Aksioma aksioma

Kuchsiz yaqinlashuvchi ketma-ketliklar[tahrir]
Asosiy maqola: zaif konvergentsiya (Hilbert maydoni)
Hilbert fazosida H, ketma-ketlik {x _n} vektorga kuchsiz yaqinlashuvchi bo'ladi x qanday h qachon
{\displaystyle \lim _{n}\langle x_{n},v\rangle =\langle x,v\rangle }

har bir v uchunvaxususiy H.
Masalan, har qanday ortonormal ketma-ketlik {f _n} Bessel tengsizligi natijasida kuchsiz ravishda 0 ga yaqinlashadi. Har bir kuchsiz yaqinlashuvchi ketma-ketlik {x _n} bilan chegaralangan yagona chegara printsipi.
Aksincha, Hilbert fazosidagi har bir chegaralangan ketma-ketlik kuchsiz yaqinlashuvchi tadrijlarni tan oladi (Alaoglu teoremasi).^[57] ushbu fakt Bolzano–Veyerstrass teoremasi uzluksiz funktsiyalar uchun ishlatilganidek, uzluksiz qavariq funktsiyalar ^{uchun minimallashtirish natijalarini isbotlash uchun ishlatilishi mumkin}. Bir nechta variantlar orasida bitta oddiy bayonot quyidagicha:^[58]
Agar f : H → R bir convex uzluksiz funktsiyasi shunday f(x) istagi uchun +∞men qachon ||x|| istagi uchun ∞men, keyin f admits kamida bir nuqtada x₀ ∈ H.
Bu haqiqat (va uning turli xil umumlashmalari) o'zgarishlarni hisoblashda to'g'ridan-to'g'ri usullar uchun asosdir. Qavariq funktsionallar uchun minimallashtirish natijalari, shuningdek, Hilbert fazosidagi yopiq chegaralangan qavariq pastki to'plamlar biroz mavhumroq haqiqatning bevosita natijasidir. H zaif ixcham, chunki H refleksivdir. Zaif konvergent tadrijlarning mavjudligi bu alohida holat Eberlein-Gugurtmulian teoremasi.
Banach kosmik xususiyatlari[tahrir]
Banach bo'shliqlarining har qanday umumiy xususiyati Hilbert bo'shliqlarini ushlab turishda davom etmoqda. The ochiq xaritalash teoremasi uzluksiz ekanligini ta'kidlaydi surektiv chiziqli transformatsiya biridan Banach maydoni boshqasiga an ochiq xaritalash bu ochiq to'plamlarni ochiq to'plamlarga yuborishini anglatadi. Xulosa-bu chegaralangan teskari teorema, bu uzluksiz va ikki tomonlama chiziqli funktsiya biridan Banach maydoni boshqasiga an izomorfizm (ya'ni teskari tomoni ham doimiy bo'lgan doimiy chiziqli xarita). Ushbu teoremani isbotlash uchun ancha sodda Hilbert bo'shliqlari umumiy Banach bo'shliqlariga qaraganda.^[59] ochiq xaritalash teoremasi ga teng yopiq grafik teoremasi, bu bitta Banach fazosidan boshqasiga chiziqli funktsiya uzluksiz ekanligini tasdiqlaydi, agar uning grafigi yopiq to'plam bo'lsa.^[60] Hilbert bo'shliqlari holatida, bu o'rganishda asosiy hisoblanadi chegaralanmagan operatorlar (qarang yopiq operator).
(Geometrik) Xan–Banax teoremasi yopiq qavariq to'plamni uning tashqarisidagi har qanday nuqtadan A yordamida ajratish mumkinligini ta'kidlaydi giperplane ning Hilbert maydoni. Bu eng yaxshi yaqinlashish xususiyatining bevosita natijasidir: agar y yopiq qavariq to'plamning elementi F ga eng yaqin x, keyin ajratuvchi giperplane xy segmentga perpendikulyar bo'lgan tekislik bo'lib, uning o'rta nuqtasidan o'tadi.^[61]
Hilbert bo'shliqlaridagi operatorlar[tahrir]