Aksioma aksioma

Hilbert o'lchami[tahrir]
Natijada Zorn lemmasi, har bir Hilbert fazosi ortonormal asosni tan oladi; bundan tashqari, bir xil fazoning har qanday ikkita ortonormal asoslari bir xil kardinallikka ega Hilbert o'lchovi kosmosning.^[69] masalan, beri l ²(B) tomonidan indekslangan ortonormal asosga ega B, uning Hilbert o'lchovi kardinallik ning B (bu cheklangan butun son yoki hisoblanadigan yoki hisoblanmaydigan bo'lishi mumkin kardinal raqam).
Hilbert o'lchovi Hamel o'lchovidan katta emas (vektor makonining odatiy o'lchovi). Ikki o'lchov tengdir, agar bittasi cheklangan bo'lsa.
Sifatida natijasida Parseval ning kimligini, agar {e_k}_k ∈ B bo'lsa, bir orthonormal asosida H, keyin xaritasi Φ : H → l²(B) orqali belgilanadi Φ(x) = ⟨x, e_k⟩_k∈B bo'lsa, bir isometric isomorphism hamda Hilbert joylar: u bir bijective chiziqli xaritalash bunday deb
{\displaystyle {\bigl \langle }\Phi (x),\Phi (y){\bigr \rangle }_{l^{2}(B)}=\left\langle x,y\right\rangle _{H}}

barcha uchun x, yvakuchli H. ning asosiy soni b ning Hilbert o'lchovidir H. shunday qilib, har bir Hilbert maydoni ketma-ketlik maydoniga izometrik izomorfdir l ² (B) ba'zi bir to'plam uchun B.
Ajratiladigan joylar[tahrir]
Ta'rifga ko'ra, Hilbert maydoni ajratiladigan agar u zich hisoblanadigan kichik to'plamni o'z ichiga olsa. Bilan birga Zorn lemmasi, bu Hilbert makonini ajratib turadigan degan ma'noni anglatadi va agar u hisoblanadigan ortonormal asosni tan olsa. Shuning uchun barcha cheksiz o'lchovli ajratiladigan Hilbert bo'shliqlari izometrik izomorfdir l ².
Ilgari, Hilbert bo'shliqlari ko'pincha ta'rifning bir qismi sifatida ajratilishi talab qilingan.^[70]
Kvant maydon nazariyasida[tahrir]
Fizikada ishlatiladigan bo'shliqlarning aksariyati ajralib turadigan va bularning barchasi bir-biriga izomorfik bo'lganligi sababli, ko'pincha har qanday cheksiz o'lchovli ajratiladigan Hilbert fazosini "Hilbert fazosi" yoki shunchaki "Hilbert fazosi"deb atashadi.^[71] hatto kvant maydon nazariyasida ham Hilbert bo'shliqlarining aksariyati aslida vaytman aksiomalarida nazarda tutilganidek ajralib turadi. Biroq, ba'zida ajratilmaydigan deb ta'kidlashadi Hilbert bo'shliqlari kvant maydon nazariyasida ham muhim ahamiyatga ega, chunki nazariyadagi tizimlar cheksiz ko'p erkinlik darajalariga va har qanday cheksizga egaHilbert tensor mahsuloti (ning o'lchamlari birdan katta) ajratilmaydi.^[72] masalan, bosonik maydonni tabiiy ravishda a elementi deb hisoblash mumkin tensor mahsuloti kimning omillar ifodalaydi Harmonik osilatorlar fazoning har bir nuqtasida. Shu nuqtai nazardan, bozonning tabiiy holat maydoni ajratilmaydigan makon bo'lib tuyulishi mumkin.^[72] biroq, bu jismoniy mazmunli maydonlarni o'z ichiga olishi mumkin bo'lgan to'liq tensor mahsulotining faqat kichik ajratiladigan subspace (kuzatiladigan joylarni aniqlash mumkin). Ajratilmaydigan yana bir Xilbert fazosi fazoning chegaralanmagan mintaqasidagi zarrachalarning cheksiz to'plami holatini modellashtiradi. Kosmosning ortonormal asosi zarrachalarning zichligi, doimiy parametr bilan indekslanadi va mumkin bo'lgan zichlik to'plami hisoblab bo'lmaydigan bo'lgani uchun asos hisoblanmaydi.^[72]
Ortogonal qo'shimchalar va proektsiyalar[tahrir]
Asosiy maqola: ortogonal to'ldiruvchi
Agar S A ning pastki to'plamidir Hilbert maydoni H, ortogonal vektorlar to'plami S tomonidan belgilanadi
{\displaystyle S^{\perp }=\left\{x\in H:\langle x,s\rangle =0\ {\text{ for all }}s\in S\right\}\,.}

To'plam sbunday qilib, a yopiq ^subspace ning H (ichki mahsulotning chiziqliligi va uzluksizligi yordamida osongina isbotlanishi mumkin) va shuning uchun o'zini Hilbert maydoni hosil qiladi. Agar V ning yopiq subspace bo'lsa H, keyin v ^ning ortogonal to'ldiruvchisi deyiladi V. aslida, har bir x ning har bir x ning har bir x ning har bir x ning har bir x ning har bir x ning har bir x ning har bir x ning har bir x ning har bir x ning har bir x ning har bir x ning har bir x ning har bir x ning har bir x ning x = v + v bilan yozilishi ^mumkin. Shuning uchun, H ning ichki Hilbert to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi V ^{va Vbaxloqiy}.
Chiziqli operator P _V: Hbassal H xaritalar x ga v ortogonal proektsiya ustiga deyiladi V. ning barcha yopiq subspaces to'plami o'rtasida tabiiy birma-bir yozishmalar mavjud H va barcha chegaralangan o'z-o'zidan bog'langan operatorlar to'plami P shunday qilib P ² = P. maxsus,
- Teorema ortogonal proektsiya P _V-bu o'z-o'zidan bog'langan chiziqli operator H normaning sharpasi 1 mulk bilan p²
_V = P_V. Bundan tashqari, har qanday o'z-o'zidan bog'langan chiziqli operator E shunday e ² = E shaklda P _V, qayerda V oralig'i E. har biri uchun x yilda H, P _V(x) noyob element v ning v masofani minimallashtiradigan ||x − v||.
Bu geometrik talqinni beradi P _V (x): bu eng yaxshi taxmin x elementlari tomonidan V.^[73]
Proektsiyalar P _U va P _V deyiladi o'zaro ortogonal agar P _U P _V = 0. Bu tengdir siz va V subspaces sifatida ortogonal bo'lish H. ikki proektsiyaning yig'indisi P U _va P _V faqat agar proektsiyadir siz va V bor ortogonal bir - biriga va u holda P _U + P _V = P _U+V. kompozit P _u P _V odatda proektsiya emas; aslida, kompozitsion proektsiyadir, agar va faqat ikkita proektsiya qatnasa va u holda P _u P _V = P _u Bac V.
Kodomainni Hilbert fazosi bilan cheklash orqali V, ortogonal proektsiya _P V proektsion xaritalashni keltirib chiqaradi X. X. X. V.; bu qo'shilish xaritasi
{\displaystyle i:V\to H\,,}

buning ma'nosi
{\displaystyle \left\langle ix,y\right\rangle _{H}=\left\langle x,\pi y\right\rangle _{V}}

barcha x ∈ V va y ∈ H.
Ortogonal proektsiyaning operator normasi P _v nolga teng bo'lmagan yopiq subspace ustiga V 1 ga teng:
{\displaystyle \|P_{V}\|=\sup _{x\in H,x\neq 0}{\frac {\|P_{V}x\|}{\|x\|}}=1\,.}

Har bir yopiq subspace V A Hilbert maydoni shuning uchun operatorning tasviri P norma shunday biri P ² = P. tegishli proektsion operatorlarga ega bo'lish xususiyati Hilbert bo'shliqlarini tavsiflaydi: ^[74]
2 dan yuqori o'lchamdagi Banach maydoni (izometrik) A Hilbert maydoni agar va faqat har bir yopiq subspace uchun V, operator mavjud P _v ning norma kimning tasviri V shunday P²
_V = P_V.
Ushbu natija Hilbert fazosining metrik tuzilishini tavsiflasa-da, Hilbert fazosining topologik vektor fazosi sifatida tuzilishini o'zi bir-birini to'ldiruvchi subspaces mavjudligi bilan tavsiflash mumkin: ^[75]
A Banach maydoni X bu topologik va chiziqli izomorfik A Hilbert maydoni agar va faqat agar, har bir yopiq subspace uchun V, yopiq subspace mavjud V shunday qilib X ga teng ichki to'g'ridan-to'g'ri summa V.
Ortogonal to'ldiruvchi yana bir qancha elementar natijalarni qondiradi. Bu ma'noda monoton funktsiyadir, agar u bo'lsa UB, keyin VBB, UB, agar va faqat agar v ^u ning yopilishida mavjud bo'lsa, tenglik bilan V. bu natija xahn–Banax teoremasining alohida holatidir. Subspace-ning yopilishi ortogonal komplement jihatidan to'liq tavsiflanishi mumkin: Agar V ning subspace H, keyin yopilishi V ^{ga teng vbakomponent}. Ortogonal komplement shunday qilib A Galois aloqasi ustida pastki bo'shliqlarning qisman tartibi A Hilbert maydoni. Umuman olganda, subspaces yig'indisining ortogonal to'ldiruvchisi ortogonal qo'shimchalarning kesishmasidir: ^[76]
{\displaystyle \left(\sum _{i}V_{i}\right)^{\perp }=\bigcap _{i}V_{i}^{\perp }\,.}

Agar V _men qo'shimcha ravishda yopiq, keyin
{\displaystyle {\overline {\sum _{i}V_{i}^{\perp }}}=\left(\bigcap _{i}V_{i}\right)^{\perp }\,.}

Spektral nazariya[tahrir]
Uchun yaxshi rivojlangan spektral nazariya mavjud o'z-o'ziga bog'langan operatorlar A Hilbert maydoni, bu taxminan o'rganishga o'xshashdir nosimmetrik matritsalar ustida Reallar yoki o'z-o'ziga bog'langan matritsalar ustida murakkab sonlar.^[77] xuddi shu ma'noda, ortogonal proektsion operatorlarning mos yig'indisi (aslida ajralmas) sifatida o'z-o'zidan bog'langan operatorning "diagonalizatsiyasi" ni olish mumkin.
Bu spektri bir operator T, denoted σ(T), hisoblanadi belgilangan kompleks sonlar λ bunday deb T − λ etishmaydi uzluksiz teskari. Agar T chegaralangan bo'lsa, u holda spektr har doim murakkab tekislikda ixcham to'plam bo'lib, disk ichida yotadi |z| bac ||T||. Agar T bu o'z-o'zidan bog'langan, keyin spektr haqiqiydir. Aslida, u [m, M] oralig'ida joylashgan
{\displaystyle m=\inf _{\|x\|=1}\langle Tx,x\rangle \,,\quad M=\sup _{\|x\|=1}\langle Tx,x\rangle \,.}

Bundan tashqari, m va M ikkalasi ham spektrda mavjud.
Operatorning o'ziga xos fazalari T tomonidan berilgan
{\displaystyle H_{\lambda }=\ker(T-\lambda )\,.}

Cheklangan matritsalardan farqli o'laroq, spektrning har bir elementi emas T bo'lishi kerak o'ziga xos qiymat: chiziqli operator T-bod faqat teskari etishmasligi mumkin, chunki u shubhali emas. Operator spektrining elementlari umumiy ma'noda spektral qiymatlar sifatida tanilgan. Spektral qiymatlar alohida qiymatlarga ega bo'lmasligi kerakligi sababli, spektral parchalanish ko'pincha cheklangan o'lchamlarga qaraganda nozikroq bo'ladi.
Biroq, spektral teorema o'z-o'zidan bog'langan operatorning T ayniqsa oddiy shaklni oladi, agar qo'shimcha ravishda, T ixcham operator deb taxmin qilinadi. The spektral teorema ixcham o'z-o'zidan bog'langan operatorlar uchun: ^[78]
Ixcham o'z-o'zidan bog'langan operator T faqat ko'p spektral qiymatlarga ega (yoki cheklangan). Spektri T murakkab tekislikda chegara nuqtasi yo'q, ehtimol noldan tashqari. Ning xususiy fazolari T parchalaydi H ichiga ortogonal to'g'ridan-to'g'ri summa:
{\displaystyle H=\bigoplus _{\lambda \in \sigma (T)}H_{\lambda }\,.}

Bundan tashqari, agar E_λ anglatadi bu orthogonal loyiha ustiga eigenspace H_λ, keyin
{\displaystyle T=\sum _{\lambda \in \sigma (T)}\lambda E_{\lambda }\,,}

bu erda summa normaga nisbatan yaqinlashadi B (H).
Ushbu teorema integral tenglamalar nazariyasida asosiy rol o'ynaydi, chunki ko'plab integral operatorlar ixchamdir, xususan Hilbert–Shmidt operatorlaridan kelib chiqadiganlar.
Umumiy spektral teorema o'z-o'zidan bog'langan operatorlar uchun operator tomonidan qadrlanadigan Riman-Stieltjes integralining bir turi, cheksiz yig'indidan ko'ra.^[79] bilan bog'langan spektral oila t har bir haqiqiy songa assotsiatsiyalanadikomponent e _{operatorikompyuter, bu operatorning} nullspace − ga proektsiyadir (T-Autumn)⁺, bu erda o'z-o'zidan bog'langan operatorning ijobiy qismi tomonidan belgilanadi
{\displaystyle A^{+}={\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {A^{2}}}+A\right)\,.}

The operatorlar e _auksion bor monoton ga nisbatan ortib bormoqda qisman tartib o'z-o'zidan bog'langan operatorlarda belgilangan; o'ziga xos qiymatlar sakrashning uzilishlariga aniq mos keladi. Birida spektral teorema, bu tasdiqlaydi
{\displaystyle T=\int _{\mathbb {R} }\lambda \,\mathrm {d} E_{\lambda }\,.}

Integral bir Riemann–Stieltjes integral sifatida tushuniladi, b normaning nisbatan konvergent (H). Xususan, bitta oddiy skalar qiymatidagi integral vakillik
{\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\int _{\mathbb {R} }\lambda \,\mathrm {d} \langle E_{\lambda }x,y\rangle \,.}

Bir oz o'xshash spektral dekompozitsiya normal operatorlar uchun amal qiladi, garchi spektrda endi haqiqiy bo'lmagan kompleks sonlar bo'lishi mumkin bo'lsa-da, operator tomonidan baholanadigan Stieltjes o'lchovi d e _gugurtni hisobga olish qarori bilan almashtirish kerak.
Spektral usullarning asosiy qo'llanilishi spektral xaritalash teoremasi, bu o'z-o'zidan bog'langan operatorga murojaat qilishga imkon beradi T har qanday uzluksiz murakkab funktsiya f spektrida aniqlangan T integralni shakllantirish orqali
{\displaystyle f(T)=\int _{\sigma (T)}f(\lambda )\,\mathrm {d} E_{\lambda }\,.}

Natijada doimiy funktsional hisoblash, xususan, dasturlarga ega psevdodifferensial operatorlar.^[80]
Chegaralanmagan o'z-o'zidan bog'langan operatorlarning spektral nazariyasi cheklangan operatorlarga qaraganda ancha qiyin. Chegaralanmagan operatorning spektri chegaralangan operatorlar bilan bir xil tarzda aniqlanadi: agar rezolvent operator bo'lsa, bu spektral qiymatdir
{\displaystyle R_{\lambda }=(T-\lambda )^{-1}}

aniq belgilangan uzluksiz operator bo'la olmaydi. T ning o'ziga xosligi hali ham spektrning haqiqiy ekanligini kafolatlaydi. Shunday qilib, chegaralanmagan operatorlar bilan ishlashning muhim g'oyasi-bu hal qiluvchi R _ga qarashdir. Bu chegaralangan normal operator bo'lib, u spektral tasvirni tan oladi va keyinchalik T ning spektral tasviriga o'tkazilishi mumkin. Xuddi shunday strategiya, masalan, Laplas operatorining spektrini o'rganish uchun ishlatiladi: operatorga to'g'ridan-to'g'ri murojaat qilish o'rniga, uning o'rniga riesz potentsiali kabi bog'liq rezolyutsiya ko'rinadi yoki Bessel salohiyati.
Bu holda spektral teoremaning aniq versiyasi: ^[81]