Aksioma aksioma

Holomorfik funktsiyalar bo'shliqlari[tahrir]
Hardy joylar[tahrir]
The qattiq bo'shliqlar bor funktsiya bo'shliqlari, paydo bo'lgan murakkab tahlil va Harmonik tahlil, kimning elementlari aniq holomorfik funktsiyalar a murakkab domen.^[30] ruxsat bering u murakkab tekislikdagi birlik diskini belgilang. Keyin qattiq bo'shliq H ² (U) ning maydoni sifatida aniqlanadi holomorfik funktsiyalar f kuni siz shunday vositalar
{\displaystyle M_{r}(f)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|f\left(re^{i\theta }\right)\right|^{2}\,\mathrm {d} \theta }

r < 1 uchun chegaralangan holda qoling. Ushbu qattiq makondagi norma bilan belgilanadi
{\displaystyle \left\|f\right\|_{2}=\lim _{r\to 1}{\sqrt {M_{r}(f)}}\,.}

Diskdagi qattiq bo'shliqlar Furye seriyasiga tegishli. Funktsiya f ichida H ² (U) agar va faqat agar
{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}

qayerda
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{2}<\infty \,.}

Shunday qilib H ² (U) bo'lgan funktsiyalardan iborat L ² doirada va kimning salbiy chastota Furye koeffitsientlari yo'qoladi.
Bergman joylari[tahrir]
The Bergman bo'shliqlari ning yana bir oilasi Hilbert bo'shliqlari ning holomorfik funktsiyalar.^[31] ruxsat bering D ichida chegaralangan ochiq to'plam bo'ling murakkab tekislik (yoki yuqori o'lchovli murakkab bo'shliq) va ruxsat bering L ^2, h (D) bo'sh joy bo'lishi holomorfik funktsiyalar f yilda D bu ham ichida L ² (D) bu ma'noda
{\displaystyle \|f\|^{2}=\int _{D}|f(z)|^{2}\,\mathrm {d} \mu (z)<\infty \,,}

Lebesg o'lchoviga nisbatan integral qabul qilingan joyda D. aniq L ^2, h (D) ning subspace L ²(D); aslida, bu yopiq subspace va Shuning uchun A Hilbert maydoni o'z-o'zidan. Bu ixcham kichik to'plamlarda amal qiladigan taxminning natijasidir K ning D, bu
{\displaystyle \sup _{z\in K}\left|f(z)\right|\leq C_{K}\left\|f\right\|_{2}\,,}

bu o'z navbatida Koshi integral formulasidan kelib chiqadi. Shunday qilib, holomorfik funktsiyalar ketma-ketligining yaqinlashuvi L ²(D) ixcham yaqinlashishni ham nazarda tutadi va shuning uchun chegara funktsiyasi ham holomorfikdir. Ushbu tengsizlikning yana bir natijasi shundaki chiziqli funktsional funktsiyani baholaydigan f ning bir nuqtasida D aslida uzluksiz L ^2, h(D). Riesz vakillik teoremasi baholash funktsional elementi sifatida ifodalanishi mumkinligini anglatadi L ^2, h (D). Shunday qilib, har bir uchun z ∈ D, bor vazifasini η_z ∈ L^2, h(D) bunday deb
{\displaystyle f(z)=\int _{D}f(\zeta ){\overline {\eta _{z}(\zeta )}}\,\mathrm {d} \mu (\zeta )}

barcha f uchun ^2, h(D). Integrand
{\displaystyle K(\zeta ,z)={\overline {\eta _{z}(\zeta )}}}

sifatida tanilgan Bergman yadrosi ning D. ushbu integral yadro takrorlanadigan xususiyatni qondiradi
{\displaystyle f(z)=\int _{D}f(\zeta )K(\zeta ,z)\,\mathrm {d} \mu (\zeta )\,.}

A Bergman maydoni takrorlanadigan yadroga misoldir Hilbert maydoni, bu A Hilbert maydoni yadro bilan birga funktsiyalar K (baccaducation, z) bu o'xshash takrorlanadigan xususiyatni tasdiqlaydi. Hardy space H ² (D), shuningdek, Szeg gugurtning yadro sifatida tanilgan, bir qayta yadro, tan oladi.^[32] yadrolarni ko'paytirish matematikaning boshqa sohalarida ham keng tarqalgan. Masalan; misol uchun, ichida Harmonik tahlil The Puasson yadrosi uchun takrorlanadigan yadro Hilbert maydoni ning kvadrat bilan birlashtiriladigan Harmonik funktsiyalar ichida birlik to'pi. Ikkinchisining Hilbert maydoni ekanligi umuman natijasidir o'rtacha qiymat teoremasi Harmonik funktsiyalar uchun.
Ilovalar[tahrir]
Hilbert bo'shliqlarining ko'plab ilovalari Hilbert bo'shliqlari oddiy geometrik tushunchalarni umumlashtirishni qo'llab-quvvatlashidan foydalanadi proektsiya va asosning o'zgarishi odatdagi cheklangan o'lchovli sozlamalardan. Xususan, Hilbert fazosidagi uzluksiz o'z-o'zidan bog'langan chiziqli operatorlarning spektral nazariyasi matritsaning odatiy spektral parchalanishini umumlashtiradi va bu ko'pincha nazariyani matematika va fizikaning boshqa sohalariga tatbiq etishda katta rol o'ynaydi.