Aksioma aksioma

-Zich belgilangan o'z-o'ziga bog'langan operator berilgan teorema T Hilbert maydonida H, identifikatsiyaning noyob qaroriga mos keladi E ning Borel to'plamlarida R, shunday qilib
{\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\int _{\mathbb {R} }\lambda \,\mathrm {d} E_{x,y}(\lambda )}

barcha x(T) va y) x (t) va y) X (t) va y) uchun H. spektral o'lchov T spektrida to'plangan.
Ning versiyasi ham mavjud spektral teorema bu chegaralanmagan normal operatorlarga tegishli.
Ommaviy madaniyatda[tahrir]
Yilda gravitatsiyaning kamalagi (1973), tomonidan yozilgan roman Tomas Pynchon, belgilardan biri "Sammy Hilbert-Spaess" deb nomlangan, "Hilbert kosmik". Roman g ga ham ishora qiladibuxsadelning to'liqsizlik teoremalari.^[82]

https://uz.mgwiki.top/wiki/Axiomatic_system

Matematikada urg'u tizimi har qanday o'rnatilgan nazariyaning ba'zi yoki barcha urg'ulari bilan birgalikda ishlatilishi mumkin. Nazariya - bu ketma-ket, odatda avtomatik tizimni va undan kelib chiqadigan barcha nazariyalarni o'z ichiga olgan nisbatan mustaqil bilimlar majmuasidir.[1] To'liq tavsiflangan avtomatik tizim bu turdagi rasmiy tizimdir. Rasmiy nazariya mantiqiy xulosaga yaqinlashuvchi takliflar majmuini tavsiflovchi avtomatik tizimdir (odatda modellar nazariyasida tuzilgan).[2] Matematik isbotning rasmiy isbotini to'liq amalga oshirish rasmiy tizimda.

HILBERTNING GEOMETRIYA ASOSLARI.

Grundlagen der Geometrie. Von DR. DAVID HILBERT, o. Professor an der Universität Göttingen. (Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauss-Weber-Denkmals in Göttingen. Herausgegeben von dem Fest-Comitee.) Leipzig, Teubner, 1899. 8vo, 92 pp.
Gaussveber yodgorligining ochilishiga mas'ul qo'mita Gkatttingen bayramni xotirlash va ikki buyuk ilm-fan dahosiga munosib hurmat sifatida xizmat qilish uchun mo'ljallangan yodgorlik jildini nashr etdi. Ning ikkita professori Gikttingen universiteti ushbu jildda aniq fanlarning asoslari bo'yicha o'z tadqiqotlarini taqdim eting: professor Xilbert geometriya asoslarini davolaydi; Professor Vixert elektrodinamika asoslarini muhokama qiladi. Ushbu xabarnoma faqat ushbu xotiralarning birinchisi bilan bog'liq.

Bizning kosmik sezgimizni tahlil qilish va tavsiflash geometriyaning ob'ekti. Fazoviy sezgidan mavhumlik ob'ektlarning uchta tizimiga olib keladi: nuqtalar, to'g'ri chiziqlar va tekisliklar, ular bunday sezgi elementlari sifatida kosmosning har qanday tavsifi asosida yotishi kerak. Ta'riflar yordamida ushbu elementlar geometriya umumiy qonunlarni o'rnatishga intiladigan ma'lum korrelyatsiyalarga keltiriladi. Shu tarzda mantiqiy izchil takliflar tizimini olish uchun aksiomalar deb ataladigan ba'zi talablar elementlar o'rtasidagi barcha tasavvur qilinadigan o'zaro munosabatlar tomonidan qondirilishi kerak.

Geometriya aksiomalari orasida ikki turni ajratish mumkin: pozitsiya aksiomalari va kattalik aksiomalari. Aksiomalar darhol umumiy kuchga ega bo'lishi va bir-biridan mustaqil, yanada qisqartirilmaydigan va boshqasi bilan qarama-qarshi bo'lmagan takliflar tizimini shakllantirishi kerak. Faqat shunday aksiomalar asosida har qanday geometrik ta'rif mumkin; ya'ni ta'rif, agar u o'ychan bo'lsa, aksiomalardan uning haqiqiy tarkibga ega ekanligini ko'rsatish mumkin bo'lgandagina o'z ma'nosini oladi. Ushbu talablarga qo'shimcha ravishda aksiomalar tizimidan oddiy bo'lishi, boshqacha qilib aytganda, elementlar o'rtasidagi munosabatlarni o'rnatish va keskin cheklash uchun mumkin bo'lgan eng kam sonli takliflardan foydalanishni talab qilish mumkin, aksiomalarning hech biri ortiqcha emas, ya'ni. boshqalar har qanday. Aksiomalar tizimining to'liqligi talabining qo'shilishi faqat ma'lum maqsadga nisbatan ma'noga ega bo'ladi. Tizimdan ma'lum aksiomalarni (Professor Xilbert o'z tadqiqotlarida qayta-qayta qilganidek) ajratib olish va ular yordamida mantiqiy izchil tizimni tashkil etuvchi va hech qanday qarama-qarshiliklarga olib kelmaydigan geometriyani yaratish mumkin. Biroq, analitik geometriyaning asosini yaratish uchun zarur bo'lgan aksiomalarning to'liq tizimi nima ekanligini so'rash mutlaqo qonuniydir.
Evklidning geometriya tizimi har doim ikki nuqta bo'yicha e'tirozlarga ochiq bo'lgan: parallellik aksiomasini kiritish va nisbatlar va maydonlar haqidagi ta'limot. Ikkinchi nuqta, Evklid davridan beri deyarli takomillashtirilmagan bo'lsa-da, avvalgi tadqiqotlar qanchalik ko'p bo'lganligi ma'lum. Evklidning o'n birinchi aksiomasini uning boshqa aksiomalaridan chiqarish mumkinmi degan savolga nihoyat salbiy javob berildi, Evklid bo'lmagan geometriya Gauss, Lobachevskiy va Bolyay tomonidan qurilgan. Ko'p munozarali muammo bo'yicha eski bahs-munozaralarni yakuniy hal qilishga olib kelgan yangi usullar umuman aksiomalarni tekshirishga nisbatan butunlay yangi qarashlarga olib keldi. Ular Riemann, Helmholtz va Lie uchun geometriyani analitik asosda topishga imkon berishdi, bu usul Evkliddan juda farq qiladi. tomonidan konsey Ving kosmik raqamlar ko'p qirrali bo'lib, ushbu mualliflar bir qator geometrik aksiomalarni bir vaqtning o'zida ularni batafsil o'rganish zaruratisiz tasarruf etishadi. Ushbu analitik urinishlardan keskin farqli o'laroq, bizda Professor Veronese va Professor Xilbertning tadqiqotlari bor:
Evklid geometriyasi va undan tashqari analitik geometriya uchun tegishli asoslarni yaratish bizning muallifimizning maqsadi. Shunday qilib, uning tizimi kosmosni raqamlar manifoldu deb hisoblash mumkinligini yakuniy tan olish bilan o'z xulosasini topadi. Professor Xilbertning xotirasi alohida avansni belgilaydigan muhim jihatlar orasida men quyidagilarga alohida e'tibor qaratmoqchiman:
(1) muvofiqlik aksiomalarining introd uction va shunga asoslangan harakat ta'rifi; (2) * aksiomalarning o'zaro mustaqilligini tizimli tekshirish •bu mustaqillik o'zlari uchun qiziqarli bo'lgan yangi geometriyalar misollarini ishlab chiqarish orqali isbotlanmoqda; (3) emas printsipi taklifni eng sodda tarzda isbotlash, lekin isbotlash uchun qanday aksiomalar zarur va etarli ekanligini aniq ko'rsatib berish; (4) uzluksizlik aksiomasidan foydalanmasdan nisbatlar va maydonlar nazariyasi va umuman olganda, butun oddiy elementar geometriyani aksiomaga murojaat qilmasdan davolash mumkinligining isboti uzluksizligi; (5) segmentlar uchun turli algebralar (Streckenrechnungen), arifmetikaning asosiy tamoyillari munosabati bilan.
Endi biz alohida fikrlarni muhokama qilishga o'tamiz.
Birinchi bobda barcha aksiomalar beshta asosiy guruhga bo'lingan. I guruh, birikmaning aksiomalarini o'z ichiga olgan (Verkniipfung), ikkita tekislik aksiomasini o'z ichiga oladi, ya'ni: (I, 1) har qanday ikki xil nuqta A va B to'g'ri chiziqni aniqlang a; (I, 2) to'g'ri chiziqning har qanday ikki xil nuqtasi bu chiziqni aniqlaydi; va beshta kosmik aksiomalar (the) faqat butun tizimning kosmik aksiomalari), ya'ni: (I, 3) bir xil to'g'ri chiziqda bo'lmagan har qanday uchta nuqta tekislikni aniqlaydi; (I, 4) bir xil to'g'ri chiziqda emas, balki tekislikning istalgan uchta nuqtasi ushbu tekislikni aniqlang; (I, 5) agar ikkita nuqta bo'lsa to'g'ri chiziq tekislikda yotadi, chiziqning har bir nuqtasi shu tekislikda yotadi; (I, 6) agar ikkita tekislikda umumiy nuqta bo'lsa, ular kamida bitta umumiy nuqtaga ega; (I, 7) har qanday to'g'ri chiziqda kamida ikkita nuqta mavjud, ichida har qanday tekislik to'g'ri chiziqda emas, kamida uchta nuqta va kosmosda tekislikda emas, kamida to'rtta nuqta.
Tartib aksiomalarini (Anordnung) tashkil etuvchi 11-guruh to'g'ri chiziqdagi nuqtalar tartibi haqida to'rtta chiziqli aksiomani o'z ichiga oladi, masalan (11 , 3) to'g'ri chiziqdagi har qanday uchta nuqta orasida har doim bitta va faqat bittasi bor, bu qolgan ikkitasi o'rtasida joylashgan; va bitta samolyot aksiomasi, ya'ni: (11, 5) ruxsat bering A, B, C to'g'ri chiziqda emas, balki uchta nuqta bo'ling va A tekislikdagi to'g'ri chiziq ABC, nuqtalardan birortasini uchratmaslik A, B, C; keyin, agar chiziq bo'lsa a ichidagi nuqtadan o'tadi segment AB, u har doim segmentning bir nuqtasidan o'tadi BC, yoki segmentning bir nuqtasi orqali a C.
,
Ushbu aksiomalar to'g'ri chiziq cheksiz ko'p nuqtalarni o'z ichiga olganligini, tekislikni ikkita mintaqaga ajratishini, uning har qanday nuqtasi chiziqni ikkita yarim nurga bo'lishini ko'rsatish uchun etarli. Ko'pburchaklarni aniqlash mumkin bo'ladi va oddiy ko'pburchak tekislikni ikki mintaqaga ajratishini isbotlash mumkin. Burchakning quyidagi juda qulay ta'rifi bu erda o'z o'rnini topishi mumkin: burchak-bu tekislikda chiqadigan ikkita yarim nurlar tizimi a bir xil nuqtadan O va turli xil to'g'ri chiziqlarga tegishli. Burchakning ichki qismi har qanday ikkita ichki nuqtani birlashtirgan segmentni to'liq o'z ichiga olgan mintaqadir.
Evklidning parallellar aksiomasi (guruh kasal), uning kiritilishi poydevorlarni soddalashtiradi va geometriyani qurishni osonlashtiradi " shaklida berilgan: tekislikda a har doim nuqta orqali chizish mumkin A, to'g'ri chiziqda emas a, bitta va bitta to'g'ri chiziq bilan uchrashmaydi chiziq a.
To'rtinchi guruhda biz segmentlar va burchaklarning tengligi haqidagi aksiomalardan tashqari quyidagilarni topamiz: (IV, 6) agar ikkita uchburchak uchun ABC va A ' B ' C ' tengliklar
AB-A^PB', AC = A'C, BNC ' to'g'ri, keyin mosliklar
-4 ABC= 4 A'B'C va 4 ACB = A'CB'
bundan tashqari, mamnun. Shuni ta'kidlash kerakki, Professor Xilbertning ta'riflariga ko'ra, muvofiqlik va simmetriya dastlab farqlanmaydi.
Uyg'unlik aksiomalarining natijalari orasida diqqat barcha to'g'ri burchaklarning uyg'unligi uchun dalilga chaqirilishi mumkin, bu taklif Evklidda to'rtinchi postulat sifatida paydo bo'ladi. Hozirgacha aytib o'tilgan to'rtta aksioma guruhi fazoda, hatto Evklid bo'lmagan fazoda ham harakatni aniqlashga qanday xizmat qilishi aniq. Doira odatiy tarzda aniqlanadi.
V guruhini tashkil etuvchi Arximed aksiomasi (yoki uzluksizlik aksiomasi) barcha 8 chiziqli, 7 tekislik va 5 kosmik aksiomalarda mavjud bo'lgan tizimni to'ldiradi. Bu quyidagicha aytilgan: (V) ruxsat bering Al o'zboshimchalik bilan berilgan ikkita nuqta orasidagi to'g'ri chiziqning istalgan nuqtasi bo'ling a va B ; qurish. nuqtalar a 2, Aa, Ao shunday qilib Al o'rtasida yotadi A va -,42, 112 o'rtasida Al va A3va hokazo va bu segmentlar
hammasi teng; keyin 112, A3, a,, nuqtalar orasida har doim nuqta bo'ladi An shunday qilib B o'rtasida yotadi A va . Aksiomaning ushbu formulasi bizga segmentlarning tengligini umumiy proektsion o'lchov ma'nosida aniqlashga imkon beradigan bo'lsa-da, u oddiy ma'noda to'g'ri chiziqning uzluksizligini o'z ichiga olmaydi ; u faqat segmentlar algebrasi uchun zarur bo'lgan shartni taqdim etadi. Shu munosabat bilan uzluksizlik atamasini ishlatishdan butunlay qochish yaxshi bo'lar edi ; haqiqatan ham Arximed aksiomasi bizni uzluksizlik aksiomasini aniq kiritish zaruratidan xalos qilmaydi, shunchaki bunday aksiomani kiritishga imkon beradi. Shunday qilib, geometriyaning butun sohasi uchun Professor Xilbertning aksiomalar tizimi sumcient emas. Masalan, ushbu tizimdan aylana va to'g'ri chiziq umumiy ikkita nuqtaga yoki bitta nuqtaga yoki hech qanday nuqtaga ega emasligi kelib chiqsa-da, ba'zi nuqtalari ichida va ba'zilari bo'lgan to'g'ri chiziq geometrik ravishda qaror qabul qilish mumkin emas. doira tashqarisida aylana bilan uchrashadi ; boshqa tomondan so'zlar, doira yopiq figurami yoki yo'qmi, hal qilinmagan bo'lib qoladi. Bundan tashqari, masalan, to'g'ri burchakli uchburchakni umuman gipotenuzadan va bir tomondan qurish mumkin emasligi kelib chiqadi.
Yuqorida keltirilgan aksiomalar tizimi o'z-o'zidan izchilmi? Unda hech qanday bayonot yoki bayonotlar mavjud emasmi, ularning qo'llanilishi nihoyat aqlga sig'maydigan yoki o'ziga zid narsaga olib kelishi mumkinmi?
Geometriya aksiomalarning cheksiz takroriy qo'llanilishi bilan qurilganligi sababli, qarama-qarshilik faqat bunday dasturni cheksiz takrorlashdan keyin paydo bo'lishi mumkinligi istisno qilinmaydi. J. H. Lambert aksiomalarni son-sanoqsiz usullar bilan birlashtirilishi mumkin bo'lgan ko'plab tenglamalar bilan taqqoslaydi.
Professor Xilbert, izchillik masalasini hal qilish uchun, sanab o'tilgan raqamlar ansamblining domenini tasavvur qiladi va nuqtani domenning ikkita raqami bilan, to'g'ri chiziqni uchta raqam nisbati bilan ifodalaydi. Chiziqdagi nuqtalarning tartibi haqidagi ba'zi konventsiyalar yordamida va hokazo., tarjima va aylanish haqida shunday qilib, aksiomalarning barcha beshta guruhi ushlab turadigan geometriya aniqlanadi. Shunday qilib, savol geometriya sohasidan arifmetikaga o'tkaziladi ; geometriyadagi har qanday qarama-qarshilik raqamlarning tasavvur qilingan sohasi arifmetikasida paydo bo'lishi kerak. Ammo savol shunchaki uzatilganligi sababli, xuddi shu muammo arifmetika uchun ochiq bo'lib qoladi. Geometrik domenning o'zida qaror topish va uni kelajakdagi baxtli imkoniyatga qoldirmaslik maqsadga muvofiqdir. Aksiomalar orasida qarama-qarshiliklarning yo'qligi to'g'risida yakuniy qarorning ahamiyati ko'rinib turibdi ; bu ularning o'zaro mustaqilligi haqidagi savoldan ham yuqori.
Hozirgi xotirada muallif parallellarning aksiomasi, uchburchaklar uchun uyg'unlik aksiomasi va Arximed aksiomasi, har biri boshqa guruhlarning aksiomalaridan mustaqilligi haqida. Aksiomalarning o'zaro mustaqilligining butun mavzusini to'liq o'rganish Professor Xilbert tomonidan ma'ruzalar kursida berilgan Evklid geometriyasi 1898-99 yillarda Gyotkttingen universitetida, shu bilan bosma xotirani to'ldiradi. Har bir holatda isbotlash usuli izchil postulatlar tizimi mavjudligini ko'rsatishdan iborat bo'lib, ular yordamida muhokama qilinayotgan aksioma amal qilmaydigan geometriyani qurish mumkin.
Shunday qilib, birinchi guruhning boshqa barcha aksiomalarining aksiomasining (I, 5) mustaqilligini isbotlash uchun Professor Xilbert quyidagicha davom etadi. Yangi geometriyaning nuqtalari Evklid fazosining nuqtalari bo'lsin, bittasi bundan mustasno, O ; tekisliklar tekislik bo'lsin; va yangi geometriyada mavjud bo'lmagan O nuqtasi orqali doiralarni to'g'ri chiziqlar sifatida olaylik. Ushbu geometriya uchun birinchi guruhning barcha aksiomalari beshinchisidan tashqari. Shuni ta'kidlash kerakki, ushbu fikrlash usulida Evklid fazosining xususiyatlari faqat ma'lum arifmetik munosabatlar uchun qisqartirish yozuvlari sifatida ishlatiladi.
Aksiomalarning mustaqilligi uchun dalillar haqiqiy deb hisoblangan aksiomalar soni qanchalik ko'p bo'lsa, shuncha ko'p ishtirok etadi. Professor Xilbert o'z ma'ruzalarida ushbu savollarni, ayniqsa Evklid bo'lmagan geometriya, ushbu geometriyadagi muvofiqlik teoremalarining isboti va boshqalarni kengroq muhokama qilishga kirishadi.

Anjir. 1.
Samolyot geometriyasini yanada rivojlantirish uchun taniqli ikkita taklif muhim ahamiyatga ega; ushbu haqiqatni tan olish muhim avans sifatida qaralishi kerak. Muallif ushbu takliflarni qisqacha Paskal va Desargues takliflari sifatida bildiradi va ularni quyidagicha shakllantiradi :
Paskalning taklifi: ruxsat bering a, B, C va a', B', C navbati bilan kesishgan ikkita to'g'ri chiziqning har birida har qanday uchta nuqta bo'lsin, barchasi kesishish nuqtasidan farq qiladi; keyin, agar CB BC 'ga parallel va CA' C ' ga parallel, BA^Men AB ga parallel bo'laman.
Desargues taklifi: agar ikkita uchburchak tekislikda har qanday ikkita mos tomon parallel bo'ladigan tarzda joylashgan bo'lsa, unda mos keladigan tepaliklarning qo'shilishlari bir xil nuqtadan o'tadi yoki parallel bo'ladi.
t u Paskal taklifining isboti, tekislik geometriyasi teoremasi sifatida, Arximed printsipi yordamisiz (I, 1) (I, 2), Il, 111 va IV (muvofiqlik aksiomalari) aksiomalari yordamida olinadi. Professor Xilbert tomonidan ushbu taklif uchun berilgan ikkita dalil o'rtasidagi muhim farq shundaki, ikkinchi isbotda barcha muvofiqlik aksiomalari ishlatilmaydi, uchburchaklar uchun muvofiqlik aksiomasi teng yonli uchburchaklar uchun bitta bilan almashtiriladi.

By segmentlar algebrasini ishlab chiqish (Streckenrechnung) Paskalning taklifiga asoslanib, geometriya tizimini qurish uchun ushbu teoremaning haqiqiy importi juda aniq keltirilgan. Xuddi shu chiziqdagi ikkita segmentning yig'indisi odatiy tarzda aniqlanadi, mahsulot quyidagicha aniqlansin : to'g'ri burchakning bir tomonida tepalikdan yotadi o segment a, boshqa segmentlarda 1 va b; keyin chizish la va orqali b ga parallel la; ushbu parallel boshqa tomondan segmentni kesib tashlaydi c (dan hisoblanadi O) bu mahsulot sifatida belgilanadi
a segmentning b segmentiga kirishi.
Segmentlarning ushbu algebrasida kommutativ va assotsiativ qonunlar, albatta, summa uchun amal qiladi; lekin anjir. 2. ular, shuningdek, ushlab, va bu Paskal ning taklif ma'nosi, ko'paytirish uchun.
Va nihoyat, tarqatish qonuni, ab + ac, xuddi shunday ushlab turadi.
Bu algebra nisbatlar nazariyasi bilan qanchalik chambarchas bog'liqligi aniq. Proporsiyaga ruxsat bering

bu erda a, b, a', b' har qanday segmentlar bo'lib, segmentlar tenglamasiga teng deb ta'riflanadi

Agar shunga o'xshash uchburchaklar odatiy tarzda aniqlansa, professor Xilbert bilan segmentlar algebrasi asosida nisbatlar teoremasining umumiy asosliligini isbotlash oson va bundan keyin to'g'ri chiziq chiziqli tenglama bilan ifodalanganligini ko'rsatish mumkin.
Paskalning proportsiyalar nazariyasi haqidagi taklifidan foydalanish, albatta, muhim yutuq bo'lsa-da, ushbu taklif tomonidan qabul qilingan katta ahamiyatga ega bo'lgan tekislik figuralari sohalari nazariyasi uchun asos sifatida ko'rish hali ham ajablanarli.
Ikki ko'pburchak teng maydonga ega deyiladi (fl rkkkengleich) agar ularni juft bo'lib mos keladigan cheklangan sonli uchburchaklarga hal qilish mumkin bo'lsa. Ular teng tarkibga ega deyishadi (inhaltsgleich) ularga teng maydonli ko'pburchaklarni qo'shish mumkin bo'lganda, shuning uchun paydo bo'lgan yangi ko'pburchaklar teng maydonga ega bo'ladi. Ushbu ikkita ta'rif juda aniq, chunki tergov Arximed aksiomasining asosliligidan mustaqil ravishda olib borilishi kerak. Keyinchalik teng asosli va teng balandlikdagi to'rtburchaklar, parallelogrammalar va uchburchaklar teng tarkibga ega ekanligini isbotlash mumkin. Oxirgi taklifning teskarisi tomonidan hosil qilingan fundamental teorema, ya'ni. , agar teng tarkibli ikkita uchburchak teng asoslarga ega bo'lsa, ular teng balandliklarga ega bo'lishi kerak, bu g'oyani kiritishni talab qiladi maydon o'lchovi (Flpbukchenmass), bu uchburchak holatida asos va balandlikning ko'paytmasining yarmiga teng ; keyin teorema juda aniq isbotlangan, garchi biroz bo'lsa ham uzoq, mulohazalar. Bu natijalar bir nafis dastur nihoyat taklif paydo bo'lib (ilgari boshqa mualliflar tomonidan muhokama):
Agar to'rtburchakni to'g'ri chiziqlar yordamida bir qator uchburchaklarga kesib bo'lgach, ushbu uchburchaklardan birortasi chiqarib tashlansa, qolgan uchburchaklardan to'rtburchakni tuzish imkonsiz bo'ladi.
Desargues taklifiga kelsak, uni i guruhning barcha aksiomalari (shu jumladan kosmik aksiomalar) hamda 11 va Ill guruhlari yordamida osongina isbotlash mumkinligi ma'lum. Ushbu haqiqatni samolyotda Desargues taklifining mavjudligi, agar tekislik geometriyasi qattiq geometriyaning bir qismi yoki tekislik fazoning bir qismi bo'lishi kerak bo'lsa, zaruriy shart deb aytish mumkin. Kosmik aksiomalarni qoldirib, yuqorida nomlangan aksiomalar orasida qolganlar yordamida Desargues taklifini isbotlash mumkin emas. Darhaqiqat, Professor Xilbert shuni ko'rsatadiki, bu taklif hatto tekislik geometriyasida ham to'g'ri bo'lishi mumkin emas alt aksiomalari uchburchaklar uchun muvofiqlik aksiomasidan tashqari ushlab turing. Ushbu dalil katta qiziqish bilan o'qiladichunki u keyingi tekshiruvni taklif qiladigan bunday geometriyani qurishga olib keladi. Biroq, Hilbert tizimining aksiomalari Desargues taklifining haqiqati uchun zarur ekanligi isbotlangan deb hisoblanmasligi kerak ; uning mavjudligi parallellar aksiomasidan mustaqil bo'lishi mumkin emas.
Geometriya tizimidagi Desargues taklifining ahamiyati va uning Paskal taklifiga aloqasi unga asoslangan segmentlar algebrasidan aniq ko'rinadi. Bu. algebra, unda konstruktsiyalar yuqorida aytib o'tilgan algebradan farq qilmaydi, bundan tashqari ixtiyoriy burchak to'g'ri burchak o'rnini egallaydi, assotsiativ va komutativ qonunlar qo'shish uchun ushlab turiladi ; ko'paytirish uchun assotsiativ va taqsimot qonunlari to'g'ri, ammo komutativ qonun emas.
To'g'ri chiziq tenglamasi quyidagi shaklda topilgan

a, b, C berilgan tizimning segmentlari bo'lib, y Co yokiinatlar ; mahsulotlarda bolta va harflar tartibi bo'yicha muhim ahamiyatga ega. Endi analitik ravishda barcha aksiomalar mavjud bo'lgan qattiq geometriya mumkinligini ko'rsatish mumkin men kasal ushlab turing. Bundan kelib chiqadiki, i guruhning tekislik aksiomalari va Il va Ill guruhlari aksiomalari taxmin qilinmoqda, Desargues taklifining mavjudligi tekislik geometriyasi ushbu aksiomalarga asoslangan qattiq geometriyaning bir qismi bo'lgan zarur va etarli shartdir.
Desargues-ning Paskal taklifi bilan munosabatlarini yanada o'rganish uchun biz desargues teoremasi asosida segmentlar algebrasi yordamida quyidagicha harakat qilishimiz mumkin.
Keling, ixtiyoriy burchakning bir tomonini segmentlarni olaylik