Abstrakt algebra

BOB 3

Abel gruppalari

Biz ushbu bobda abel ya’ni kommutativ gruppalar haqida batafsil to‘xtalib o‘tamiz. Chekli abel gruppalarini tasniflash masalasi XIX asrda o‘rganilgan muhim muammolaridan biri hisoblanib, algebra, sonlar nazariyasi, topologiya va kombinatorika kabi bir qator fanlarda o‘z tadbig‘iga ega. Ma’lumki, siklik grup- palar abel gruppasi bo‘lib, ixtiyoriy chekli siklik gruppa Z_n gruppaga, cheksiz siklik gruppa esa Z gruppaga izomorf bo‘ladi. Biz ushbu bobda chekli abel grup- palarining to‘liq tasnifini keltirib, ixtiyoriy chekli abel gruppasi siklik gruppalarn- ing to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifodalanishini isbotlaymiz. Bundan tashqari, ushbu natija hosil qiluvchi elementlari soni chekli bo‘lgan cheksiz abel gruppalari uchun ham o‘rinli ekanligini ko‘rsatamiz.

1. Chekli abel gruppalari

Bizga G abel gruppasi berilgan bo‘lsin. Odatda abel gruppasida binar amalni +, birlik elementni 0 orqali va a elementga teskari elementni −a orqali belgilash qabul qilingan. Shuning uchun biz ham ushbu mavzuda aynan shunday belgilashlardan foydalanamiz. U holda aⁿ o‘rniga na ifoda ishlatilsa, ord(a) = n deganda esa na = 0 ekanligi tushuniladi. Bundan tashqari, A va B abel gruppalarining to‘g‘ri ko‘paytmasi A × B ham A ⊕ B kabi belgilanib, to‘g‘ri ko‘paytma o‘rniga to‘g‘ri yig‘indi atamasi ishlatiladi.

Ixtiyoriy G gruppa uchun quyidagi to‘plamni aniqlaymiz:


T (G) = {g ∈ G | ord(g) < ∞},
ya’ni G gruppaning tartibi chekli bo‘lgan elementlaridan tuzilgan to‘plamni T (G) kabi belgilaymiz. Ushbu T (G) to‘plam G gruppaning davriy qismi deb ata- ladi. Agar T (G) = {e} bo‘lsa, ya’ni gruppaning birlik elementidan farqli barcha elementlari tartibi cheksizga teng bo‘lsa, u holda G gruppaga buralishga ega bo‘lmagan gruppa deb ataladi.

87

Ta’kidlash joizki, nokommutativ gruppalarning davriy qismi har doim ham

qism gruppa bo‘lavermaydi. Masalan, GL₂

18. 
    gruppaning A = ^{0 1}
    

−1 0

va B = ^{0 1}
−1 −1
elementlarining tartiblarlari chekli, ya’ni ord(a) = 4,

0 −1
ord(b) = 3 bo‘lib, AB = ^{−1 −1} elementning tartibi cheksizga teng. Demak,
T (GL₂(R)) to‘plam GL₂(R) gruppaning qism gruppasi bo‘lmaydi. Quyidagi teo- remada esa, abel gruppalarining davriy qismi qism gruppa bo‘lishini ko‘rsatamiz.