Ajiniyoz nomidagi nukus davlat

1-teorema. Agar f(x,y,z) funksiya (S) sirtda berilgan va uzluksiz bo’lsa, u holda bu funksiyaning (S) sirt bo’yicha olingan ikkinchi tur sirt integrali

mavjud va

=
bo’ladi.

Isbot. (S) sirtning Pbo’lishini olaylik. Uning bo’laklari bo’lsin. Bu sirt va uning bo’laklarining Oxy tekislikdagi proeksiyasi (D) ning Pbo’lishini va uning bo’laklarini hosil qiladi. Pbo’linishga nisbatan ushbu yig’indini tuzamiz.



Agar (S) sirtning ustki tomoni qaralayotgan bo’lsa, u holda barcha Dlar musbat bo’ladi.

Modomiki, f(x,y,z) funksiya z=z(x,y) sirtda berilgan ekan, u x va y o’zgaruvchilarning quyidagi funksiyasiga aylanadi:

f(x,y,z)=f(x,y,z(x,y))

Bunda esa

Ko’rinishga keladi. Bu yig’indi f(x,y,z(x,y)) funksiyaning integral yig’indisi ( ikki karrali integral uchun integral yig’indi) ekanini payqash qiyin emas. Agar f(x,y,z(x,y)) funksiyaning (D) da uzluksiz ekanligini e’tiborga olsak, unda da

Yig’indi chekli limitga ega bo’ladi va

=dxdy

bo’ladi.Demak,

==

dxdy

Bunda esa

=

bo’lishi kelib chiqadi. Teorema isbot bo’ldi.

Agar (S) sirtning pastki tomoni qaralsa, unda barcha Dlar manfiy bo’lib,

=-
bo’ladi.

Huddi yuqoridagidek, tegishli shartlarda

,

integrallar mavjud bo’ladi va

=

=
bo’ladi.

1-natija. Yasovchilari Oo’qiga parallel bo’lgan (S) silindrik sirtni qaraylik. f(x,y,z) funksiya shu sirtda berilgan bo’lsin.

U holda

mavjud bo’ladi va u nolga teng.

=0

Xuddi shunga o’xshash, tegishli shartlarda

=0, =0

bo’ladi.

Bu tengliklar bevosita ikkinchi tur sirt integrallari ta’rifidan kelib chiqadi.

Yuqorida keltirilgan teoiremadan foydalanib, ikkinchi tur sirt integrallari ham ikki karrali Riman integrallari xossalari kabi xossalarga ega bo’lishini ko’rsatish va ularni keltirib chiqarishni o’quvchiga havola etamiz.

3. Ikkinchi tur sirt integrallarini hisoblash. Yuqorida keltirilgan teoremadan foydalanib ikkinchi tur sirt intgrallarini hisoblash mumkin. Unda ikkinchi tur sirt integrallari ikki karrali Riman integrallariga keltirib xisoblanadi.
=

=

=

4. Birinchi va ikkinchi tur sirt integrallari orasidagi bog’lanish.

birinchi va ikkinchi tur sirt integrallari orasidagi bog’lanishni ifodalovchi formulalar mavjud. (S) va unda berilgan f (x,y,z) va P (x,y,z) , Q (x,y,z), R (x,y,z) funksiyalar tegishli shartlarni qanoatlantirganda ushbu

=



=

umumiy holda

formulalar o’rinli bo’ladi.