"Agar biz boshqa fanlarda shubhasiz aniqlikka va bеxato haqiqatga kеlmoqchi bo‘lsak, unda har qanday bilimning nеgizlarini matеmatikadan boshlamog‘imiz kеrak" dеb yozgan edi ingliz faylasufi Rojеr Bekon

XX asr. Nazariy savollar va matematik usullar
XX asrda Chebishev va Markovning izlanishlari A. Ya. Xinchin, A. N. Kolmogorov va boshqalar tomonidan davom ettirildi, xususan, Jarl V. Lindeberg (1922) va Kolmogorov (1926) ko'p sonli qonunlar bajarilishi uchun zarur va etarli sharoitlarni topdilar.
Ehtimollar nazariyasining matematik apparati ko'plab yo'nalishlarda juda boyidi. O'lchov nazariyasini ishlab chiqqandan so'ng, ushbu umumiy tushuncha ehtimollik nazariyasiga, ya'ni ehtimollikni ko'plab "qulay voqealar" ning o'lchovi (cheksiz yoki cheksiz) sifatida ko'rib chiqish uchun qulay bo'lib chiqdi. Bunday yondoshish, nazariyaning yaxshi rivojlangan tilida ehtimollik xususiyatlarini tasvirlashga va o'rganishga imkon beradi.
Uchta tanadagi muammodagi xaotik harakat (kompyuter simulyatsiyasi)
Dinamik tizimlar nazariyasida ba'zi tizimlarning differentsial tenglamalari echimlari tasodifiy jarayonlar kabi harakat qilishi aniqlandi. Ushbu yirik kashfiyot "dinamik betartiblik" va umumiy "betartiblik nazariyasi" tushunchasini yaratishga olib keldi. Bitta misol, samoviy mexanikaning "uch tanali muammosi".
XX-asrgacha, odatda, binomial va (ba'zan) Poisson taqsimotlari asosan ishlatilgan, ammo ko'plab boshqa nazariy qonunlar amalda foydali bo'lgan. Masalan, mantiqiy bo'lmagan taqsimot ko'pincha o'rganilayotgan miqdor bir necha mustaqil ijobiy tasodifiy o'zgaruvchilarning natijasi bo'lgan holatlarda uchraydi.
Ehtimollar metodlari nazariy va amaliy matematikaning ko'plab sohalarida, hatto sonlar nazariyasi yoki mantiq kabi klassik usullarda ham o'z samarasini berdi. O'z navbatida, zamonaviy ehtimollik nazariyasi XX-asrda paydo bo'lgan funktsional tahlil, topologiya va matematikaning boshqa sohalarida ishlab chiqilgan usul va yondashuvlardan foydalanadi.


3 Matematik statistika
Karl Pearson
Matematik usullarni statistikada qo'llash Gyugens va Laplasdan Quetelet va Galtongacha ko'plab olimlar tomonidan amalga oshirilgan. Matematik statistika tasodifiy o'zgaruvchilar to'g'risida ishonchli qarorlarni qabul qilish uchun asos sifatida XIX-XX asr oxirlarida Galton shogirdi Karl Pirsonning fundamental ishlari tufayli paydo bo'ldi. Pearson korrelyatsiya nazariyasini, kelishuv mezonlari, regressiya tahlilini, gipotezani sinash algoritmlarini, qarorlarni qabul qilishni va parametrlarni baholashni ishlab chiqdi. Pearson taklif qilgan algoritmlar fizika, tibbiyot, biologiya, sotsiologiya, qishloq xo'jaligi va boshqalarda keng qo'llaniladi.
XX-asrning birinchi yarmida Pearsonning amaliy matematik statistika bo'yicha ishlarining eng mashhur izdoshi Ronald Aylmer Fisher edi. U eksperiment dizayni bo'yicha ishlarni nashr etdi, maksimal ehtimollik usulini ishlab chiqdi, statistik ahamiyatliligini sinovdan o'tkazdi, tafovutlarni tahlil qildi va bir qator boshqa muhim statistik muammolarni hal qildi. Eji Neumann bilan birgalikda u ishonch oralig'i kontseptsiyasini ishlab chiqdi (1937). Fisher umume'tirof etilgan "tasodifiy o'zgaruvchining o'zgarishi" (Inglizcha varianlik) atamasining muallifidir.
O'tgan asrning 20-yillaridan boshlab sanoat mahsulotlarining statistik sifat nazorati nazariyasi jadal rivojlanmoqda. Ushbu mavzu bo'yicha birinchi muammoni 1846 yilda Tomas Simpson ko'rib chiqqan. Ommaviy ishlab chiqarishda mahsulot sifatini tekshirish uchun mahsulotning bir yoki bir nechta partiyasidan qanday usul bilan olib tashlanishi kerakligini aniqlash kerak.
Bugungi kunda aksariyat hollarda teskari natijalar beradigan (masalan, uyali telefonlar yoki genetik modifikatsiyalangan mahsulotlarning yo'qligi yoki yo'qligi) statistik tadqiqotlar ko'pligi statistik so'rovning ishonchli xulosalarini berish muammosini keltirib chiqardi va ko'pincha muhokama qilinadi. Eng ko'p uchraydigan xato - bu o'rganilayotgan omillarning statistik bog'liqligi (korrelyatsiya) go'yo ular orasidagi sabab-oqibat bog'liqligini ko'rsatadi, degan xabar, lekin ko'pincha bu omillarning o'zaro bog'liqligi ularning bir yoki bir nechta uchinchi omillarga bog'liqligi bilan izohlanadi. "Statistik qaramlik, qanchalik kuchli bo'lishidan qat'i nazar, hech qachon sabablar bilan bog'liqlikni o'rnatolmaydi: sabab haqidagi fikrlarimiz statistikaning tashqarisidan, oxir oqibat boshqa bir nazariyalardan kelib chiqishi kerak".