Abstrakt algebra

3.2.4-teorema. Agar F_k erkin gruppaning {a₁, a₂, . . . , a_k} bazisini G gruppa ele- mentlariga o‘tkazuvchi ϕ akslantirish berilgan bo‘lsa, u holda f (a_i) = ϕ(a_i), 1 ≤ i ≤ k shartni qanoatlantiruvchi f : F_k → G gomomorfizm mavjud va yagona.
Isbot. Aytaylik, ϕ(a_i) = b_i, 1 ≤ i ≤ k bo‘lsin. Ixtiyoriy x ∈ F_k element uchun
x = n₁a₁ + n₂a₂ + · · · + n_ka_k
ekanligidan foydalanib, f : F_k → G akslantirishni f (x) = n₁b₁ + n₂b₂ + · · · + n_kb_k kabi aniqlaymiz. U holda, f (a_i) = ϕ(a_i), 1 ≤ i ≤ k bo‘lib, ushbu akslantirish gomomorfizm bo‘ladi. Haqiqatdan ham, ixtiyoriy x, y ∈ F_k uchun
x = n₁a₁ + n₂a₂ + · · · + n_ka_k, y = m₁a₁ + m₂a₂ + · · · + m_ka_k
bo‘lsa, u holda x + y = (n₁ + m₁)a₁ + (n₂ + m₂)a₂ + · · · + (n_k + m_k)a_k bo‘lib,
f (x + y) = (n₁ + m₁)b₁ + (n₂ + m₂)b₂ + · · · + (n_k + m_k)b_k =
= n₁a₁ + n₂a₂ + · · · + n_ka_k + m₁a₁ + m₂a₂ + · · · + m_ka_k = f (x) + f (y).
Ixtiyoriy g : F_k → G gomomorfizm g(a₁), g(a₂), . . . , g(a_k) elementlar orqali bir qiymatli aniqlanganligi sababli f (a_i) = ϕ(a_i), 1 ≤ i ≤ k shartni qanoatlantiruvchi gomomorfizmning yagona ekanligi kelib chiqadi.
Yuqoridagi teoremadan ko‘rinadiki, ixtiyoriy F_k erkin gruppaning bazisini G abel gruppasiga o‘tkazuvchi akslantirishni gomomorfizmgacha davom ettirish mumkin hamda bunday gomomorfizm yagona ravishda aniqlanadi. Quyidagi teo- remada esa, hosil qiluvchilari soni chekli bo‘lgan ixtiyoriy abel gruppa erkin abel gruppaning gomomorf obrazi bo‘lishini ko‘rsatamiz.
3.2.5-teorema. Hosil qiluvchilari {b₁, b₂, . . . , b_k} bo‘lgan ixtiyoriy G abel gruppaga
^{Fk gruppadan f : Fk → G syurektiv gomomorfizm mavjud va G ∼}= ^Fk/Kerf.
Isbot. Aytaylik, F_k erkin gruppaning bazisi {a₁, a₂, . . . , a_k} bo‘lsin. U holda 3.2.4-teoremaga ko‘ra F_k gruppadan G gruppaga f (a_i) = b_i shartni qanoatlanti- ruvchi gomomorfizm mavjud. b₁, b₂, . . . , b_k elementlar G gruppaning hosil qiluvchi elementlari bo‘lganligi uchun ushbu f gomomorfizm syurektiv bo‘ladi. Gomomor-
^{fizm haqidagi birinchi teoremaga ko‘ra esa, G ∼}= ^Fk/Kerf.
Endi hosil qiluvchi elementlari soni chekli bo‘lgan abel gruppalarining tuzilishi haqida to‘liq ma’lumot beruvchi teoremani keltiramiz.
3.2.6-teorema. Hosil qiluvchi elementlari soni chekli bo‘lgan ixtiyoriy abel grup- pasi chekli abel gruppa va rangi chekli bo‘lgan erkin abel gruppaning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifodalanadi. Ya’ni G = T (G) ⊕ H, bu yerda T (G) chekli abel
^{gruppa va H ∼}= ^Fk.
Bundan tashqari, bunday yoyilma yagonadir, ya’ni agar G = A ⊕ H = B ⊕ M ^{bo‘lib, A, B chekli abel gruppalari va H ∼}= ^{Fk, M ∼}= ^{Fs bo‘lsa, u holda A = B va H ∼}= ^{M (ya’ni s = k) bo‘ladi.}


Isbot. Aytaylik, G hosil qiluvchi elementlari soni chekli bo‘lgan gruppa bo‘lib, {b₁, b₂, . . . , b_n} uning hosil qiluvchilari bo‘lsin. U holda G/T (G) ham hosil qiluvchi elementlari soni chekli bo‘lgan gruppa bo‘lib, T (G/T (G)) = 0 bo‘ladi. Ya’ni, 3.2.3-teoremaga ko‘ra G/T (G) gruppa erkin abel gruppasi bo‘ladi. Demak,
^{G/T (G) ∼}= ^{Fk, bu yerda k = rk(G/T (G)). Ixtiyoriy gruppadan uning biror nor-}
mal qism gruppasi bo‘yicha faktor gruppasiga tabiiy gomomorfizm mavjud va u syurektiv bo‘lganligi uchun f : G → F_k syurektiv gomomorfizm mavjud. U holda F_k gruppaning {a₁, a₂, . . . , a_k} bazis elementlariga akslanuvchi c₁, c₂, . . . , c_k ∈ G elementlar topilib, f (c_i) = a_i bo‘ladi. Endi ϕ(a_i) = c_i, ϕ : F_k → G akslantirishni qarasak, 3.2.4-teoremaga ko‘ra ushbu akslantirishni g : F_k → G gomomorfizm- gacha davom ettirish mumkin, ya’ni g(a_i) = c_i. Demak, f : G → F_k va g : F_k → G gomomorfizmlar mavjud bo‘lib, ular uchun
(f ◦ g)(a_i) = f (g(a_i)) = f (c_i) = a_i
munosabat o‘rinli. Bu esa, f ◦g = 1_Fk ekanligini anglatadi. U holda 3.2.3-lemmaga ko‘ra G = Kerf ⊕ Img. Agar Kerf = T (G) ekanligini hisobga olib, H = Img deb ^{belgilasak, G = T (G) ⊕ H kelib chiqadi. Endi H ∼}= ^{Fk ekanligini ko‘rsatamiz.} Buning uchun f_H : G → F_k akslantirishni qarasak, f (H) = f (G) = F_k ekanligidan
f_H ning syurektiv ekanligi,
Kerf_H = Kerf ∩ H = Kerf ∩ Img = 0 ^{tenglikdan esa, uning inyektivligi kelib chiqadi. Demak, H ∼}= ^{Fk.
Endi T (G) gruppaning chekli ekanligini ko‘rsatamiz. T (G) ∼}= ^{G/H ekanligidan}
uning ham hosil qiluvchilari chekli ekanligi kelib chiqadi. Demak, T (G) gruppa- ning x₁, x₂, . . . , x_s hosil qiluvchi elementlari mavjud bo‘lib, barchasi chekli tartibga ega, ya’ni ord(x_i) = r_i. U holda G gruppaning elementlari
n₁x₁ + n₂x₂ + · · · + n_sx_s, 0 ≤ n_i ≤ r_i
ko‘rinishida bo‘lib, |T (G)| ≤ r₁r₂ . . . r_s bo‘ladi. Ya’ni T (G) chekli gruppa.
Endi teoremaning ikkinchi qismini isbotlaymiz. Aytaylik, G = A⊕H = B ⊕M
^{bo‘lib, A, B chekli abel gruppalari va H ∼}= ^{Fk, M ∼}= ^{Fs bo‘lsin, u holda}
T (A) = A, T (B) = B, T (H) = 0, T (M ) = 0.

Bundan esa

A = T (A) = T (A) ⊕ T (H) = T (A ⊕ H) = T (G) =
= T (B ⊕ M ) = T (B) ⊕ T (M ) = T (B) = B
ekanligi, ya’ni A = B kelib chiqadi. Bundan tashqari,
^{Fk ∼}= ^{H ∼}= ^{G/A = G/B ∼}= ^{M ∼}= ^Fs


ekanligidan k = s hosil bo‘ladi.
Shunday qilib, biz yuqoridagi teoremada hosil qiluvchi elementlari soni chekli bo‘lgan ixtiyoriy abel gruppa chekli abel gruppa va rangi chekli bo‘lgan erkin abel gruppaning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida G = T (G)⊕F_k kabi ifodalanishini ko‘rsatdik. O‘z navbatida T (G) chekli abel gruppa siklik gruppalarning to‘g‘ri yig‘indisidan
^{iborat bo‘lganligi uchun T (G) ∼}= ^Zm₁ ^{⊕ Zm}₂ ^{⊕ · · · ⊕ Zm}_s^{. Rangi k ga teng bo‘lgan}
F_k erkin abel gruppa esa cheksiz siklik gruppalarning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida

`
^{ifodalanadi, ya’ni Fk ∼}= ^Z
⊕ Z ⊕ · · · ⊕ Z . Demak, hosil qiluvchi elementlari soni


˛¸ x
k ta

chekli bo‘lgan ixtiyoriy abel gruppa uchun quyidagi yoyilma o‘rinli bo‘ladi

` ˛¸ x
^{G ∼}= ^Zm₁ ^{⊕ Zm}₂ ^{⊕ · · · ⊕ Zm}_s ^{⊕ Z ⊕ Z ⊕ · · · ⊕ Z .}
k ta
Ushbu yoyilmada m₁, m₂, . . . , m_s sonlarini invariant faktorlar deb, ya’ni m_j+1 | m_j
shartni qanoatlantiradigan qilib tanlashimiz mumkin.