Aksiomatik metod tushinchasi fan sohasida o’z o’rnini topgach, Yevklid geometriyasini bayon qilish uchun ko’plab aksiomalar sistemasi yaratildi

3.7.2 – Ta’rif. Agar chiziqli kombinatsiya barcha bo’lganda bo’lsa, vektorlar toplami chiziqli erkli, agar chiziqli kombinatsiya lardan kamida bittasi nolga teng bo’lganida bo’lsa, vektorlar toplami chiziqli erkli deb ataladi.
Uchinchi guruh aksiomalari: O’lchav aksiomalari.

1. 
   toplamda ta chiziqli erkli vektorlar mavjud bo’lsin.
   
2. 
   toplamda har qanday ta vektorlar o’zaro chiziqli bog’liq bo’lsin.
   

O’lchov aksiomalaridan foydalanib quyidagi ta’rifni keltiramiz.
3.7.3 - ta’rif. Agar elementlari vektorlardan iborat toplamda vektorlarni qo’shish va songa ko’paytirish amallari aniqlangan bo’lib, toplam elementlari uchun keltirilgan 10 ta aksioma shartlari o’rinli bo’lsa, toplamga o’lchovli vektor fazo deb ataladi.
To’rtinchi guruh aksiomalari: Skalyar ko’paytma aksiomalari.
To’rtinchi guruh aksiomalarini ham vektorlar toplami bilan haqiqiy sonlar toplami orasidagi akslantirish yordamida kiritamiz. Bu yerda akslantirish vektorlarni skalyar ko’paytirish amalidan iborat. Bu akslantirishda toplamdan olingan ixtiyoriy ikkita va vektorlarga ularning skalyar ko’paytmasiga teng bo’lgan yagona haqiqiy son mos keltiriladi. Bu moslikni ko’rinishida belgilaymiz.

1. 
   toplamdan olingan ixtiyoriy ikkita va vektorlar uchun kiritilgan skalyar ko’paytirish amali komutativlik xossasiga ega, ya’ni
   

uchun .

2. 
   toplamdan olingan ixtiyoriy ikkita , va vektorlar hamda ixtiyoriy haqiqiy sonlar uchun skalyar ko’paytma taqsimot qonuniga ega, ya’ni
   

hamda uchun

3. 
   toplamdagi nol vektordan farqli har qanday vektor uchun va nol vektor uchun skalyar ko’paytma .
   

Agar yuqorida keltirlgan o’lchovli vektor fazoda vektorlarni skalyar ko’paytirish amali aniqlangan bo’lib, fazo elementlari uchun skalyar ko’paytmaning 4.1., 4.2., 4.3. aksiomalar shartlari bajarilsa, vektor fazoga vektorli Yevklid fazosi deb ataladi va ko’rinishida belgilanadi. Hususiy holda yuqorida keltirilgan toplamlar mos holda bir o’lchovli, ikki o’lchovli va uch o’lchovli vektorli Yevklid fazolariga misol bo’ladi. Skalyar ko’paytma aksiomalaridan quyidagi ta’rif va tushinchalar kelib chiqadi.

1. 
   Vektorli Yevklid fazosi quyidagi
   

ko'rinishdagi matematik strukturadan iborat. Bu yerda bazis toplamlar vektorlar hamda haqiqiy sonlar toplamidan, asosiy munpsabatlar esa - vektorlarni qo’shish, - vektorni songa ko’paytirish, - vektorlarni skalyar ko’paytirish amallaridan, aksiomalar esa 4.1., 4.2., 4.3. aksiomalardan iborat.

4. 
   – Ta’rif. vektorni o’z – o’ziga skalyar ko’paytirishdan hosil bo’lgan sondan olingan kvadrat ildizga vektor uzunligi deb ataladi.