Abstrakt algebra

4.4.10-teorema. Bizga G chekli gruppa berilgan bo‘lsin. U holda quyidagilar ekvivalent:

1. 
   G gruppa nilpotent.
   
2. 
   G gruppaning ixtiyoriy maksimal qism gruppasi normal.
   
3. 
   G gruppaning ixtiyoriy Silov qism gruppasi normal.
   
4. 
   G gruppa p-gruppalarning to‘g‘ri ko‘paytmasi shaklida ifodalanadi.
   

Isbot. 1) ⇒ 2) G gruppa nilpotent bo‘lganligi uchun
{e} = G₀ ⊆ G₁ ⊆ G₂ ⊆ · · · ⊆ G_n = G
markaziy qator mavjud. Aytaylik, H maksimal qism gruppa bo‘lsin, u holda G₀ ⊆ H ⊂ G_n va H /= G bo‘lgani uchun G_m ⊆ H va G_m+1 /⊆ H shartlarni qanoat- lantiruvchi m ≥ 0 soni topiladi. Demak, a ∈ G_m+1, a ∈/ H element mavjud. Endi


aG_m ∈ Z(G/G_m) ekanligidan ixtiyoriy h ∈ H uchun (aG_m)(hG_m) = (hG_m)(aG_m) ekanligiga, ya’ni h⁻¹a⁻¹ha = (ah)⁻¹ha ∈ G_m ⊆ H munosabatga ega bo‘lamiz. Bu esa, a⁻¹ha ∈ H, ya’ni a⁻¹Ha ⊆ H ekanligini anglatadi. Xuddi shunga o‘xshab, aHa⁻¹ ⊆ H munosabatni ham hosil qilish mumkin. Demak, a⁻¹Ha = H, bu esa, a ∈ N (H) ekanligini bildiradi. Natijada biz H /= N (H) munosabatga ega bo‘ldik. H ning maksimalligidan esa, N (H) = G hosil bo‘ladi. Ya’ni H normal qism gruppa.

2. 
   ⇒ 3) Faraz qilaylik, G gruppaning biror P Silov p-qism gruppasi beril- gan bo‘lib, u normal qism gruppa bo‘lmasin. G gruppa chekli bo‘lganligi uchun N (P ) qism gruppani o‘z ichiga oluvchi H maksimal qism gruppa mavjud, ya’ni N (P ) ⊆ H. U holda H normal qism gruppa bo‘lib, ixtiyoriy a ∈ G uchun
   

aPa⁻¹ ⊆ aN (P )a⁻¹ ⊆ aHa⁻¹ = H
bo‘ladi. Bu esa, P va aPa⁻¹ Silov p-qism gruppalarining H ga ham qism bo‘lishini bildiradi. Demak, h ∈ H element topilib, h(aPa⁻¹)h⁻¹ = P bo‘ladi. Bundan esa, ha ∈ N (P ) ⊆ H ekanligi, hamda a = h⁻¹(ha) ∈ H kelib chiqadi. Ya’ni H = G bu esa H ning maksimal ekanligiga zid. Demak, P normal qism gruppa.

2. 
   ⇒ 4) Agar G gruppaning ixtiyoriy Silov qism gruppasi normal bo‘lsa, u
   

holda G gruppa Silov qism gruppalarning to‘g‘ri ko‘paytmasi shaklida ifodala- nishini ko‘rsatish qiyin emas. Silov qism gruppalari p-gruppalar bo‘lganligi uchun berilgan gruppa p-gruppalarning to‘g‘ri ko‘paytmasi shaklida ifodalanadi.

2. 
   ⇒ 1) Ushbu natija 4.4.6-teorema va 4.4.9-teoremalardan bevosita kelib
   

chiqadi.
Biz Silov teoremalari mavzusida kommutativ gruppalar uchun Lagranj teore- masining teskarisi o‘rinli ekanligini ko‘rsatgan edik. Ya’ni kommutativ gruppaning tartibi m ga teng bo‘lib, n soni m ning bo‘luvchisi bo‘lsa, u holda gruppada tar- tibi n ga teng bo‘lgan qism gruppa mavjud bo‘ladi. Quyidagi teoremada nilpotent gruppalar uchun ham Lagranj teoremasining teskarisi o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatamiz.
4.4.11-teorema. Aytaylik, G nilpotent gruppa bo‘lib, |G| = m bo‘lsin. Agar n | m
bo‘lsa, u holda G gruppa tartibi n ga teng bo‘lgan qism gruppaga ega.

1

2

k
Isbot. Aytaylik, m = p^r1 p^r2 . . . p^rk bo‘lib, H_i, 1 ≤ i ≤ k qism gruppalar G
gruppaning Silov p-qism gruppalari bo‘lsin. U holda G = H₁ × H₂ × H · · · ×

1

2

k
H_k bo‘lib, ixtiyoriy n | m soni n = p^t1 p^t2 . . . p^tk ko‘rinishida bo‘ladi. |H_i| =

i

i

p
^ri bo‘lganligi uchun bu qism gruppalarning tartibi p^ti ga teng bo‘lgan A_i qism
gruppalari mavjud. U holda B = A₁ × A₂ × · · · × A_k qism gruppaning tartibi n
ga teng bo‘ladi.
4.4.6-misol. Yechiluvchan G gruppaning H (H /= {e}) qism gruppasi uchun
H⁽¹⁾ /= H ekanligini isbotlang.


Yechish. Faraz qilaylik, H⁽¹⁾ = H bo‘lsin, u holda, H⁽²⁾ = [H⁽¹⁾, H⁽¹⁾] = [H, H] = H⁽¹⁾ = H /= {e} ekanligidan, induktiv tarzda H⁽ⁿ⁾ = H /= {e} bo‘lishini hosil qilamiz. Ikkinchi tomondan esa, G gruppa yechiluvchan bo‘lganligi uchun uning H qism gruppasi ham yechiluvchan bo‘ladi. Bu esa, qandaydir k uchun H^(k) = {e} bo‘lishini anglatadi. Natijada biz ziddiyatga ega bo‘lamiz, demak, H⁽¹⁾ /= H. Q
4.4.7-misol. GL_n(R), n ≥ 3 gruppaning yechiluvchan emasligini ko‘rsating.
Yechish. Aytaylik, G = GL_n(R) bo‘lsin. E_ij orqali a_i,j = 1 va qolgan ele- mentlari nolga teng bo‘lgan n-tartibli matritsani belgilaymiz. U holda
_{E E =} ⁽ E_is, agar j = r,

ij rs
0, agar j r.

Bundan tashqari, I birlik matritsa uchun i /= j da I + E_ij ∈ G bo‘lib, (I +

E_ij)⁻¹ = I − E_ij bo‘ladi. Aytaylik, T = ⟨I + E_ij | i /= j⟩ bo‘lsin, ya’ni T orqali
{I + E_ij | i /= j} elementlardan hosil bo‘lgan qism gruppani belgilaylik. U holda
n ≥ 3 bo‘lganligi uchun shunday k, 1 ≤ i k /= j ≤ n soni topilib,

(I + E_ik)(I + E_kj)(I + E_ik)⁻¹(I + E_kj)⁻¹ = (I + E_ik)(I + E_kj)(I − E_ik)(I − E_kj)

= (I + E_kj + E_ik + E_ij)(I + E_kj + E_ik + E_ij) = (I + E_ij)
bo‘ladi. Bu esa (I + E_ij) ∈ T ⁽¹⁾ ekanligini anglatadi, ya’ni T = T ⁽¹⁾. Demak, T yechiluvchan emas, bundan esa, G gruppaning ham yechiluvchan emasligi kelib chiqadi. Q
4.4.8-misol. D₄ gruppa uchun markaziy qator toping.
Yechish. Ma’lumki, D₄ = ⟨a, b⟩ bo‘lib, ord(a) = 4, ord(b) = 2 va ba = a³b.
Ushbu gruppa uchun quyidagi qatorni qaraymiz
{e} ⊆ {e, a²} ⊆ {e, a, a², a³} ⊆ D₄,
ya’ni G₀ = {e}, G₁ = {e, a²}, G₂ = {e, a, a², a³} va G₃ = D₄. Ma’lumki, ushbu qator normal qator bo‘lib, |D₄/G₁| = 4 va |D₄/G₂| = 2 ekanligidan D₄/G₁ va D₄/G₂ gruppalarning kommutativ ekanligi kelib chiqadi. Demak, G₂/G₁ ⊆ D₄/G₁ = Z(D₄/G₁) va D₄/G₂ ⊆ Z(D₄/G₂) = D₄/G₂. Bundan tashqari, Z(D₄) = {e, a²} = G₁ ekanligidan G₁/G₀ ⊆ Z(D₄/G₀) munosabatni hosil qilamiz. Demak, keltirilgan G₀ ⊆ G₁ ⊆ G₂ ⊆ G₂ qator markaziy qator bo‘ladi. Q

3. Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

1. 
   Z₂₀ gruppa uchun mumkin bo‘lgan barcha normal qatorlarni tuzing.
   

2. 
   Quyidagi gruppalar uchun mumkin bo‘lgan barcha normal qatorlarni tuzing:
   

K₄, S₃, D₄, Q₈, Z₃ × Z₃, Z₁₅, A₄, S₄.

3. 
   Quyidagi gruppalar uchun mumkin bo‘lgan barcha subnormal qatorlarni tuz- ing:
   

S₃, D₄, Q₈, A₄, S₄.

4. 
   Tartibi quyidagi sonlarga teng bo‘lgan gruppalarning yechiluvchan ekanligini isbotlang:
   

12, 15, 20, 21, 28, 35, 36, 42, 45, 100.

5. 
   Tartibi quyidagi sonlarga teng bo‘lgan gruppalarning nilpotent ekanligini is- botlang:
   

16, 27, 33, 35, 45, 51, 65.

6. 
   D₅ gruppaning nilpotent emasligini ko‘rsating.
   
7. 
   D_n gruppaning yechiluvchan ekanligini isbotlang.
   
8. 
   D_n gruppa nilpotent bo‘lishi uchun n = 2^m bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.
   
9. 
   Agar G gruppaning N normal qism gruppasi uchun N ∩ G⁽¹⁾ = {e} bo‘lsa, u holda N ⊆ Z(G) va Z(G/N ) = Z(G)/N ekanligini isbotlang.
   
10. 
    Tartibi pq (p, q – tub sonlar) bo‘lgan ixtiyoriy gruppa yechiluvchan ekanligini isbotlang.
    
11. 
    Tartibi p²q (p, q – tub sonlar) bo‘lgan ixtiyoriy gruppa yechiluvchan ekanligini isbotlang.
    
12. 
    Tartibi pqr (p, q, r – tub sonlar) bo‘lgan ixtiyoriy gruppa yechiluvchan ekan- ligini isbotlang.
    
13. 
    Tartibi p²q² (p, q – tub sonlar) bo‘lgan ixtiyoriy gruppa yechiluvchan ekan- ligini isbotlang.
    
14. 
    Quyidagi gruppalarning hosilaviy qatorlarini aniqlang:
    

D₄, Q₈, A₄, S₄, S₃ × Z₂, S₃ × Z₃, S₃ × S₃.

15. 
    Quyidagi gruppalarning quyi markaziy qatorlarini aniqlang:
    

D₄, Q₈, A₄, S₄, S₃ × Z₂, S₃ × Z₃, S₃ × S₃.

16. 
    Isbotlang: [S_n, S_n] = A_n.
    
17. 
    Isbotlang: [A_n, A_n] = A_n, n ≥ 5.
    
18. 
    Quyidagilarni aniqlang:
    
    • 
      [SL₂(Z₂), SL₂(Z₂)].
      
    • 
      [GL₂(Z₂), GL₂(Z₂)].
      
    • 
      [SL₂(Z₃), SL₂(Z₃)].
      
    • 
      [GL₂(Z₃), GL₂(Z₃)].
      
19. 
    Isbotlang: [GL_n(R), GL_n(R)] = SL_n(R).
    
20. 
    Isbotlang: [SL_n(R), SL_n(R)] = SL_n(R).
    
21. 
    Yuqori uchburchak ko‘rinishidagi teskarilanuvchi matritsalar gruppasi (ko‘paytirish amaliga nisbatan) yechiluvchan ekanligini isbotlang.
    
22. 
    Yechiluvchan gruppalarning to‘g‘ri ko‘paytmasi yechiluvchan bo‘lishini isbot- lang.
    
23. 
    S₃ × Z gruppa cheksiz yechiluvchan gruppa ekanligini isbotlang.
    
24. 
    G gruppa yechiluvchan bo‘lishi uchun G/Z(G) faktor gruppaning yechi- luvchan bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.
    
25. 
    G gruppaning A qism gruppasi va B normal qism gruppasi berilgan bo‘lsin. Agar A va B qism gruppalar yechiluvchan bo‘lsa, u holda AB ham yechi- luvchan ekanligini isbotlang.
    
26. 
    Nilpotent gruppaning gomomorf obrazi ham nilpotent bo‘lishini isbotlang.
    
27. 
    O‘zi nilpotent bo‘lmagan, lekin qandaydir normal qism gruppasi bo‘yicha faktor gruppasi nilpotent bo‘lgan gruppaga misol keltiring.