Ajiniyaz atinda

ai x + b, y = c,, < ^i i i, (i) A=	ai Ь,	Ф 0 shart orinlanganda x =	c 2 ^b 2	, y=
a 2 c 2
a 2 x + b 2 y = c 2.	a 2 ^b '2		ai bi		ai bi
			a2 b2		a 2 ^b 1

(2) sheshimlerge iye.

2. 
   Bir tekli ush belgisizli eki tenlemeler sistemasi
   

a_i x + b1 y + c1 z = 0,
a 2 x + b 2 y + c 2 z = 0,

(3)

usi

x=k

^bi ci
^b 2 c 2

y=

k a¹

c_i

a₂

c₂

z=k

a_i
a₂

b_i
b₂

(4)

formulalar menen aniqlaniwshi sheshimlerge iye, bunda k - turaqli san.

3. 
   Bir tekli ush belgisizli ush tenlemeler sistemasi tomendegishe boladi:
   

ai x + bi y + Ci z = 0,
< a2x + b2y + c2z = 0,
a ₃ x + b₃ y + c ₃ z = 0.

(5) Onin

determinant A =

a_i b_i c_i a₂ b₂ c₂ a₃ b₃ c₃

=0

bolsa ,

nolge ten bolmaggan sheshimlerine iye boladi ham kerisinshe .

4. 
   Eki belgisizli ush siziqli tenleme sistemasi .
   

ai x + bi y = ci,
< a2^x + ^b2y = c2, ⁽⁶⁾ A = a ₃ x + b₃ y = c ₃.

a_i b_i c_i
a₂ b₂ c₂
a₃ b₃ c₃

= 0 bolganda ham onin hesh bir

eki


tenlemesi oz-ara qarama-qarsi bolmasa , birgelikte boladi .

5. 
   Ush belgisizli ush siziqli tenlemeler sistemasi :
   

a1 x + b1 y + c1 z = di,














determinant A =

a_i b_i c_i a₂ b₂ c₂ a₃ b₃ c₃

nolden ozgeshe bolganda jalgiz

Ax
A ,

z = ^Az A

(8) sheshimge iye

boladi , bundaA _x =

d_i b_i c_i d₂ b₂ c₂ d₃ b₃ c₃

A_y

a_i d_i c_i a₂ d₂ c₂ a₃ d₃ c₃

Az

a_i b_i d_i a₂ b₂ d₂
a₃ b₃ d₃

(9)
< a2x + b2y + c2z = d2, (7) bolip , onin a 3 x + b3 y + c 3 z = d3,

6. 
   Birgelikte bolmagan ham aniq emes tenlemeler sistemasi .(7)
   

tenlemelerdin shep tareplerin x1, x2, x₃lar menen belgileyik, sistemanin
determinant A = 0 bolsin. Onda tomendegi eki jagday boliwi mumkin :

1. 
   A determinanttin qandayda bir eki qatarinin elementleri bir-birine
   

a₂ b₂ c₂
proportsional, misali — = — = — = m, onda x2 = mx1 ham a_i b_i c_i

1. 
   eger d2 ■* md 1 bolsa , sistema birgelikte emes ( birinshi eki tenleme bir - birine qarama-qarsi );
   
2. 
   eger d 2 = md 1 bolsa , sistema aniq emes ( eger birinshi ham ushinshi tenlemeler bir-birine qarama-qarsi bolmasa ).
   

2. 
   A determinantda proportsional elementlerge iye bolgan qatarlar joq, onda nolge ten bolmagan m ham n sanlar tabiladi , mX 1 + nX2 = X3 ham
   

1. 
   eger md 1 + nd2 #= d3 bolsa , sistema birgelikte emes ;
   
2. 
   eger md 1 + nd2 = d3 bolsa , sistema aniqemes m ham n sanlardi pikirler jardemi menen yaki a 1 m + a2n = a3 , b1 m + b2n = b3, c1 m + c2n = c3
   

tenlemelerden tabiw mumkin .
Misal. Mina tenlemeni sheshin
5 x1
< 2 x1 + x 2 + 4 x3 — 2 x4 — 1 x1 — 3 x 2 — 6 x3 + 5 x4 — 0
Koefficentlerden duzilgen matricanin rangi ekige ten: bull matricanin joqari shep muyeshinde turgan ekinshi tartipli minor nol’den ozgeshe biraq oni toliqtiriwshi ushinshi tartipli eki minor da nolge ten. Keneytilgen matricanin rangi ushke ten, sebebi
—1



211

—35 * 0


—3
Bunnan sistemanin birgelikte emesligi kelip shigadi.
Misal. Sistemani sheshin.
'7 xi + 3 x2 — 2
< x — 2x₂ ——3
4 x + 9 x 2 —11
Koefficentlerden duzilgen matricanin rangi ekige ten yagniy belgisizler sanina ten: keneytilgen matricanin rangide ekige ten. Solay etip sistema birgelikte ham jalgiz bir sheshimge iye. Birinshi eki tenlemenin shep tarepleri siziqli erikli; bul eki tenlemelar sistemasin sheship belgisizler ushin tomendegi manislerdi tabamiz.
5 23
x1 — , x ₂ — —
¹ 17 ² 17
Bul tenlemeler ushinshi tenlemenide qanaatlandiriwin koriw qiyin emes .
Siziqli tenlemeler sistemasin sheshiwde analiz ham sintez.

Analiz ham sintez




2-Bap. Tenlemeler sistemasi temasin oqitiwdin metodikaliq tiykarlari

1. 
   .Tenlemeler sistemasin sheshiwdin tiykargi usillari
   

Bizge
ax + ax + ... + ax = b
11 1 12 2 1n n 1
ax + ax,, +... + a, x = b,

siziqli tenlemeler sistemasi

berilgen
21 1 22 2 2n n 2 (1)
ax + a X +... + a x = b m1 1 m 2 2 mn n m
bolsin.










belgisizleri

aldindagi

		a 11	a12 .	.. a"n'
koefficentlerden duzilgen	A =	a 21 ...	a22 . ... .	.. ^a2n .. ...
		V am 1	am2 .	.. amn 7

Aniqlama. (1) siziqli tenlemeler

sistemasinin

matrica (1) nin

belgisizler aldindagi koefficentler

matricasi,

tiykargi

ham saltan agzalardan ibarat B=

a11	a12 .	.. a
a21	a22 .	.. a
... a m1	... . am2 .	.. .. .. a

1 n

2 n

V

a11 x1

»7 b 2

b7 m

matrica (1) nin keneytilgen

matricasi delinedi .

+ ax + ... + ax = b 12 2 1 n n 1






ax + ax + ... + ax = b, 21 1 22 2 2 n n 2

sistema ushin

tomendegi belgilewlerdi

ax + a X +... + a x = b m1 1 m 2 2 mn n m
















qollanamiz: A¹ =

^f a
a.

21

^f a
a.

'12

22

... An =

f a"
a 2

—*•
, b =

natiyjede, x 1

^f a
a.

21

^f a
a.

'12

22

tenlemeni, yagniy

+

a
m mn

——
x 1 A¹ + x2A² +... + x_nAⁿ = b (2) tenlemeni payda etemiz.
Teorema. (1) sistema (2 ) sistemaga ten kushli.
a,.x. + a^x,, +... + a. x = 0
11 1 12 2 1n n

Aniqlama. <
a₂₁ x1 + a₂₂x2 +... + a2 x = 0
^{n n} siziqli tenlemeler sistemasina
ax + a ₂x₂ +... + a x = 0 m1 1 m2 2 mn n
bir tekli siziqli tenlemeler sistemasi delinedi .
а,.х. + а₁₂х₂ + ••• + а, х = 0,
11 1 12 2 1n n ,

Teorema. <
а₂₁х, + а₂₂х₂ + ••• + а, х = 0,
21 1 22 2 2n n
konrnstegi n ozgeriwshili m
ах + а ₂х₂ ч h а х = 0
m1 1 m2 2 mn n
birtekli siziqli tenlemeler sistemasi, m < n bolganda nol’ emes sheshimge iye boladi.
Misali, ax - by = 0 eki Ozgeriwshili siziqli tenleme. Onin sheshimleri sheksiz kop bolip, olardan birewi nol sheshim, qolganlari nol’ emes sheshimler.
Teorema. n ozgeriwshili bir tekli siziqli tenlemeler sistemasinin rangi n
nen kishi bolsa, onda sistema nol’ emes sheshimlerge iye boladi .

	f all	a12 .	.. a1n	>		(	a11	a12 .	.. a1n	^bi ^
A=	a21	a22 .	.. a2n		ham B =		a21	a22 .	.. a2n	^b2
	\ am 1	am2 .	.. amn	>		\	am1	am2 .	.. amn	b m

matricalardi saykes turde (1)	sistemanin	tiykargi	ham		keneytilgen matricasi
delinedi .
(a a 11	a12 ...	a x ^ a 1 n x1		f b1 >
	a22 ...	a^2^n x^2	=	^b 2
^ am 1	am2 ...	.... П V amn 7 Vxn >		V ^bn 7

tenlemeni (1) sistemanin matrica formada ( korinistegi) jaziliwi delinedi .
Teorema. Bir tekli sistema nolden ozgeshe sheshimge iye boliwi ushin sistema matricasinin rangi belgisizler saninan kishi boliwi zarurli ham jetkilikli.

1. 
   natiyje. Bir tekli sistemada belgisizler sani tenlemeler saninan ulken bolsa, sistema 0 den ozgeshe sheshimlerge de iye boliwi mumkin.
   
2. 
   natiyje. n ozgeriwshili n bir tekli tenlemeler sistemasi 0 dan ozgeshe sheshimlerge iye boliwi ushin sistemanin determinanti 0 ge ten boliwi zarurli ham jetkilikli.
   

Bir tekli siziqli tenlemeler sistemasinin tenlemelerin elementar almastiriwlar natiyjesinde sistemanin qalgan tenlemeler arqali siziqli anlatiwshi tenlemesi nol tenlemege aylanadi. Eger n ozgeriwshili bir tekli siziqli tenlemeler sistemasinin rangi n nen kishi bolsa, demek keminde bir tenleme qalganlari arqali siziqli anlatiladi. Onda berilgen bir tekli siziqli tenlemeler sistemasina ten kushli bir tekli siziqli tenlemeler sistemasinda keminde bir erikli ozgeriwshi bar bolip, natiyjede sheksiz kop sheshimler payda boladi. Bul sheshimlerdi tabiwda erikli ozgeriwshilerge nolden ozgeshe keminde bir manis beriw menen nol’ emes sheshim payda etiledi.
^5x - y - z = 0