"Agar biz boshqa fanlarda shubhasiz aniqlikka va bеxato haqiqatga kеlmoqchi bo‘lsak, unda har qanday bilimning nеgizlarini matеmatikadan boshlamog‘imiz kеrak" dеb yozgan edi ingliz faylasufi Rojеr Bekon

Asoslash va aksiomatizatsiya
Ehtimollar nazariyasi yaratilgan vaqtga kelib, matematikaning asosi ob'ektlarning ikki toifasi edi - raqamlar va geometrik shakllar. Ehtimollar nazariyasi uchun ushbu ro'yxatga mutlaqo maxsus ob'ektni qo'shish kerak edi: tasodifiy hodisa, shuningdek, yaqin bog'liq tushunchalar (ehtimollik, tasodifiy o'zgaruvchi va boshqalar). Yangi fanning o'ziga xosligi, uning matematikada ilgari qabul qilinganidek, so'zsiz so'zsiz emasligi, balki ehtimollik bilan tasdiqlanishi bilan ham namoyon bo'ldi.
Ehtimollar nazariyasi rivojlanib borgan sari, idealizatsiya qilingan hodisa matematik tushuncha sifatida ko'rib chiqilishi mumkinligi (va keyin ehtimollik nazariyasi matematikaning bir qismi) yoki u tajribada kuzatilgan haqiqatmi (va keyin ehtimollik nazariyasi tabiiy fanlarga tegishli bo'lishi kerak). Turli olimlar bu borada turlicha fikrlarni bildirishdi. P. L. Chebyshev ehtimollik nazariyasini matematik intizom deb qat'iy ishongan, uning vazifasi o'rganilayotgan hodisaning noma'lum ehtimolini ba'zi hodisalarning ma'lum bo'lgan ehtimolliklaridan aniqlash edi. Devid Xilbertning fikriga ko'ra, ehtimollik nazariyasi mexanika bilan bog'liq, ya'ni matematik «jismoniy intizom» . Avgust de Morgan va uning izdoshi W. S. Jevons "sub'ektiv ehtimollik" ning asosiy tushunchasini, ya'ni o'rganish mavzusini tushunishimizning miqdoriy o'lchovini va ehtimollik nazariyasini mantiq bilan bog'lashgan. Ikkilamchi sub'ektiv ehtimollik bilan bog'liq muammolar bir necha bor muhokama qilingan, ular ko'pincha "ehtimoliy paradokslar" shaklida tuzilgan (qarang, masalan, "uchta mahbus paradoksi" yoki "o'g'il va qiz paradoksi"). Kolmogorov ehtimoliga mos keladigan sub'ektiv ehtimollikni rasmiylashtirish Bruno de Finetti (1937) va Leonard Savaj (1954) tomonidan taklif qilingan.
Bernoulli aslida ehtimolning ikkita ta'rifini berdi: "qulay holatlar" ning bir qismi va statistik chastota sifatida; Ikkinchi tushunchani birinchisiga qisqartirish uchun ko'p sonli qonunlar kerak edi. Avstriyalik matematik va mexanik Richard fon Mises qarama-qarshi yondashuvni taklif qildi (1914): aniqlik bilan ehtimollik aniqlanishi hisobga olinadigan chastota chegarasi. Mises ehtimollik nazariyasini matematikaga aloqasi yo'q, u buni kuzatilgan faktlarni o'rganadigan eksperimental fan deb hisoblagan. Misening ta'rifi va u taqdim etgan aksiomatika ularning mazmuni yo'qligi uchun tanqid qilindi, chunki biron bir hodisaning chastotasi chegaralanganligini aniqlashning imkoni yo'q. Mises kontseptsiyasini muhokama qilish ba'zan bugun ham davom etmoqda. Oqlash uchun boshqa urinishlar bo'lgan - Jon Maynard Keyns (1921) va Xarold Jeffri (1939), tasdiqning ehtimolini ushbu tasdiqning "o'rinlilik darajasi" sifatida tushunishni taklif qilishgan, bu yondashuv ham savolni muhokama qilishda vaqti-vaqti bilan eslatib o'tilgan.

A. N. Kolmogorov

XX-asr boshlarida D. Xilbert maktabi geometriya va tahlil kabi klassik matematik sohalarni qat'iy aksiomatik asosga qo'ydi; aksiomatika matematikaning boshqa sohalarida paydo bo'ldi: to'plam nazariyasi, matematik mantiq va boshqalar Ehtimollar nazariyasi uchun aksiomatikani rivojlantirish zarurati paydo bo'ldi. Bernoulli va Laplasning eski, yarim intuitiv va norasmiy asoslari allaqachon qadimgi bo'lgan. Bunday aksiomatikaning birinchi versiyasini Sovet matematiki S. N. Bernstein o'zining "Ehtimollar nazariyasi" (1927) kursida bergan. 1929-1933 yillarda nashr etilgan va o'lchovlar nazariyasi g'oyalariga asoslangan A. N. Kolmogorovning versiyasi fanda keng tan olingan. XX-asrning ikkinchi yarmida Alfred Renyi va A. N. Kolmogorov ma'lumot nazariyasiga asoslanib, ehtimollik nazariyasini asoslash imkoniyatlarini o'rganishdi. Hozirgi kunda "ehtimollik nazariyasi haqiqatan ham matematik fan ekanligi aniq tushuncha yaratdi, u bir vaqtning o'zida tabiatshunoslikning keng doirasi, shuningdek, texnik va ijtimoiy-iqtisodiy fanlar bilan eng yaqin va to'g'ridan-to'g'ri bog'liqdir".
Amaliyot tomonidan tasdiqlangan ehtimoliy usullarning samaradorligiga, tabiatdagi tasodifiylikning roli, statistik barqarorlikning sabablari va chegaralari muhokama mavzusi bo'lib qolmoqda. "Laplas va Gauss davridan o'tgan 200 yil davomida fan fundamental savol bo'yicha - statistik barqarorlik qachon paydo bo'ladi".