Abstrakt algebra

4.2.1-misol. Agar S₃ o‘rin almashtirishlar gruppasi uchun yuqoridagi kabi ta’sir aniqlasak, u holda
Z(e) = G, Z (12) = {e, (12)}, Z (13) = {e, (13)}, Z (23) = {e, (23)}, Z (123) = Z (132) = {e, (123), (132)}

bo‘lib,
orb(e) = {e}, orb (12) = {(12), (13), (23)}, orb (132) = {(123), (132)}
bo‘ladi. Demak, S₃ gruppa uchta kesishmaydigan orbitalarga ajraladi.

Endi ushbu mavzudagi asosiy tushuncha hisoblangan p-gruppa va p-qism gruppa tushunchalarini kiritamiz.

4.2.1-ta’rif. Agar gruppaning ixtiyoriy elementi tartibi p tub sonning darajasi ko‘rinishida bo‘lsa, u holda bunday gruppaga p-gruppa deyiladi.

4.2.2-misol.

• 
  K₄ – To‘rtinchi tartibli Kleyn gruppasi p-gruppa bo‘ladi (bu yerda p = 2).
  
• 
  Ixtiyoriy n = p^k uchun Z_n gruppa p-gruppa bo‘ladi.
  

Agar G gruppaning H qism gruppasi p-gruppa bo‘lsa, u holda H ga G grup- paning p-qism gruppasi deyiladi. Masalan, Z₁₂ gruppa uchun H = {0, 3, 6, 9} gruppa p-qism gruppa (p = 2) bo‘ladi.
Quyidagi teoremada ixtiyoriy p-gruppaning markazi trivial emasligini ko‘rsatamiz.


4.2.3-teorema. Ixtiyoriy notrivial p-gruppaning markazi bittadan ko‘p elementga ega, ya’ni agar |G| = p^k, k > 1 bo‘lsa, u holda |Z(G)| > 1.

Σ
Isbot. Agar Z(G) = G bo‘lsa, u holda teorema isboti to‘g‘ridan to‘g‘ri kelib chiqadi. Aytaylik, Z(G) /= G bo‘lsin, u holda a ∈/ Z(G) elementlar uchun C(a) /= G bo‘lganligidan va C(a) ⊂ G ekanligidan [G : C(a)] sonlari p ga bo‘linishi kelib
chiqadi. Demak, (4.2) tenglikdagi [G : C(a)] soni p ga bo‘linadi. Nihoyat,
a∈/Z(G)
|G| = p^k ekanligidan |Z(G)| ham p ga bo‘linishi kelib chiqadi.
Yuqoridagi teoremadan quyidagi natijaga ega bo‘lamiz.


4.2.1-natija. Tartibi p² (p – tub son) ga teng bo‘lgan ixtiyoriy gruppa kommutativ bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, |G| = p² bo‘lsin, u holda 4.2.3-teoremaga ko‘ra |Z(G)| > 1 bo‘lib, Lagranj teoremasidan |Z(G)| = p yoki p² ekanligi kelib chiqadi. Faraz qilaylik, |Z(G)| = p bo‘lsin, u holda a ∈ G \ Z(G) element mavjud bo‘lib, C(a) gruppa uchun Z(G) ⊂ C(a) va a ∈ C(a) ekanligidan |C(a)| = p² kelib chiqadi. Bundan esa C(a) = G, ya’ni a ∈ Z(G) munosabatga ega bo‘lamiz. Bu esa ziddiyat, demak Z(G) = G, ya’ni G – kommutativ.
Endi bevosita Silov teoremalarini keltirishga o‘tamiz.
4.2.4-teorema (Silovning birinchi teoremasi). Agar |G| = p^k · m bo‘lsa (p−tub son, (p, m) = 1), u holda G gruppaning tartibi p^r(0 ≤ r ≤ k) ga teng bo‘lgan qism gruppasi mavjud.


Isbot. Aytaylik, n = |G| = p^k · m bo‘lsin. Teorema isbotini n ga nisbatan in- duksiya metodi orqali amalga oshiramiz. Agar n = 1 bo‘lsa, u holda k = 0 bo‘lib, G = {e} gruppaning izlanayotgan qism gruppasi o‘zidan iborat bo‘ladi. Demak, n = 1 uchun teorema o‘rinli. Endi n dan kichik tartibli gruppalar uchun teorema o‘rinli deb faraz qilib n uchun ko‘rsatamiz, bunda k ≥ 1 deb olish mumkin.

1. 
   
   ⟨ ⟩
   
   { }
   
   Σ
   hol. G gruppa markazining tartibi p ga bo‘linsin, ya’ni p | |Z(G)|, u holda Z(G) kommutativ gruppaning tartibi p ga teng elementi mavjud (4.2.1-lemmaga qarang), demak shunday a ∈ Z(G) element topilib, ord(a) = p. Ushbu element orqali hosil qilingan H = a gruppa esa G gruppaning normal qism gruppasi bo‘lib, G/H faktor gruppaning tartibi p^k−1 bo‘ladi. Induksiya faraziga ko‘ra G/H gruppa tartibi pⁱ(1 ≤ i ≤ k − 1) bo‘lgan K_i/H qism gruppalarga ega. Ushbu e , H, K₁, . . . K_k−1 gruppalar esa G gruppaning tartiblari mos ravishda 1, p, p², . . . , p^k sonlariga teng bo‘lgan qism gruppalari bo‘ladi.
   

2. 
   hol. |Z(G)| soni p ga bo‘linmasin. U holda |G| = |Z(G)| +
   

a∈/Z(G)
[G : C(a)]

ekanligidan ushbu tenglikning o‘ng tomonidagi ikkinchi qo‘shiluvchi ham p ga
bo‘linmasligi kelib chiqadi.

Demak, shunday a ∈/
Z(G) element topilib, [G : C(a)] soni p ga bo‘linmaydi.

C(a)

₌ ·
[G : C(a)] = ^|G|
p^k m C(a)
ekanligidan |C(a)| soni p^k ga bo‘linishi, hamda a ∈ C(a),

a ∈/ Z(G) ekanligidan C(a) G kelib chiqadi. Demak, C(a) to‘plam G gruppa-
ning tartibi n dan kichik va p^k ga bo‘linuvchi qism gruppasi. Induksiya faraziga ko‘ra C(a) gruppaning tartibi p^r(0 ≤ r ≤ k) bo‘lgan qism gruppalari mavjud bo‘lib, ular G gruppaning ham qism gruppalari bo‘ladi.
Endi Silov p-qism gruppasining ta’rifini keltiramiz.



·
4.2.2-ta’rif. Tartibi p^k m ga teng bo‘lgan (p – tub son, (p, m) = 1) gruppaning tartibi p^k ga teng bo‘lgan qism gruppasiga Silov p-qism gruppasi deyiladi, ya’ni Silov p-qism gruppa G gruppaning maksimal p-qism gruppasidir.

Ta’kidlash joizki, Silovning birinchi teoremasidan tartibi p soniga bo‘linuvchi ixtiyoriy chekli tartibli gruppa Silov p-qism gruppasiga ega ekanligi kelib chiqadi. Biz endi Silovning ikkinchi teoremasini keltiramiz. Silovning ikkinchi teore- masida G gruppaning ixtiyoriy p-qism gruppasi qandaydir Silov p-qism gruppasida yotishi va gruppaning barcha Silov p-qism gruppalari o‘zaro qo‘shma bo‘lishi

ko‘rsatiladi.


4.2.5-teorema (Silovning ikkinchi teoremasi). Aytaylik, G chekli gruppa bo‘lib, |G| = p^k · m bo‘lsin, bu yerda k ≥ 1 va (m, p) = 1. U holda G gruppaning ixtiyoriy p-qism gruppasi qandaydir Silov p-qism gruppasida yotadi. Barcha Silov p-qism gruppalari o‘zaro qo‘shma bo‘ladi.

Isbot. |G| = p^k · m bo‘lganligi uchun uning S− Silov p-qism gruppasi mavjud bo‘ladi, ya’ni |S| = p^k. Quyidagi chap qo‘shni sinflar oilasini qaraymiz
L_S = {xS | x ∈ G}.

₌ ·
Aytaylik, H to‘plam G gruppaning p-qism gruppasi bo‘lsin. H gruppadan L_S to‘plamga chap ta’sirni quyidagicha aniqlaymiz. ∀h ∈ H va xS ∈ L_S uchun h ∗ xS = (h · x)S. Ta’kidlash joizki, bu ta’sir to‘g‘ri aniqlangan, chunki xS = x^′S ekanligidan x^′ = x · s, s ∈ S, bundan esa h · x^′ = (h · x) · s, ya’ni h ∗ x^′S = (h · x)S kelib chiqadi.

Ma’lumki, |L_S
= |G|

|
|S|
p^k m _pk
= m, ya’ni o‘ng qo‘shni sinflar oilasi elementlari

soni p ga bo‘linmaydi. H gruppaning L_S to‘plamga ta’siri esa ushbu to‘plamni
kesishmaydigan orbitalarga ajratib, bu orbitalarning elementlari soni

| |
orb(y) = ^|H|
|St(y)|
bo‘ladi, bu yerda y ∈ L_S va St(y) statsionar qism gruppa. Demak,

|L_{S
| =} ^Σ |H|
= ^Σ |orb(y)|,

_y |St(y)| _y

bu yerda yig‘indi har bir orbitadan bittadan tanlangan y element bo‘yicha olinadi. Ma’lumki, har bir orbitalardagi elementlar soni p ning qandaydir darajasi ko‘rinishida bo‘lib, bittadan ko‘p elementga ega bo‘lgan orbitalar elementlari soni

p ga bo‘linadi.
Tenglikning chap tomonida turgan |L_S| soni p ga bo‘linmaganligi uchun bitta elementli orbitalar mavjud. Demak, xS ∈ L_S element mavjud bo‘lib, orb(xS) =
{xS}, ya’ni ∀h ∈ H uchun (h·x)S = xS. Bundan esa, Hx ⊂ xS, ya’ni H ⊂ xSx⁻¹ kelib chiqadi. |xSx⁻¹| = |S| = p^k ekanligi uchun xSx⁻¹ ham Silov p-qism gruppasi bo‘lib, u H qism gruppani o‘z ichiga oladi.

| |
Agar H qism gruppa Silov p-qism gruppasi bo‘lsa, u holda H = p^k ekanligidan H = xSx⁻¹ bo‘ladi, ya’ni H gruppa berilgan S Silov p-qism gruppasiga qo‘shma bo‘ladi. Bundan esa, G gruppaning barcha Silov p-qism gruppalari o‘zaro qo‘shma ekanligi kelib chiqadi.

∀ ∈
Agar G gruppaning yagona Silov p-qism gruppasi mavjud bo‘lsa, u holda Silovning ikkinchi teoremasidan uning normal qism gruppa ekanligi kelib chiqadi. Chunki, agar H yagona Silov p-qism gruppasi bo‘lsa, u holda unga qo‘shma bo‘lgan barcha qism gruppalar H bilan ustma-ust tushadi, ya’ni g G uchun gHg⁻¹ = H bo‘ladi. Bu esa H qism gruppaning normal ekanligini anglatadi.
Endi Silovning uchinchi teoremasini, ya’ni chekli gruppaning Silov p-qism grup- palari soni bilan bog‘liq bo‘lgan teoremani keltiramiz.