Abstrakt algebra
Download 0,99 Mb.
|
ABSTRAKT ALGEBRA(oquv qollanma)
- Bu sahifa navigatsiya:
- 4.2.1-ta’rif.
- -gruppa
- -qism gruppasi
- 4.2.3-teorema.
- 4.2.1-natija.
- 4.2.4-teorema (Silovning birinchi teoremasi ).
- 4.2.2-ta’rif.
- 4.2.5-teorema (Silovning ikkinchi teoremasi ).
4.2.1-misol. Agar S3 o‘rin almashtirishlar gruppasi uchun yuqoridagi kabi ta’sir aniqlasak, u holda
Z(e) = G, Z (12) = {e, (12)}, Z (13) = {e, (13)}, Z (23) = {e, (23)}, Z (123) = Z (132) = {e, (123), (132)} bo‘lib, orb(e) = {e}, orb (12) = {(12), (13), (23)}, orb (132) = {(123), (132)} bo‘ladi. Demak, S3 gruppa uchta kesishmaydigan orbitalarga ajraladi. Endi ushbu mavzudagi asosiy tushuncha hisoblangan p-gruppa va p-qism gruppa tushunchalarini kiritamiz. 4.2.1-ta’rif. Agar gruppaning ixtiyoriy elementi tartibi p tub sonning darajasi ko‘rinishida bo‘lsa, u holda bunday gruppaga p-gruppa deyiladi. 4.2.2-misol.
Agar G gruppaning H qism gruppasi p-gruppa bo‘lsa, u holda H ga G grup- paning p-qism gruppasi deyiladi. Masalan, Z12 gruppa uchun H = {0, 3, 6, 9} gruppa p-qism gruppa (p = 2) bo‘ladi. Quyidagi teoremada ixtiyoriy p-gruppaning markazi trivial emasligini ko‘rsatamiz. 4.2.3-teorema. Ixtiyoriy notrivial p-gruppaning markazi bittadan ko‘p elementga ega, ya’ni agar |G| = pk, k > 1 bo‘lsa, u holda |Z(G)| > 1. Σ Isbot. Agar Z(G) = G bo‘lsa, u holda teorema isboti to‘g‘ridan to‘g‘ri kelib chiqadi. Aytaylik, Z(G) /= G bo‘lsin, u holda a ∈/ Z(G) elementlar uchun C(a) /= G bo‘lganligidan va C(a) ⊂ G ekanligidan [G : C(a)] sonlari p ga bo‘linishi kelib chiqadi. Demak, (4.2) tenglikdagi [G : C(a)] soni p ga bo‘linadi. Nihoyat, a∈/Z(G) |G| = pk ekanligidan |Z(G)| ham p ga bo‘linishi kelib chiqadi. Yuqoridagi teoremadan quyidagi natijaga ega bo‘lamiz. 4.2.1-natija. Tartibi p2 (p – tub son) ga teng bo‘lgan ixtiyoriy gruppa kommutativ bo‘ladi. Isbot. Aytaylik, |G| = p2 bo‘lsin, u holda 4.2.3-teoremaga ko‘ra |Z(G)| > 1 bo‘lib, Lagranj teoremasidan |Z(G)| = p yoki p2 ekanligi kelib chiqadi. Faraz qilaylik, |Z(G)| = p bo‘lsin, u holda a ∈ G \ Z(G) element mavjud bo‘lib, C(a) gruppa uchun Z(G) ⊂ C(a) va a ∈ C(a) ekanligidan |C(a)| = p2 kelib chiqadi. Bundan esa C(a) = G, ya’ni a ∈ Z(G) munosabatga ega bo‘lamiz. Bu esa ziddiyat, demak Z(G) = G, ya’ni G – kommutativ. Endi bevosita Silov teoremalarini keltirishga o‘tamiz. 4.2.4-teorema (Silovning birinchi teoremasi). Agar |G| = pk · m bo‘lsa (p−tub son, (p, m) = 1), u holda G gruppaning tartibi pr(0 ≤ r ≤ k) ga teng bo‘lgan qism gruppasi mavjud. Isbot. Aytaylik, n = |G| = pk · m bo‘lsin. Teorema isbotini n ga nisbatan in- duksiya metodi orqali amalga oshiramiz. Agar n = 1 bo‘lsa, u holda k = 0 bo‘lib, G = {e} gruppaning izlanayotgan qism gruppasi o‘zidan iborat bo‘ladi. Demak, n = 1 uchun teorema o‘rinli. Endi n dan kichik tartibli gruppalar uchun teorema o‘rinli deb faraz qilib n uchun ko‘rsatamiz, bunda k ≥ 1 deb olish mumkin.
a∈/Z(G) [G : C(a)] ekanligidan ushbu tenglikning o‘ng tomonidagi ikkinchi qo‘shiluvchi ham p ga bo‘linmasligi kelib chiqadi. Demak, shunday a ∈/ Z(G) element topilib, [G : C(a)] soni p ga bo‘linmaydi. C(a) = · [G : C(a)] = |G| pk m C(a) ekanligidan |C(a)| soni pk ga bo‘linishi, hamda a ∈ C(a), a ∈/ Z(G) ekanligidan C(a) G kelib chiqadi. Demak, C(a) to‘plam G gruppa- ning tartibi n dan kichik va pk ga bo‘linuvchi qism gruppasi. Induksiya faraziga ko‘ra C(a) gruppaning tartibi pr(0 ≤ r ≤ k) bo‘lgan qism gruppalari mavjud bo‘lib, ular G gruppaning ham qism gruppalari bo‘ladi. Endi Silov p-qism gruppasining ta’rifini keltiramiz. · 4.2.2-ta’rif. Tartibi pk m ga teng bo‘lgan (p – tub son, (p, m) = 1) gruppaning tartibi pk ga teng bo‘lgan qism gruppasiga Silov p-qism gruppasi deyiladi, ya’ni Silov p-qism gruppa G gruppaning maksimal p-qism gruppasidir. Ta’kidlash joizki, Silovning birinchi teoremasidan tartibi p soniga bo‘linuvchi ixtiyoriy chekli tartibli gruppa Silov p-qism gruppasiga ega ekanligi kelib chiqadi. Biz endi Silovning ikkinchi teoremasini keltiramiz. Silovning ikkinchi teore- masida G gruppaning ixtiyoriy p-qism gruppasi qandaydir Silov p-qism gruppasida yotishi va gruppaning barcha Silov p-qism gruppalari o‘zaro qo‘shma bo‘lishi ko‘rsatiladi. 4.2.5-teorema (Silovning ikkinchi teoremasi). Aytaylik, G chekli gruppa bo‘lib, |G| = pk · m bo‘lsin, bu yerda k ≥ 1 va (m, p) = 1. U holda G gruppaning ixtiyoriy p-qism gruppasi qandaydir Silov p-qism gruppasida yotadi. Barcha Silov p-qism gruppalari o‘zaro qo‘shma bo‘ladi. Isbot. |G| = pk · m bo‘lganligi uchun uning S− Silov p-qism gruppasi mavjud bo‘ladi, ya’ni |S| = pk. Quyidagi chap qo‘shni sinflar oilasini qaraymiz LS = {xS | x ∈ G}. = · Aytaylik, H to‘plam G gruppaning p-qism gruppasi bo‘lsin. H gruppadan LS to‘plamga chap ta’sirni quyidagicha aniqlaymiz. ∀h ∈ H va xS ∈ LS uchun h ∗ xS = (h · x)S. Ta’kidlash joizki, bu ta’sir to‘g‘ri aniqlangan, chunki xS = x′S ekanligidan x′ = x · s, s ∈ S, bundan esa h · x′ = (h · x) · s, ya’ni h ∗ x′S = (h · x)S kelib chiqadi. Ma’lumki, |LS = |G| | |S| pk m pk = m, ya’ni o‘ng qo‘shni sinflar oilasi elementlari soni p ga bo‘linmaydi. H gruppaning LS to‘plamga ta’siri esa ushbu to‘plamni kesishmaydigan orbitalarga ajratib, bu orbitalarning elementlari soni | | orb(y) = |H| |St(y)| bo‘ladi, bu yerda y ∈ LS va St(y) statsionar qism gruppa. Demak, |LS | = Σ |H| = Σ |orb(y)|, y |St(y)| y bu yerda yig‘indi har bir orbitadan bittadan tanlangan y element bo‘yicha olinadi. Ma’lumki, har bir orbitalardagi elementlar soni p ning qandaydir darajasi ko‘rinishida bo‘lib, bittadan ko‘p elementga ega bo‘lgan orbitalar elementlari soni p ga bo‘linadi. Tenglikning chap tomonida turgan |LS| soni p ga bo‘linmaganligi uchun bitta elementli orbitalar mavjud. Demak, xS ∈ LS element mavjud bo‘lib, orb(xS) = {xS}, ya’ni ∀h ∈ H uchun (h·x)S = xS. Bundan esa, Hx ⊂ xS, ya’ni H ⊂ xSx−1 kelib chiqadi. |xSx−1| = |S| = pk ekanligi uchun xSx−1 ham Silov p-qism gruppasi bo‘lib, u H qism gruppani o‘z ichiga oladi. | | Agar H qism gruppa Silov p-qism gruppasi bo‘lsa, u holda H = pk ekanligidan H = xSx−1 bo‘ladi, ya’ni H gruppa berilgan S Silov p-qism gruppasiga qo‘shma bo‘ladi. Bundan esa, G gruppaning barcha Silov p-qism gruppalari o‘zaro qo‘shma ekanligi kelib chiqadi. ∀ ∈ Agar G gruppaning yagona Silov p-qism gruppasi mavjud bo‘lsa, u holda Silovning ikkinchi teoremasidan uning normal qism gruppa ekanligi kelib chiqadi. Chunki, agar H yagona Silov p-qism gruppasi bo‘lsa, u holda unga qo‘shma bo‘lgan barcha qism gruppalar H bilan ustma-ust tushadi, ya’ni g G uchun gHg−1 = H bo‘ladi. Bu esa H qism gruppaning normal ekanligini anglatadi. Endi Silovning uchinchi teoremasini, ya’ni chekli gruppaning Silov p-qism grup- palari soni bilan bog‘liq bo‘lgan teoremani keltiramiz. Download 0,99 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2025
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling