Abstrakt algebra

Yechiluvchan va nilpotent gruppalar

Biz avvalgi mavzularda kommutativ va chekli gruppalar bilan yaqindan tani- shib, ularning xossalari va tasniflarini keltirdik. Lekin hayotda kommutativ bo‘lmagan gruppalar ham, cheksiz gruppalar ham juda ko‘p uchraydi. Bunday gruppalarni sanoqli sondagi kamayuvchi normal qatorlar yordamida, chekli grup- palar bilan bog‘lash orqali o‘rganish mumkin. Kommutativ gruppalarning muhim umumlashmalari bu yechiluvchan va nilpotent gruppalar hisoblanadi. Yechiluv- chan gruppalarni kommutativ gruppaning bir necha marta kengaytmasini ol- ish orqali hosil qilingan gruppa deb aytish mumkin. Nilpotent gruppalar sinfi

esa, kommutativ gruppalar bilan yechiluvchan gruppalarning orasida yotuvchi sinf hisoblanadi. Yechiluvchan gruppalarning asosiy jihati shundan iboratki, ular algebraik tenglamalarni radikallarda yechish masalasi bilan uzviy bog‘liq. Ma’lumki, darajasi 5 gacha bo‘lgan algebraik tenglamalarnigina radikallarda yechish mumkin bo‘lib, undan yuqori darajali algebraik tenglamalarni esa radikallarda yechish mumkin emas. Ushbu masala S_n o‘rin almashtirishlar grup- pasining yechiluvchan bo‘lishi bilan ekvivalent bo‘lib, n < 5 bo‘lganda S_n gruppa yechiluvchan, n ≥ 5 bo‘lganda esa yechiluvchan bo‘lmaydi.

1. Yechiluvchan gruppalar

Biz dastlab, yechiluvchan va nilpotent gruppalarni ta’rifini keltirish uchun zaruriy bo‘lgan tushunchalarni kiritib olamiz. Bizga G gruppa va uning quyidagi shartni qanoatlantiruvchi H_i qism gruppalari berilgan bo‘lsin
G = H₀ ⊇ H₁ ⊇ H₂ ⊇ · · · ⊇ H_n = {e}. (4.3)

Agar ushbu H_i qism gruppalar turli xil bo‘lsa, ya’ni H_i H_i+1, 0 ≤ i ≤

n bo‘lsa, u holda n soni ushbu qatorning uzunligi deyiladi. Ya’ni qatorning uzunligi, turli qism gruppalarning sonidir.