Aksioma aksioma

Ergodik nazariya[tahrir]

Bunimovich stadionidagi bilyard to'pining yo'li ergodik dinamik tizim bilan tasvirlangan.
Sohasi ergodik nazariya xaotik dinamik tizimlarning uzoq muddatli xatti-harakatlarini o'rganishdir. Ergodik nazariya qo'llaniladigan maydonning protipik holati termodinamika, unda-tizimning mikroskopik holati nihoyatda murakkab bo'lsa ham (materiya zarralari orasidagi individual to'qnashuvlar ansamblini tushunish mumkin emas)—etarlicha uzoq vaqt oralig'ida o'rtacha xatti-harakatlar traktable. Termodinamika qonunlari bunday o'rtacha xatti-harakatlar haqidagi tasdiqlardir. Xususan, ning bitta formulasitermodinamikaning nolinchi qonuni shuni ko'rsatadiki, etarlicha uzoq vaqt oralig'ida termodinamik tizimni muvozanatda qilish mumkin bo'lgan yagona funktsional mustaqil o'lchov bu uning umumiy energiyasi, shaklida harorat.
Ergodik dinamik tizim—bu Hamiltonian tomonidan o'lchanadigan energiyadan tashqari, faza fazosida boshqa funktsional mustaqil konservalangan miqdorlar mavjud emas. Aniqroq aytganda, energiya deb taxmin qiling E sobit va ruxsat Beringkuchli _E energiyaning barcha holatlaridan iborat faza fazosining kichik to'plami bo'ling E (energiya yuzasi) va ruxsat bering T _t faza fazosidagi evolyutsiya operatorini belgilang. Dinamik tizim ergodikdir, Agar doimiy doimiy bo'lmagan funktsiyalar mavjud bo'lmasa, shunday qilib _E
{\displaystyle f(T_{t}w)=f(w)}

Liovil teoremasi energiya yuzasida _vaqt tarjimasi ostida o'zgarmas bo'lgan o'lchov mavjudligini anglatadi. Natijada, vaqt tarjimasi bir unitar korxonasi o'zgartirish hamda Hilbert oraliq L²(Ω_E, μ) iborat, kvadrat-integrable vazifalari bo'yicha energiya yuzasi Ω_E hurmat bilan ichki mahsulot
{\displaystyle \left\langle f,g\right\rangle _{L^{2}\left(\Omega _{E},\mu \right)}=\int _{E}f{\bar {g}}\,\mathrm {d} \mu \,.}

Fon Neyman o'rtacha ergodik teorema^[20] quyidagilarni bildiradi:
Agar U _t Hilbert fazosidagi unitar operatorlarning (kuchli uzluksiz) bir parametrli yarim guruhidir H, va P ning umumiy sobit nuqtalari fazosiga ortogonal proektsiyadir U _t, {x x / u _t x = x, x = x, x > 0}, keyin
{\displaystyle Px=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}U_{t}x\,\mathrm {d} t\,.}

Uchun bir ergodic tizimi, asosiy vositalar majmui vaqt evolyutsiya iborat, faqat doimiy vazifalari, bas, ergodic theorem demakdir quyidagi:^[35] uchun har qanday funktsiya f ∈ L²(Ω_E, μ),
{\displaystyle {\underset {T\to \infty }{L^{2}-\lim }}{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(T_{t}w)\,\mathrm {d} t=\int _{\Omega _{E}}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y)\,.}

Ya'ni, kuzatiladigan f ning uzoq vaqt o'rtacha qiymati uning energiya yuzasida kutish qiymatiga teng.