Aksioma aksioma

Chegaralangan operatorlar[tahrir]
The uzluksiz chiziqli operatorlar a: H _{1vakzal H 2 Hilbert fazosidan} H 1 ikkinchi Hilbert fazosigacha H ₂ chegaralangan to'plamlarni chegaralangan to'plamlarga xaritalash ma'nosida chegaralangan. Aksincha, agar operator chegaralangan bo'lsa, u uzluksiz bo'ladi. Bunday chegaralangan chiziqli operatorlarning maydoni a ga ega norma, tomonidan berilgan operator normasi
{\displaystyle \lVert A\rVert =\sup \left\{\,\lVert Ax\rVert :\lVert x\rVert \leq 1\,\right\}\,.}

Ikki chegaralangan chiziqli operatorlarning yig'indisi va kompozitsiyasi yana chegaralangan va chiziqli. Uchun y yilda H ₂, yuboradigan xarita xbassal H ₁ gabassal bolta, ybassal chiziqli va uzluksiz va Riesz vakillik teoremasiga ko'ra shuning uchun shaklda ifodalanishi mumkin
{\displaystyle \left\langle x,A^{*}y\right\rangle =\langle Ax,y\rangle }

H 1 dagi a*y vektor uchun. Bu boshqa chegaralangan chiziqli operatorni belgilaydi A* : H 2bassas H ₁, ning qo'shimchasi A. qo'shni qondiradi a** = A. qachon Riesz vakillik teoremasi har bir Hilbert fazosini uzluksiz dual fazosi bilan aniqlash uchun ishlatiladi, a ning qo'shilishi transpozitsiya bilan bir xil ekanligini ko'rsatish mumkin t A : H ₂ * a ning h ₁ * ta'rifi {\displaystyle \psi \in H_{2}^{*}} bilan funktsional {\displaystyle \psi \circ A\in H_{1}^{*}.}
To'plam B (H) barcha chegaralangan chiziqli operatorlarning H (operatorlarni anglatadi Hbumumiy H) bilan birga qo'shish va tarkibi operatsiyalar, norma va qo'shma operatsiya, A C*-algebra, bu operator algebrasining bir turi.
B(H) ning a elementi 'o'z-o'ziga qo'shilgan' yoki 'Hermitian' deb ataladi, Agar A* = A. Agar A Hermitian va ax bo'lsa, x x har bir X uchun 0, u holda A' noegativ ' deb ataladi, yozilgan A X = 0, keyin a deyiladi 'ijobiy'. Majmuini o'z-o'zini adjoint operatorlari admits bir qisman maqsadida, qaysi Bir ≥ B bo'lsa, A − B ≥ 0. Agar a shaklga ega B * b ba'zilari uchun b, keyin A salbiy emas; Agar B teskari, keyin a ijobiy. Aksincha, manfiy bo'lmagan operator uchun ham to'g'ri keladi a, noyob salbiy bo'lmagan kvadrat ildiz mavjud B shunday qilib
{\displaystyle A=B^{2}=B^{*}B\,.}

Tomonidan aniq ma'noda spektral teorema, o'z-o'zidan bog'langan operatorlarni "haqiqiy"operatorlar deb hisoblash mumkin. B(H) ning a elementi normal deyiladi, agar a*A = AA*bo'lsa. Oddiy operatorlar o'z-o'zidan qo'shni operator va o'z-o'zidan qo'shni operatorning xayoliy ko'paytmasi yig'indisiga aylanadi
{\displaystyle A={\frac {A+A^{*}}{2}}+i{\frac {A-A^{*}}{2i}}}

bu bir-biri bilan borib. Oddiy operatorlarni haqiqiy va xayoliy qismlari jihatidan ham foydali deb hisoblash mumkin.
Element U ning B (H) deyiladi unitar agar U teskari va uning teskari tomonidan berilgan U*. Bu mumkin ham bo'lishi bildirdi tomonidan talab deb U bo'lishi ustiga va ⟨Ux, Uy⟩ = ⟨x, y⟩ uchun barcha x, y ∈ H. Bu unitar korxonasi operatorlari shaklida bir guruh ostida tarkibi bo'lgan isometry guruh tomonidan H.
Ning elementi B (H) bu ixcham agar u cheklangan to'plamlarni nisbatan ixcham to'plamlarga yuborsa. Bunga teng ravishda chegaralangan operator t ixcham agar har qanday chegaralangan ketma-ketlik uchun {x _k}, ketma-ketlik {Tx _k} yaqinlashuvchi ketma-ketlikka ega bo'lsa. Ko'pgina integral operatorlar ixchamdir va aslida operatorlarning maxsus sinfini aniqlaydi Hilbert–Shmidt operatorlari integral tenglamalarni o'rganishda ayniqsa muhimdir. Fredxolm operatorlari ixcham operatordan identifikatsiyaning ko'pligi bilan farq qiladi va teng ravishda cheklangan o'lchovli yadroga ega operatorlar sifatida tavsiflanadi vakokernel. Fredxolm operatorining indeksi T tomonidan belgilanadi
{\displaystyle \operatorname {index} T=\dim \ker T-\dim \operatorname {coker} T\,.}

Indeks homotopiya o'zgarmas va chuqur rol o'ynaydi differentsial geometriya orqali Atiya-Singer indeks teoremasi.