Abstrakt algebra

2.3.2-misol. (Z, +) gruppaning barcha gomomorf obrazlarini toping.
Yechish. Aytaylik H gruppa (Z, +) gruppaning gomomorf obrazi bo‘lsin, ya’ni f : Z → H epimorfizm mavjud. U holda izomorfizmning birinchi teore- ^{masiga ko‘ra Z/Kerf ∼}= ^{H. Kerf yadro Z gruppaning normal qism gruppasi
bo‘lganligi uchun, Kerf = nZ bo‘ladi, bu yerda n ≥ 0. Demak, H ∼}= ^Z/nZ.
Ma’lumki, Z/nZ gruppa n = 0 da Z ga n > 0 da esa Z_n ga izomorf bo‘ladi. Shun- day qilib, Z gruppaning gomomorf obrazlari Z va Z_n ekanligiga ega bo‘lamiz.
2.3.3-misol. Agar chekli G gruppadan Z₈ gruppaga epimorfizm mavjud bo‘lsa, u holda G indeksi 4 va 2 ga teng bo‘lgan qism gruppalarga ega ekanligini isbotlang.


Yechish. Aytaylik, f : G → Z₈ epimorfizm bo‘lsin, u holda izomorfizmning ^{birinchi teoremasiga ko‘ra G/Kerf ∼}= ^{Z8. Demak, G/Kerf tartibi 8 ga teng bo‘lgan}
siklik gruppa. Bundan esa, G/Kerf tartibi 4 va 2 ga teng bo‘lgan H₁ va H₂ normal qism gruppalarga ega ekanligi kelib chiqadi. Moslik teoremasiga ko‘ra esa G gruppaning N₁ va N₂ normal qism gruppalari mavjud bo‘lib,
Kerf ⊆ N₁, N₁/Kerf = H₁ va Kerf ⊆ N₂, N₂/Kerf = H₂
bo‘ladi. Bundan esa,

[G : Kerf ] 8

[G : N₁] =
[N₁
=
: Kerf ]
= 2,
4

[G : Kerf ] 8

kelib chiqadi.

[G : N₂] =
[N₂
= = 4
: Kerf ] 2

2.3.4-misol. D₄ gruppaning ichki avtomorfizmlar gruppasi Inn(D₄) ni toping.
^{Yechish. 2.3.9-teoremaga ko‘ra Inn(D4) ∼}= ^{D4/Z(D4) bo‘lib, o‘z navbatida}
|Z(D₄)| = 2 ekanligidan D₄/Z(D₄) faktor gruppaning tartibi 4 ga tengligi kelib chiqadi, ya’ni
D₄/Z(D₄) = {e · Z(D₄), a · Z(D₄), b · Z(D₄), (a · b) · Z(D₄)}.
Bundan esa, b² ∈ Z(D₄), a² = e va (a · b)² = e ekanligini hisobga olsak,
D₄/Z(D₄) faktor gruppaning birlik elementdan farqli barcha elementlarining tar- ^{tibi 2 ga teng bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, Inn(D4) ∼}= ^{D4/Z(D4) ∼}= ^{K4 ekanli-}
gini hosil qilamiz.

1. Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

   1. 
      Aytaylik, G = (R^∗, ·) noldan farqli haqiqiy sonlar to‘plamining multiplikativ ^{gruppasi va uning T = {1, −1} normal bo‘luvchisi berilgan bo‘lsin. G/T ∼}= (R⁺, ·) ekanligini isbotlang, bu yerda (R⁺, ·) barcha musbat haqiqiy sonlar
      

to‘plamining multiplikativ gruppasi.

2. 
   ^{Ixtiyoriy n natural son uchun Z/nZ ∼}= ^{Zn ekanligini isbotlang.}
   
3. 
   ^{Isbotlang: 4Z/12Z ∼}= ^Z3.
   
4. 
   ^{Isbotlang: 8Z/56Z ∼}= ^Z7.
   
5. 
   ^{Ixtiyoriy o‘zaro tub m va n natural sonlari uchun mZ/mnZ ∼}= ^{Zn ekanligini} isbotlang.
   

6. 
   Shunday G gruppa topingki, uning A va B normal qism gruppalari uchun
   

^{A ∼}= ^{B va G/A ∼/}= ^{G/B bo‘lsin.}

7. 
   Z₈ gruppa Z₁₅ gruppaning gomomorf obrazi emasligini ko‘rsating.
   

8. 
   Agar Z₁₅ gruppa G gruppaning gomomorf obrazi bo‘lsa, u holda G gruppa indeksi 5 va 3 ga teng bo‘lgan normal qism gruppalarga ega ekanligini isbot- lang.
   

9. 
   Isbotlang:
   
   • 
     ^{Aut(Z5) ∼}= ^Z4.
     
   • 
     ^{Aut(Z8) ∼}= ^{K4, bu yerda K4 − 4-tartibli Kleyn gruppasi.}
     
   • 
     ^{Aut(Zn) ∼}= ^Un.
     
10. 
    ^{Inn(S3) ∼}= ^{Aut(S3) ∼}= ^{S3 ekanligini isbotlang.}
    
11. 
    Aut(S₄) ni toping.
    

12. 
    Aut(K₄) ni toping.
    

13. 
    Aut(D₄) ni toping.
    

14. 
    Aut(Q₈) ni toping.
    

15. 
    (Q, +) gruppaning barcha avtomorfizmlarini toping.
    

16. 
    Agar G gruppaning markazi faqat birlik elementdan iborat bo‘lsa, u holda Aut(G) gruppaning markazi ham birlik avtomorfizmdan iborat ekanligini is- botlang.
    

17. 
    D₄ gruppaning shunday H va K qism gruppalarini topingki, K a H va
    

H a D₄ bo‘lib, lekin K qism gruppa D₄ da normal bo‘lmasin.

18. 
    D₄ gruppaning barcha gomomorf akslarini toping.
    

19. 
    Q₈ gruppaning barcha gomomorf akslarini toping.
    

20. 
    Ixtiyoriy qism gruppasi normal bo‘lgan, kommutativ bo‘lmagan gruppaga misol keltiring.
    

4. Gruppalarning to‘gri va yarim to‘g‘ri ko‘paytmasi

Ushbu paragrafda gruppalarning to‘g‘ri ko‘paytmasi tushunchasini kiritamiz. Gruppalarning to‘g‘ri ko‘paytmasi yuqori tartibli gruppalarni kichik tartibli grup- palar orqali o‘rganish imkonini beradi. Bu orgali gruppalarning ba’zi umumiy xossalarini ham o‘rganish mumkin. Dastlab, quyidagi misolni qarab chiqamiz.
2.4.1-misol. Bizga (G₁, ∗₁) va (G₂, ∗₂) gruppalar berilgan bo‘lsin. Ushbu to‘plamlarning G₁ × G₂ dekart ko‘paytmasida quyidagicha binar amal aniqlaymiz:
(a₁, a₂) ∗ (b₁, b₂) = (a₁ ∗₁ b₁, a₂ ∗₂ b₂).
Ushbu amalga nisbatan G₁ × G₂ dekart ko‘paytmaning gruppa tashkil qilishini tekshirish qiyin emas. Haqiqatdan ham, ushbu amal binar amal ekanligi va as- sosiativlik shartining bajarilishi osongina kelib chiqib, G₁ × G₂ to‘plamda (e₁, e₂) element birlik element vazifasini bajaradi, bu yerda e₁ va e₂ mos ravishda G₁ va G₂ gruppalarning birlik elementlari. Ixtiyoriy (a₁, a₂) elementning teskarisi esa,

(a⁻₁ ¹, a⁻₂ ¹) bo‘ladi, bu yerda a⁻₁ ¹
va a⁻₂ ¹
elementlar mos ravishda G₁ va G₂ grup-

palardagi a₁ va a₂ elementlarning teskarilari.
Endi yuqoridagi misolni umumlashtirgan holda ixtiyoriy sondagi G₁, G₂, . . . , G_n gruppalarning tashqi to‘g‘ri ko‘paytmasi tushunchasini kirita- miz. Buning uchun
G = G₁ × G₂ × · · · × G_n = {(a₁, a₂, . . . , a_n) | a_i ∈ G_i}
to‘plamda ∗ binar amalni
(a₁, a₂, . . . , a_n) ∗ (b₁, b₂, . . . , b_n) = (a₁ · b₁, a₂ · b₂, . . . , a_n · b_n)
kabi aniqlaymiz, bu yerda shartli ravishda G_i gruppalarning barchasidagi binar amallar bir xil · kabi belgilangan. G to‘plam ushbu amalga nisbatan gruppa tashkil qilib, u G₁, G₂, . . . , G_n gruppalarning tashqi to‘g‘ri ko‘paytmasi deb ataladi.
Ta’kidlash joizki, gruppalarning tashqi to‘g‘ri ko‘paytmasining birlik elementi (e₁, e₂, . . . , e_n) bo‘lib, (a₁, a₂, . . . , a_n)⁻¹ = (a₁⁻¹, a_n⁻¹, . . . , a⁻_n ¹) bo‘ladi. Quyidagi teoremada gruppalarning tashqi to‘g‘ri ko‘paytmasining ba’zi muhim xossalarini
keltiramiz.