Aksioma aksioma

Parallelogramm identifikatsiyasi va qutblanish[tahrir]

Geometrik jihatdan parallelogramm ayniyati AC ^{2 + BD 2 = 2(AB 2 + AD 2) ekanligini tasdiqlaydi}. So'z bilan aytganda, diagonallar kvadratlarining yig'indisi har qanday ikkita qo'shni tomonning kvadratlarining yig'indisidan ikki baravar ko'pdir.
Ta'rifga ko'ra, har bir Hilbert maydoni ham Banach makonidir. Bundan tashqari, har bir Hilbert fazosida quyidagi parallelogramma identifikatori mavjud:
{\displaystyle \left\|u+v\right\|^{2}+\left\|u-v\right\|^{2}=2\left(\left\|u\right\|^{2}+\left\|v\right\|^{2}\right)\,.}

Aksincha, parallelogramma identifikatori bo'lgan har bir Banach maydoni Hilbert maydoni va ichki mahsulot qutblanish identifikatori tomonidan norma bilan aniqlanadi.^[50] haqiqiy Hilbert bo'shliqlari uchun polarizatsiya identifikatori
{\displaystyle \langle u,v\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\left\|u+v\right\|^{2}-\left\|u-v\right\|^{2}\right)\,.}

Murakkab Hilbert bo'shliqlari uchun bu
{\displaystyle \langle u,v\rangle ={\tfrac {1}{4}}\left(\left\|u+v\right\|^{2}-\left\|u-v\right\|^{2}+i\left\|u+iv\right\|^{2}-i\left\|u-iv\right\|^{2}\right)\,.}

Parallelogramma qonuni har qanday Hilbert fazosi bir xil qavariq Banax fazosi ekanligini anglatadi.^[51]
Eng yaxshi taxmin[tahrir]
Ushbu kichik bo'limda Hilbert proektsiyasi teoremasi. Agar C Hilbert fazosining bo'sh bo'lmagan yopiq konveks to'plami H va x nuqta H, noyob nuqta mavjud ybaxsiy V orasidagi masofani minimallashtiradigan x va nuqtalar C, ^[52]
{\displaystyle y\in C\,,\quad \|x-y\|=\operatorname {dist} (x,C)=\min\{\|x-z\|:z\in C\}\,.}

Bu tarjima qilingan qavariq to'plamda minimal me'yorga ega nuqta bor deb aytishga tengdir D = C − x. isbot har bir minimallashtiruvchi ketma-ketlikni ko'rsatishdan iborat (d _n) talabnoma d bu Koshi (parallelogramm identifikatoridan foydalangan holda) shuning uchun nuqtaga yaqinlashadi (to'liqlikdan foydalangan holda) D. ga ega minimal norma. Umuman olganda, bu har qanday bir xil qavariq Banach maydonida saqlanadi.^[53]
Ushbu natija yopiq subspace uchun qo'llanilganda F ning H, bu nuqta ekanligini ko'rsatish mumkin ybumumiy f ga eng yaqin x bilan tavsiflanadi^[54]
{\displaystyle y\in F\,,\quad x-y\perp F\,.}

Bu nuqta y bo'ladi ortogonal proektsiya ning x ustiga F va xaritalash P _F: xbassal y chiziqli (qarang ortogonal qo'shimchalar va proektsiyalar). Ushbu natija ayniqsa muhimdir amaliy matematika, ayniqsa raqamli tahlil, bu erda u asosini tashkil qiladi eng kichik kvadratchalar usullari.^[55]
Xususan, qachon F ga teng emas H, nolga teng bo'lmagan vektorni topish mumkin v ortogonal ga F (tanlang xbassasaviy f va v = x − y). Ushbu kuzatuvni yopiq subspace-ga qo'llash orqali juda foydali mezon olinadi F pastki to'plam tomonidan hosil qilingan S ning H.
Pastki to'plam S ning H agar (va faqat agar) vektor 0 yagona vektor bo'lsa, zich vektor subspace ni qamrab oladi vvbunday qilib H ga ortogonal S.
Ikkilik[tahrir]
Ikki tomonlama bo'shliq H* bu bo'shliqdan barcha uzluksiz chiziqli funktsiyalarning maydoni H ichiga tayanch maydoni. U tomonidan belgilangan tabiiy normaga ega
{\displaystyle \|\varphi \|=\sup _{\|x\|=1,x\in H}|\varphi (x)|\,.}

Ushbu norma parallelogramma qonunini qondiradi va shuning uchun ikki tomonlama bo'shliq ham ichki mahsulot maydoni bu erda ushbu ichki mahsulotni ushbu ikki tomonlama me'yor nuqtai nazaridan aniqlash mumkin polarizatsiya identifikatori. Ikkala bo'shliq ham to'liq, shuning uchun u A Hilbert maydoni o'z-o'zidan. Agar e _* = (e _men) _{menbunday qilib men} uchun to'liq ortonormal asosdir H keyin har qanday ikkitasining ikki tomonlama makonidagi ichki mahsulot{\displaystyle f,g\in H^{*}}
{\displaystyle \langle f,g\rangle _{H^{*}}=\sum _{i\in I}f(e_{i}){\overline {g(e_{i})}}}

bu erda ushbu seriyadagi ko'plab atamalardan tashqari barchasi nolga teng.
Riesz vakillik teoremasi ikki tomonlama makonning qulay tavsifini beradi. Har bir element uchun u ning H, tomonidan belgilangan noyob element mavjud _u ning h*
{\displaystyle \varphi _{u}(x)=\langle x,u\rangle }

bu erda, {\displaystyle \left\|\varphi _{u}\right\|=\left\|u\right\|.}
The Riesz vakillik teoremasi dan xarita ekanligini ta'kidlaydi h ga H * tomonidan belgilangan UB? KBB u _surjektiv, bu xaritani an qiladi izometrik antilinear izomorfizm.^[56] shunday qilib, ikkitomonlama h * ning har bir elementi uchun bitta va bitta mavjud u _ichida h shunday
{\displaystyle \langle x,u_{\varphi }\rangle =\varphi (x)}

barcha x uchunbunday H. ikki tomonlama bo'shliqdagi ichki mahsulot H * qondiradi
{\displaystyle \langle \varphi ,\psi \rangle =\langle u_{\psi },u_{\varphi }\rangle \,.}

O'ng tarafdagi tartibning o'zgarishi, u ning antilinearligidan kelib chiqqan holda, u ning o'ng tomonida chiziqlilikni tiklaydi_. Haqiqiy holatda antilinear izomorfizm dan H uning ikkilanishiga aslida izomorfizm va shuning uchun haqiqiy Hilbert bo'shliqlari tabiiy ravishda o'z duallariga izomorfdir.
U _{ifodalovchi vektor} ubaqiruvchi vektor quyidagi tarzda olinadi. Qachon φ ≠ 0, bu kernel F = Ker(φ) a yopiq vektor subspace o'zbekiston Hemas, balki teng H, shuning uchun u erda mavjud bir nonzero vektor v orthogonal uchun F. Bu vektor u bir mos scalar bir necha λv hamda v. Talab deb φ(v) = ⟨v, u⟩ hosil
{\displaystyle u=\langle v,v\rangle ^{-1}\,{\overline {\varphi (v)}}\,v\,.}

Ushbu yozishmalarbolalarbolalar tomonidan ekspluatatsiya qilinadi bra–ket yozuvlari fizikada mashhur. Fizikada ichki mahsulot deb taxmin qilish odatiy holdir, bu bilan belgilanadi. x / ybumumiy, o'ng tomonda chiziqli,
{\displaystyle \langle x|y\rangle =\langle y,x\rangle \,.}

Natija ⟨x|y⟩ bo'lishi mumkin ko'rgan kabi harakatlar chiziqli funktsional ⟨x| (bu bra) bo'yicha vektor |y⟩ (shu ket).
Riesz vakillik teoremasi nafaqat ichki mahsulot mavjudligiga, balki makonning to'liqligiga ham asoslanadi. Aslida, teorema har qanday ichki mahsulot makonining topologik Dualini uning tugashi bilan aniqlash mumkinligini anglatadi. Riesz vakillik teoremasining bevosita natijasi, shuningdek, Hilbert maydoni H refleksiv, ya'ni tabiiy xarita H uning ikki tomonlama makoniga izomorfizm.