Aksioma aksioma

Tensor mahsulotlari[tahrir]
Asosiy maqola: Hilbert bo'shliqlarining Tensor mahsuloti
Agar x ₁, y _{1bassasalar h 1} va x ₂, y _{2bassasalar H 2}, keyin (oddiy) tensor mahsulotidagi ichki mahsulotni quyidagicha belgilaydi. Oddiy tensorlarda ruxsat bering
{\displaystyle \langle x_{1}\otimes x_{2},\,y_{1}\otimes y_{2}\rangle =\langle x_{1},y_{1}\rangle \,\langle x_{2},y_{2}\rangle \,.}

Keyin bu formula sesquilinearity tomonidan ichki mahsulotga qadar cho'ziladi H 1bassasaviy H ₂. The Hilbertian tensor mahsuloti ning H ₁ va H ₂, ba'zan tomonidan belgilanadi _H {\displaystyle {\widehat {\otimes }}}  ₁ H 2_{, bo'ladi Hilbert maydoni to'ldirish orqali olingan} H 1berts H 2 ushbu ichki mahsulot bilan bog'liq metrik uchun.^[65]
Misol Hilbert maydoni tomonidan taqdim etilgan L ² ([0, 1]). The Hilbertian tensor mahsuloti ning ikki nusxasi L ²([0, 1]) bu izometrik va chiziqli izomorfik kosmosga L ²([0, 1]²) ning kvadrat bilan integral funktsiyalar maydonda [0, 1]². Ushbu izomorfizm oddiy tensorni yuboradi f 1bundan tashqari f ₂ funktsiyaga
{\displaystyle (s,t)\mapsto f_{1}(s)\,f_{2}(t)}

maydonda.
Bu misol quyidagi ma'noda xosdir.^[66] har bir oddiy tensor mahsuloti bilan bog'liq x 1bunday qilib _x 2^{dan birinchi darajali operator hisoblanadi hbunday qilib.}
₁ uchun H₂ , deb xaritalar berilgan x* ∈ H^∗
₁ sifatida
{\displaystyle x^{*}\mapsto x^{*}(x_{1})x_{2}\,.}

Bu xaritalash bo'yicha belgilangan oddiy tensors cho'zilgan uchun bir chiziqli identifikatsiya o'rtasidagi H₁ ⊗ H₂ va oraliq cheklangan unvoni aloqa operatorlari dan H^∗
₁ H _{uchun 2}. Bu Hilbertian tensor mahsulotining chiziqli izometriyasiga to'g'ri keladi H ₁ {\displaystyle {\widehat {\otimes }}}  H ₂ Hilbert maydoni bilan HS (H^).
₁, H ₂) Hilbert-Shmidt operatorlarining h^dan.
₁ H _{uchun 2}.
Ortonormal asoslar[tahrir]
Ortonormal asos tushunchasi chiziqli algebra holatiga qadar umumlashtiradi Hilbert bo'shliqlari.^[67] Hilbert fazosida H, ortonormal asos-bu oila {e _k}_{KBB ning elementlari} h shartlarni qondirish:
Orthogonality: Har ikki xil elementlar B bor orthogonal: ⟨e_k, e_j⟩ = 0 uchun barcha k, j ∈ B bilan k ≠ j.
Normalizatsiya: oilaning har bir elementi barcha k b uchun 1: _||e k|| = 1 normasiga ega.
To'liqlik: oilaning chiziqli oralig'i e _k, k, b, zich H.
Dastlabki ikkita shart asosini qondiradigan vektorlar tizimi deyiladi ortonormal tizim yoki an ortonormal to'plam (yoki an ortonormal ketma-ketlik Agar B hisoblanadigan). Bunday tizim har doim chiziqli mustaqildir.
Nomiga qaramay, ortonormal asos, umuman olganda, chiziqli algebra ma'nosida asos emas (Hamel asosi). Aniqrog'i, ortonormal asos A Hamel asosi Agar va faqat Hilbert fazosi cheklangan o'lchovli vektor fazosi bo'lsa.
Hilbert fazosi vektorlarining ortonormal tizimining to'liqligi teng ravishda qayta tiklanishi mumkin:
har v ∈ H, agar ⟨v, e_k⟩ = 0 uchun barcha k ∈ B, keyin v = 0.
Bu zich chiziqli subspace uchun yagona ortogonal vektor nol vektor ekanligi bilan bog'liq, agar bo'lsa S har qanday ortonormal to'plam va v ortogonal ga S, keyin v ning chiziqli oralig'ining yopilishiga ortogonal hisoblanadi S, bu butun bo'shliq.
Ortonormal asoslarga misollar:
majmui {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} ortonormal asos hosil qiladi R ³ nuqta mahsuloti bilan;
ketma-ketlik {f _n: n J. z} bilan f _n(x) = exp(2 J. J. inx) murakkab fazoning ortonormal asosini tashkil qiladi L ²([0, 1]);
Cheksiz o'lchovli holatda ortonormal asos chiziqli algebra ma'nosida asos bo'lmaydi; ikkalasini ajratish uchun oxirgi asos ham Hamel asosi deb ataladi. Bu oraliq ning asosiy vektorlar bu zich kosmosdagi har bir vektorni cheksiz qator yig'indisi sifatida yozish mumkinligini anglatadi va ortogonallik bu parchalanish noyob ekanligini anglatadi.