan, ritsalar nolning bo‘luvchilari bo‘ladi, chunki
1 0 _va 0 1

5.1.9-misol. Matritsalar halqasi (M₂(R), +, ·) noko mmutat iv halq a bo‘lis h bilan
0 0 0 0
mat-

0 0

0 0

0 0
_{1 0} · _{0 1} = _{0 0} .
Quyidagi teoremada nolning bo‘luvchilari bilan halqadagi qisqartirish qoidasi orasidagi bog‘lanishni keltiramiz.


5.1.3-teorema. Nolning bo‘luvchisiga ega bo‘lmagan halqada qisqartirish qoidasi
o‘rinli, ya’ni, a, b, c ∈ R, a 0 elementlar uchun ab = ac ekanligidan b = c
kelib chiqadi (ba = ca ekanligidan b = c kelib chiqadi ). Bu qisqartirish qoidalari mos ravishda chap va o‘ng qisqartirish qoidalari deb ataladi. Va aksincha, agar qisqartirish qoidalaridan (chap yoki o‘ng ) biri o‘rinli bo‘lsa, u holda R nolning bo‘luvchisiga ega emas.


Isbot. Faraz qilaylik, R nolning bo‘luvchisiga ega bo‘lmasin. Aytaylik, a, b, c ∈ R elementlar uchun ab = ac bo‘lib, a /= 0 bo‘lsin. U holda ab − ac = 0 ekanligidan a(b − c) = 0 kelib chiqadi. R nolning bo‘luvchisiga ega bo‘lmaganligi va a /= 0 ekanligidan b − c = 0, ya’ni b = c kelib chiqadi. Xuddi shunga o‘xshab, ba − ca = 0 ekanligidan ham b = c tenglikni keltirib chiqarish mumkin.
Va aksincha, R halqada qisqartirish qoidalaridan biri aytaylik, chap qisqar- tirish qoidasi o‘rinli bo‘lsin. Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni R halqa nolning bo‘luvchisiga ega bo‘lsin. Aytaylik, a ∈ R element nolning bo‘luvchisi bo‘lsin, ya’ni b /= 0 element topilib ab = 0. U holda ab = a0 ekanligidan va chap qisqar- tirish qoidasi o‘rinliligidan b = 0 kelib chiqadi. Bu esa, a nolning bo‘luvchisi ekanligiga zid. Demak, R nolning bo‘luvchisiga ega emas.