"Agar biz boshqa fanlarda shubhasiz aniqlikka va bеxato haqiqatga kеlmoqchi bo‘lsak, unda har qanday bilimning nеgizlarini matеmatikadan boshlamog‘imiz kеrak" dеb yozgan edi ingliz faylasufi Rojеr Bekon

O'lchov xatosi nazariyasi
Ushbu sohadagi asosiy muammo quyidagilar. Ma'lum miqdordagi ketma-ket o'lchovlar {n} yaqin, ammo teng bo'lmagan qiymatlar. Tizimli xatolar va miqdorning o'lchash vaqtiga bog'liqligi (aytaylik, osmon gumbazini aylantirish paytida) hisobga olinadi, shunda ma'lumotlardagi farq shunchaki tasodifiy xatolar tufayli yuzaga keladi. O'lchov natijalaridan o'rganilgan qiymatning haqiqiy qiymatini eng yaxshi baholashni topish kerak.
Ushbu amaliy ahamiyatga ega bo'lgan (ayniqsa astronomiyada) birinchi matematik tadqiqni Tomas Simpson (1755) o'tkazgan. U o'lchov xatolari "uchburchaklar qonuni" bo'yicha taqsimlangan degan noto'g'ri farazdan kelib chiqqan, ammo to'g'ri xulosaga kelgan - o'lchash natijalarining arifmetik o'rtacha qiymati yagona o'lchovga qaraganda haqiqiy qiymatga yaqinroq. Daniel Bernoulli (1778) xatolar tarqalishining zichligi aylananing yoyi ekanligiga ishongan, ammo Simpsonning xulosasi tasdiqlangan. Simpsonning g'oyalari birinchi bo'lib funktsiyalarni ishlab chiqarish usulini va maksimal ehtimollik usulini qo'llagan I. G. Lambert tomonidan ishlab chiqilgan, keyinchalik R. E. Fisher tomonidan umumlashtirilgan.
XIX asrda Laplas ta'kidlaganidek, o'lchov xatolari odatda ko'plab tasodifiy xatolarning yig'indisi natijasidir va shuning uchun ularning tarqalishi normal holatga yaqin bo'lishi kerak. Arifmetik o'rtachaning o'rniga u statistik vositani taklif qildi. Ammo deyarli bir vaqtning o'zida ancha amaliy amaliy Gaussning eng kam kvadratchalar usuli (1809) nashr qilindi va u keng qo'llanila boshladi. 1853 yilda Koshi arifmetik o'rtacha qiymat juda past bo'lgan taqsimot misolini topdi. XIX-asrning oxiriga kelib, xatolar bilan ishlashning statistik nazariyasi asosan yakunlandi.
Lyudvig Boltsman
XIX-asrning o'rtalariga qadar ehtimollik nazariyasining amaliy qo'llanilishi asosan statistika va taxminiy hisob-kitoblar bilan cheklangan edi, shuning uchun "tasodifiy o'zgaruvchi" umumiy atamasi kechroq paydo bo'lgan. 1827 yilda Robert Braun tomonidan mikroskop ostida o'rganilgan suvda suzuvchi gul changlarining tasodifiy harakati fizikadagi birinchi tasodifiy jarayonlardan biri edi. Ammo uning matematik modeli faqat XX-asrning boshlarida paydo bo'ldi (A. Eynshteyn, M. Smoluxovskiy, N. Wiener).
Birinchi fizik ehtimollik modellari XIX-asrning ikkinchi yarmida L. Boltszman, D. K. Maksvell va D. W. Gibbs tomonidan ishlab chiqilgan statistik fizikada vujudga keldi. Boltszman bir qator asarlaridagi (1870-yillar) termodinamik qonuniyatlar tabiatda ehtimoliy-statistik xususiyatga ega ekanligini va fizik tizimlarning ehtimolligi past bo'lgan holatdan ehtimolligi yuqori bo'lgan holatga o'tishi bilan bog'liqligini va entropiya ehtimollik o'lchovi ekanligini ko'rsatdi. Shu yillar davomida Maksvell gazdagi molekulyar tezliklarning tarqalishi qonunini aniqladi, bu molekulalarning energiyasini, o'rtacha yo'lini va boshqa xususiyatlarini hisoblash imkonini beradi. 1902 yilda Gibbs fizikaning rivojlanishiga katta ta'sir ko'rsatgan Statistik mexanikaning asosiy printsiplari monografiyasini nashr etdi. 19-asrning oxiriga kelib, ehtimoliy usullarning katta amaliy ahamiyati umume'tirof etilgan haqiqatga aylandi.