Aksioma aksioma

Bessel tengsizligi va Parseval formulasi[tahrir]
Ruxsat bering f ₁,..., f _n cheklangan ortonormal tizim bo'ling H. ixtiyoriy vektor uchun x va h, ruxsat bering
{\displaystyle y=\sum _{j=1}^{n}\langle x,f_{j}\rangle \,f_{j}\,.}

Bundan kelib chiqadiki, x − y har bir f _k ga ortogonaldir, shuning uchun x _{− y} y ga ortogonaldir. Pifagor ayniyatidan ikki marta foydalanib, quyidagicha bo'ladi:
{\displaystyle \|x\|^{2}=\|x-y\|^{2}+\|y\|^{2}\geq \|y\|^{2}=\sum _{j=1}^{n}{\bigl |}\langle x,f_{j}\rangle {\bigr |}^{2}\,.}

Ruxsat bering {f _i}, menbassasaviy men, ixtiyoriy ortonormal tizim bo'ling H. oldingi tengsizlikni har bir cheklangan kichik to'plamga qo'llash J ning men Besselning tengsizligini beradi: ^[68]
{\displaystyle \sum _{i\in I}{\bigl |}\langle x,f_{i}\rangle {\bigr |}^{2}\leq \|x\|^{2},\quad x\in H}

(manfiy bo'lmagan haqiqiy sonlarning ixtiyoriy oilasi yig'indisining ta'rifiga ko'ra).
Geometrik jihatdan Besselning tengsizligi shuni anglatadiki ortogonal proektsiya ning x chiziqli ustiga subspace tomonidan yoyilgan f _men normadan oshmaydigan normaga ega x. ikki o'lchovda bu to'g'ri burchakli uchburchakning oyoq uzunligi gipotenuza uzunligidan oshmasligi mumkin degan tasdiq.
Besselning tengsizligi Parsevalning identifikatori deb nomlangan kuchli natijaga qadam bo'lib, Besselning tengsizligi aslida tenglik bo'lgan holatni boshqaradi. Ta'rifga ko'ra, agar {e _k}_{KBB ning ortonormal asosi} H, keyin har bir element x ning H sifatida yozilishi mumkin
{\displaystyle x=\sum _{k\in B}\left\langle x,e_{k}\right\rangle \,e_{k}\,.}

Hatto Agar B hisoblab bo'lmaydigan, Besselning tengsizligi bu ifodaning aniq belgilanganligini va faqat juda ko'p nolga teng bo'lmagan atamalardan iboratligini kafolatlaydi. Ushbu summa Furye kengayishi ning x, va individual koeffitsientlarkuchli x, e kkuchli koeffitsientlar ning Furye koeffitsientlari x. keyin Parseval identifikatori buni tasdiqlaydi
{\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{k\in B}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}\,.}

Aksincha, agar {e _k} bu ortonormal to'plam shunday qilib Parseval identifikatori har biri uchun ushlab turadi x, keyin {e _k} ortonormal asosdir.