Aksioma aksioma

OA = A, OB = b, OC = C,

va burchakning har ikki tomonida birlik segmenti

Agar orqali A, B, yoki C birlik chizig'iga parallel ravishda chizilgan ED', boshqa tomonni a', B', C da kutib oling, keyin biz qo'yamiz
OA = OA ' = A, 0B = b va hokazo.
Ikki segmentning yig'indisi b va c odatiy qoidalar bilan hosil bo'ladi : rasmda b'l ga parallel chizilgan OC, CLpara11el ga 0B' va LD ga parallel tomonidan, bu parallel ED'; shuning uchun
0B = CD va

Anjir. 3.
Segmentning mahsuloti a segmentga b orqali chizish orqali aniqlanadi B parallel BF 'ga EA' va qo'yish

Kommutativ qonun bu mahsulot uchun amal qilmaydi, chunki biz muvofiqlik aksiomalarini ham, Arximed aksiomasini ham kiritmaganmiz, Shuning uchun bu aksiomalarni isbotlash uchun ishlatib bo'lmaydi, Professor Xilbert taqsimot qonuni bizning ko'payishimiz uchun amal qilishini ko'rsatdi,
ya'ni, biz misol a uchun bor (b + c) = ab + ac.
Rasmda a(b + c) va ab + ac ikkita iboraning qurilishi ko'rsatilgan : bizda bor
01) = b + c, + c) = + ccc.
Tarqatish qonuni chiziqni talab qiladi PP^P ga parallel bo'lgan AA ' o'tishi kerak K.
Endi tenglamaga mos keladigan bitta va bitta segment mavjudligi qiyinchiliksiz ko'rinib turibdi
x.a(b + c) = ab.
Ushbu bosqichda biz hozirgacha ishlatilgan aksiomalarga aniq qo'shamiz, ya'ni. (I, 1), (I, 2), Il, Ill, bizning algebramizda komutativ qonun to'g'ri chiziqda ko'paytirish uchun amal qiladi degan taxmin. Keyin tenglama ax (b + c) = ab to'g'ri va shuning uchun segment ham tenglamani qondiradi

bu rasm uchun f'p va BD chiziqlarining parallelligini anglatadi.
Shunday qilib uchburchaklarning tomonlari F/PR va HDL juft bo'lib parallel shunday qilib, Desargues taklifining teskarisiga ko'ra, nuqtalar O, K, l to'g'ri chiziqda yotish. F' GK va B' CL uchburchaklaridan r G BC ga parallel ekanligi kelib chiqadi.
Olti burchakda BF 'G G' CB^I nuqtalari b va G' o'zboshimchalik bilan tanlanishi mumkin, shuningdek yo'nalishlar
BF ' CG^{i ga parallel} va bb GG ga parallel
Shunday qilib, biz Paskalning ikkita to'g'ri chiziq bo'yicha taklifiga olib keldik ; va endi ko'paytirishning komutativ qonuni va Paskalning taklifi butun tekislik uchun ushlab turilishini osongina ko'rsatish mumkin.
Yangi taxminni kiritmasdan buni ko'rsatish mumkin emas edi
F'? b'dga parallel ;
ya'ni, Paskal ning taklif ushlab emas edi.
Keling, ushbu natijalarni ikkita taklifda sarhisob qilaylik :

1. 
   Paskalning taklifini i, Il, Ill aksiomalari va ko'paytirishning komutativ qonuni, ya'ni muvofiqlik aksiomalaridan foydalanmasdan isbotlash mumkin.
   
2. 
   Paskal ning taklif aniq i orqali isbot mumkin emas, 11, kasal yolg'iz, ya'ni , muvofiqlik aniq va Arximed aksiomasi yordamida holda.
   

Desargues va Paskalning takliflariga asoslangan segmentlarning algebralari, unda barcha segmentlarning umumiyligi sanoq tizimi sifatida qaraladi, muallifni arifmetika tamoyillari bo'yicha munozaralarga qayta-qayta olib boradi.
Haqiqiy sonlar kombinatsiya va tartibning ma'lum qonunlariga va Arximed taklifiga bo'ysunadigan ob'ektlar tizimini tashkil qiladi. Professor Xilbert tomonidan sanab o'tilgan kombinatsiyaning o'n ikkita qonuni qo'shish, ko'paytirish, bo'linishga ishora qiladi va assotsiatsiya, taqsimot va kommutatsiya qonunlarini o'z ichiga oladi. Buyurtmaning to'rtta taklifi mavjud. Arximedning taklifi quyidagicha :
Agar a > O va b > O har qanday ikkita raqam bo'ling, natijada olingan summa mulkka ega bo'lishi uchun har doim o'zi uchun etarli miqdordagi vaqtni qo'shish mumkin •

Ushbu 17 ta taklifning kamida bir qismini qondiradigan har qanday ob'ektlar tizimi Professor Xilbert tomonidan murakkab sonlar tizimi deb ataladi.
17-postulatni qondirmaydigan segmentlarning ikkita algebrasi deyiladi Arximed bo'lmagan raqam svstemlar; algebra segmentlari Desargues taklifiga asoslangan, xususan, bahslarni hosil qiladi; sanoq tizimi.
17 takliflarining o'zaro bog'liqligi bo'yicha tergovning quyidagi natijasi alohida ahamiyatga ega :
Arximed taklifi bo'lgan har qanday sanoq tizimida ko'paytirishning komutativ qonunini boshqa ishlash qonunlaridan chiqarish mumkin ; va :
Arximed bo'lmagan sonlar tizimlari mavjud bo'lib, unda ko'paytirishning komutativ qonunini boshqa qonunlardan chiqarib bo'lmaydi.
Geometriya tamoyillarini o'rganish bilan bog'liq holda professor Xilbert geometrik konstruktsiyalarni muhokama qiladi, faqat o'lchagich yoki kompas bilan bajariladigan eski konstruktsiyalar muammosi faqat to'g'ri chiziqlar chizish va segmentlarni yotqizish orqali hal qilinadigan barcha muammolarni ko'rsatish masalasiga umumlashtiriladi. Ko'rinib turibdiki, bu shart aksiomalar yordamida hal qilinishi mumkin bo'lgan geometrik muammolar bilan qondiriladi men ga V. har qanday berilgan geometrik muammoni to'g'ri chiziqlar chizish va segmentlarni yolg'iz yotqizish orqali hal qilish mumkinmi degan savolga Professor Xilbert tomonidan chuqur taxminlar asosida javob beriladi. u tomonidan boshqa joyda nashr etilgan raqamlar nazariyasi