Abstrakt algebra

4.3.6-teorema. Tartibi 60 ga teng bo‘lgan ixtiyoriy sodda gruppa A₅ gruppaga izomorf.
Isbot. Aytaylik, G tartibi 60 ga teng bo‘lgan sodda gruppa bo‘lsin. 4.3.1- lemmaga ko‘ra G gruppaning tartibi 12 ga teng bo‘lgan H qism gruppasi mavjud. U holda [G : H] = 5 bo‘lib, 4.1.1-tasdiqqa ko‘ra G gruppani S₅ gruppaga aks- lantirib, Kerf ⊆ H shartni qanoatlantiruvchi f : G → S₅ gomomorfizm mavjud ekanligi kelib chiqadi. G gruppa sodda bo‘lganligi uchun Kerf = {e}, ya’ni f aks- lantirish inyektiv. Demak, G gruppa S₅ gruppaning qandaydir T qism gruppasiga izomorf bo‘ladi. Endi T = A₅ ekanligini ko‘rsatamiz, buning uchun T to‘plamda toq o‘rin almashtirish mavjud emasligini ko‘rsatish kifoya. Agar T to‘plamda qandaydir toq o‘rin almashtirish yotsa, u holda T da yotuvchi barcha juft o‘rin almashtirishlar to‘plami T ning notrivial normal qism gruppasi bo‘ladi. Bu esa

ziddiyat, chunki, T gruppa sodda G gruppaga izomorf. Bundan esa, T = A₅

^{ekanligini hosil qilamiz, ya’ni G ∼}= ^A5.

2. Kichik tartibli gruppalarning tasnifi

Endi tartibi 15 dan katta bo‘lmagan gruppalarning to‘liq tasnifini keltiramiz. Ay- taylik, G gruppaning tartibi n bo‘lsin. Agar n = 1 bo‘lsa, u holda G = {e}. Agar n = 2, 3, 5, 7, 11 yoki 13 bo‘lsa, u holda G siklik bo‘lib, u Z_n ga izomorf bo‘ladi.
^{Agar n = 4 bo‘lsa, u holda G gruppa Z4 va K4 ∼}= ^{Z2 × Z2 gruppalardan biriga}
izomorf bo‘lishi ma’lum (2.2.1-teoremaga qarang). Agar n = 6 bo‘lsa, u holda
^{G gruppa Z6 va S3 ∼}= ^{D3 gruppalardan biriga izomorf bo‘ladi (2.2.2-teoremaga}
qarang).
Agar n = 8 bo‘lib, G nokommutativ bo‘lsa, u holda G gruppa D₄ va Q₈ gruppalardan biriga izomorf ekanligi 2.2.3-teoremada ko‘rsatilgan edi. Tartibi 8 ga teng bo‘lgan kommutativ gruppalar esa, Z₈, Z₄ ×Z₂ va Z₂ ×Z₂ ×Z₂ gruppalardan iborat bo‘ladi.
Biz 4.3.1-misolda tartibi 9 ga teng bo‘lgan gruppa Z₉ va Z₃ × Z₃ gruppalardan biriga izomorf bo‘lishini ko‘rsatgan bo‘lsak, 4.3.2-misoldan esa, tartibi 15 ga teng bo‘lgan gruppa Z₁₅ ga izomorf ekanligini kelib chiqadi.
Bundan tashqari, 4.3.3-teoremadan tartibi 10 ga teng bo‘lgan gruppa Z₁₀ yoki D₅ gruppaga, tartibi 14 ga teng bo‘lgan gruppa esa Z₁₄ yoki D₇ gruppalardan biriga izomorf bo‘lishi kelib chiqadi.
Shunday qilib, tartibi 15 gacha bo‘lgan gruppalarning to‘liq tasnifini olish uchun faqatgina tartibi 12 ga teng bo‘lgan gruppalarning tasnifini keltirish ki- foya.
Tartibi 12 ga teng bo‘lgan 5 ta gruppa mavjud bo‘lib, 2 tasi kommutativ va 3 tasi nokommutativ gruppalardir. Kommutativ gruppalar Z₁₂ va Z₆ × Z₂ gruppalardan biriga izomorf bo‘lsa, quyidagi teoremada tartibi 12 ga teng bo‘lgan nokommutativ gruppalarning tasnifini keltiramiz.