Ushbu mavzuda Silov teoremalarining chekli gruppalarni o‘rganish va kichik tar- tibli gruppalarni tasniflashdagi ba’zi tadbiqlarini ko‘rib chiqamiz. Dastlab, chekli tartibli sodda gruppalarning ba’zi xossalarini keltiramiz. Ma’lumki, kommuta- tiv gruppalar sodda bo‘lishi uchun ularning tartibi tub songa teng bo‘lishi zarur va yetarli. Chunki, tartibi murakkab songa teng bo‘lgan, ya’ni biror m soniga bo‘lingan kommutativ gruppaning tartibi m ga teng bo‘lgan qism gruppasi mavjud bo‘lib, u xos normal qism gruppa bo‘ladi. Demak, chekli tartibli sodda kommuta- tiv gruppalar haqida to‘liq ma’lumot mavjud. Nokommutativ sodda gruppalarni o‘rganish masalasi esa, bir muncha murakkab hisoblanib, biz Silov teoremalarini qo‘llagan holda kichik tartibli sodda gruppalar haqidagi ma’lumotlarni keltiramiz.
-
4.3.1-teorema. Tartibi pn ga teng bo‘lgan ixtiyoriy gruppa sodda emas, bu yerda
p – tub son, n > 1 .
Isbot. Aytaylik, |G| = pn bo‘lib, Z(G) uning markazi bo‘lsin. 4.2.3-teoremaga ko‘ra |Z(G)| > 1. Agar G = Z(G) bo‘lsa, u holda G gruppa kommutativ bo‘lib, uning sodda emasligi kelib chiqadi. Agar Z(G) /= G bo‘lsa, u holda aynan Z(G) markaz G gruppaning normal qism gruppasi bo‘ladi. Demak, G sodda emas.
4.3.1-misol. Tartibi 9 ga teng bo‘lgan ixtiyoriy gruppa Z9 va Z3×Z3 gruppalardan biriga izomorf bo‘lishini ko‘rsating.
Do'stlaringiz bilan baham: |