Aksioma aksioma

Ketma-ketlik fazolari[tahrir]
Kompleks {\displaystyle \ell _{2}} sonlarning kvadrat yig'iladigan ketma-ketliklari maydoni cheksiz ketma-ketliklar to'plamidir
{\displaystyle (c_{1},c_{2},c_{3},\dots )}

ning haqiqiy yoki murakkab sonlar shunday
{\displaystyle \left|c_{1}\right|^{2}+\left|c_{2}\right|^{2}+\left|c_{3}\right|^{2}+\cdots <\infty \,.}

Ushbu bo'shliq ortonormal asosga ega:
{\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&=(1,0,0,\dots )\\e_{2}&=(0,1,0,\dots )\\&\ \ \vdots \end{aligned}}}

Ushbu {\displaystyle \ell _{2}^{n}} bo'shliq cheklangan o'lchovli vektorlar makonining cheksiz o'lchovli umumlashtirilishi. Odatda bu cheksiz o'lchovli bo'shliqlarda yopiq va chegaralangan to'plam majburiy emasligini ko'rsatish uchun ishlatiladigan birinchi misoldir (ketma-ket) ixcham (barcha cheklangan o'lchovli bo'shliqlarda bo'lgani kabi). Darhaqiqat, yuqoridagi ortonormal vektorlar to'plami buni ko'rsatadi: bu birlik to'pidagi vektorlarning cheksiz ketma-ketligi (ya'ni normadan kam yoki teng bo'lgan nuqtalar to'pi). Ushbu to'plam aniq chegaralangan va yopiq; shunga qaramay, ushbu vektorlarning hech qanday ketma-ketligi hech narsaga yaqinlashmaydi va natijada birlik to'pi {\displaystyle \ell _{2}} ixcham emas. Intuitiv ravishda, bu ketma-ketlikning keyingi elementlari qochishi mumkin bo'lgan" har doim boshqa koordinata yo'nalishi mavjud".
Bir ko'p jihatdan oraliq umumlashtirish mumkin{\displaystyle \ell _{2}} . Masalan, Agar B har qanday (cheksiz) to'plam, keyin A hosil qilishi mumkin Hilbert maydoni indeks to'plami bilan ketma-ketliklar B, tomonidan belgilanadi
{\displaystyle \ell ^{2}(B)=\left\{x:B{\xrightarrow {x}}\mathbb {C} \,\left|\,\sum _{b\in B}\left|x(b)\right|^{2}<\infty \right.\right\}\,.}

Summa tugadi B bu erda tomonidan belgilanadi
{\displaystyle \sum _{b\in B}\left|x(b)\right|^{2}=\sup \sum _{n=1}^{N}\left|x(b_{n})\right|^{2}}

bundan kelib chiqadiki, bu summa cheklangan bo'lishi uchun har bir element l 2(B) faqat juda ko'p nolga teng bo'lmagan atamalarga ega. Ushbu bo'shliq A ga aylanadi Hilbert maydoni ichki mahsulot bilan
{\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{b\in B}x(b){\overline {y(b)}}}

barcha x, y x, l 2(B) uchun. Bu erda summa ham juda ko'p nolga teng bo'lmagan atamalarga ega va Koshi–Shvarts tengsizligi bilan so'zsiz yaqinlashadi.
Ning ortonormal asosi l ² (B) to'plam bilan indekslanadi B, tomonidan berilgan
{\displaystyle e_{b}(b')={\begin{cases}1&{\text{if }}b=b'\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}