Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari

2. Masalaning umumiyroq qo`yilishi 
 
Endi  masalani  umumiyroq  qo`yilishini  qaraymiz. 

 

T
t
x
D
T






0
1
0
  to`g`ri 
to`rtburchakda giperbolik tipli tenglama uchun 1-chegaraviy masalani qaraymiz 
,
)
,
(
   
),
,
(
2
2















x
u
t
x
k
x
Lu
t
x
f
Lu
t
u
,
)
,
(
T
D
t
x

    
 
(8) 
),
(
0
    
),
(
)
0
,
(
0
0
x
u
t
)
u(x,
x
u
x
u




 
 
 
 
 
(9) 
),
(
)
,
1
(
    
),
(
)
,
0
(
2
1
t
u
t
u
t
u
t
u


 
 
 
   
 
 
(10) 
,
c
)
t
,
x
(
k
c
2
1
0



 
 
 
 
 
 
 
 
bu erda 


].
T
t
(
x
D
T






0
1
0
 
Faraz qilaylik masala 
T
D
 da yagona uzluksiz va etarlicha hosilalarga ega bo`lgan echimga 
ega  bo`lsin.  k(x,t) (va f(x,t) o`ng taraf   ot  o`qqa   parallel  chekli  sondagi to`g`ri chiziqlarda 1- tur 
uzilishga 
ega 
bo`lishi 
mumkin 
(qo`zg`almaydigan 
uzilishlar). 
Har 
bir 
chiziqda 
0
,...,
2
,
1
   
,
s
s
x
s



 uzilishlarda qo`shmalik sharti bajariladi: 
 

















0
0
0
0
x
u
k
t
,
u
)
t
,
(
u
u
s
s


. 
 
 
 
(11) 
Endi  (8)-(10)  masala  uchun  bir  jinsli  ayirmali  sxemalarni  tuzishga  kelamiz. 


1
    
0
   
1
0
0





I
i
h
x
,
x
,
I
,...,
,
i
,
x
€
 
to`r 
 
1
0

 x
 
da 
ixtiyoriy 
notekis 
to`r,  


J
,...,
,
,
j
,
j
t
€
j
2
1
0
   






  to`r   
T
t 

0
  da  ixtiyoriy  tekis  to`r, 







h
h
€
  - 
to`r  esa 
T
D
  to`g`ri  to`rtburchakda  berilgan  to`r  bo`lsin.  Avvalo  fiksirlangan 



t
  da    Lu+f 
operatorni  approksimatsiyalaymiz  va 






x
€
x
)
u
)
t
,
x
(
a
(
u
  -  ayirmali  operatorga 
keltiramiz. 
Bularni quyidagicha almashtiramiz  










)
,
(
j
t
t
t
t
u
)
t
(
F
Lu
,
u
~
t
u
j
2
1
2
2
    
, 
Bu erda   
,
u
u
)
(
u
€
u
)
,
(












2
2
1
1
1
2
1
 


1
1
   
   
    








j
j
j
x
€
x
j
j
u
u
€
,
u
u
,
u
u
,
u
)
t
,
x
(
a
u
)
t
(
. 
Quyidagi belgilashlarni eslaymiz 
,
1
,
i
i
i
i
x
h
v
v
v



   
,
1
,
1
1
,






i
x
i
i
i
i
x
v
h
v
v
v
  
,
v
v
v
i
i
i
i,
x
€



1
 

 
117
bu  erda   
),
h
h
(
,
i
i
i
1
5
0




,
2
2
dx
v
d
Lv 


x
€
x
i,
x
€
x
i
i
i
i
i
i
i
i
h
v
v
h
v
v
h
v
v
v
L
















1
1
1
1

, 
va bulardan quyidagi vaznli bir jinsli uch qatlamli sxemani hosil qilamiz 






)
,
(
2
1
)
(
y
t
y
j
t
t
. 
 
 
 
 
 
(12) 
t=t
j 
 o`rta qatlamda a  koeffitsientni olamiz  
Quyidagi 
t
t
t
y
,
y
y
y
€
2
5
0 




, 
t
t
t
y
,
y
y
y
2
5
0
 
0






, 
bu 
erda 
 

2
/
)
(
y
y
y
t





,   
2
/
)
2
(

y
y
y
y
t
t





  larni  qo`llab 




0
2
1
)
(
2
1
)
,
(
t
y
y
y





 
t
t
y
2
2
1
)
(
5
,
0


 
 ni hosil qilamiz, bulardan keyin  (12) sxemani quyidagicha yozamiz 


















y
y
)
(
y
)
(
,
E
t
t
t
0
2
1
2
2
1
5
0
, 
 
(13) 
bu erda E – birlik operator. 





2
1
 da simmetrik  sxemani hosil qilamiz 


j
t
t
t
),
t
,
x
(
y
y
E










0
2
   
    
 
(14) 
va uni o`rganish bilan cheklanamiz. 
 
(10) chegaraviy shartlar va (9)  birinchi boshlang`ich shart aniq qanoatlantiriladi  
)
x
(
u
)
,
x
(
y
),
t
(
u
)
t
,
(
y
),
t
(
u
)
t
,
(
y
0
2
1
0
1
0



   
   
.   
 
(15) 
 
)
(
/
0
0
x
u
t
u
t




  ikkinchi  boshlang`ich  shartni  ikki  usul  bilan  approksimatsiyalash 
mumkin. Bitta usul yuqorida ko`rsatildi 
0
0
0
0
0
5
0
0





t
z
)
f
Lu
(
,
)
x
(
u
)
x
(
u~
),
x
(
u~
)
,
x
(
y

   
. 
 
(16) 
U 
  bo`yicha ikkinchi tartibli approksimatsiyaga ega. 
 
Ikkinchi usul shundan iboratki, y(
) ni aniqlash uchun quyidagi ayirmali tenglama yoziladi 
.
))
,
x
(
f
u
(
,
)
x
(
u
)
,
x
(
y
))
(
E
(
t
0
5
0
0
0
0
0
2








   
 
(17) 
Natijada (14)-(16) (yoki (14), (15), (17)) ayirmali masalani hosil qilamiz. 
 
Bu  sxema  uch  qatlamli  deyiladi.  YAngi  qatlamdagi 
1


j
y
y
€
  ni  hisoblash  uchun  avvalgi 
ikkita qatlamdagi 
j
y
 va 
1

j
y
 qiymatlarni bilish kerak. Har bir 
1


j
t
t
 yangi qatlamda chegaraviy 
masala 
1


j
y
y
€
  ga nisbatan echiladi (progonka usuli bilan):  


,
F
y
€
E




2
  
 
2
1
0
  
    
1
0
u
€
y
€
,
u
€
y
€
,
ih
x
I





, 
,
t
,
y
y
)
(
y
y
)
t
(
F






















    
2
2
1
2
2
 
).
,
x
(
f
,
)
x
(
u
u
)
(
)
,
(
u
)
(
F
0
5
0
0
5
0
0
2
0
0
2
0










 
 
 
 
 

 
118
O`z-o`zini tekshirish uchun savollar 
 
1.  Tor  tebranish  tenglamasi  uchun  birjinsli  holda  boshlang`ich  chegaraviy  masala  qanday 
qo`yiladi? 
2.  Tor tebranish tenglamasi uchun bir parametrli ayirmali sxema qanday tuziladi? 
3.  Xatolik uchun masala qanday aniqlanadi? 
4. 
)
h
(
O
4
2


 aniqlik bilan sxema qanday hosil qilinadi? 
5.  Uzilishga ega koeffitsientlar bilan berilgan tenglama uchun masala qanday qo`yiladi? 
6.  Uzilishga  ega  koeffitsientlar  bilan  berilgan  tor tebranish  tenglamasi  uchun    ayirmali  sxemalar 
qanday tuziladi? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
119
14 - ma`ruza 
LAPLAS OPERATORINI TEKIS VA NOTEKIS TO`RDA APPROKSIMATSIYA QILISH. 
PUASSON TENGLAMASI UCHUN DIRIXLE AYIRMALI MASALASI 
 
Ma`ruza rejasi 
1.  Ko`p o`lchovli sohada Dirixle masalasi 
2.  Laplas operatorining ayirmali approksimatsiyasi 
3.  Laplas operatorining «xoch» notekis shablonda approksimatsiyasi 
4.  Misol 
5.  Sxema xatoligini baxolash 
6.  Ayirmali tenglamaning kononik shakli 
 
 
Kalit  so`zlar:    Dirixle  masalasi,  «xoch»  shablon,  notekis  shablon,  approksimatsiya  xatoligi, 
to`g`ri to`rtburchakda Dirixle masalasi, kanonik shakl 
 
Puasson tenglamasi uchun Dirixle masalasi quyidagicha qo`yiladi: ushbu 
Г
G 
 sohada 











p
G
x
),
x
(
f
x
u
u
1
2
2
   
 
 
 
 
(1) 
Puasson tenglamasini hamda ushbu 
 
x
u



 chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi uzluksiz 
 
x
u
 
funktsiyani topish talab qilinadi. Bu erda 


3
2
1
x
,...,
x
,
x
x 
; G -  r-o`lchovli, chegarasi  G  bo`lgan 
chekli soha. 
 
 
1.  Laplas operatorining ayirmali approksimatsiyasi 
 
 


2
1
x
,
x
x 
 tekislikda  
2
1
2
2
2
1
,
,
x
u
u
L
,
u
L
u
L
u










 
. 
 
 
 
(2) 
Laplas operatorining ayirmali ko`rinishini yozamiz.
 


2
1
x
,
x
x 
 nuqtada  har bir 
2
1
2
1
x
u
u
L



  yoki  
2
2
2
2
x
u
u
L



  operatorlarni uch nuqtali 
1
  
yoki  
2 
 operatorlar bilan approksimatsiyalaymiz 


,
)
x
,
h
x
(
v
)
x
,
x
(
v
)
x
,
h
x
(
v
h
v
v
~
v
L
x
x
2
1
1
2
1
2
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1







 
 
(3) 


,
)
h
x
,
x
(
v
)
x
,
x
(
v
)
h
x
,
x
(
v
h
v
v
~
v
L
x
x
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2







 
(4) 
bu  erda    approksimatsiya  belgisi,      h
1
>0,    h
2
>0  –  berilgan  sonlar  (x
1
  va  x
2
  o`qlar  bo`yicha 
qadamlar). 

 
120
 

1
  operator  
 (x
1
-h
1
, x
2
), (x
1
, x
2
), (x
1
+h
1
, x
2
) 
regulyar uchnuqtali shablonda, 
2
 operator esa 
 (x
1
, x
2 
-h
2
), (x
1
, x
2
), (x
1
, x
2
+h
2
) 
regulyar uchnuqtali shablonda aniqlangan. 
 
(3) va (4) dan foydalanib, (2) Laplas operatorini besh nuqtali «xoch» shablonda aniqlangan 
2
2
1
1
2
1
x
x
x
x
v
v
v
v
v







,    
 
 
 
(5) 
chekli ayirmali operator bilan almashtiramiz.  
 
                                2 
                             h
2 
            3                0             h
1
          1 
                              4 
 
Ko`rinib turibdiki 




4
0
2
2
2
3
0
1
2
1
0
2
1
2
1
v
v
v
h
v
v
v
h
v







.  
 
 
(6) 
Xususiy xolda, h
1
=h
2
=h bo`lganda  


0
4
3
2
1
2
0
4
1
v
v
v
v
v
h
v






. 
 
 
 
(7) 
(5)  ayirmali  operator  bilan  (2)  Laplas  operatorini  approksimatsiya  qilgandagi  xatolikni 
hisoblaymiz. 

=1,2 bo`lganda   
)
h
(
O
v
L
h
v
L
)
h
(
O
x
v
h
x
v
v
4
2
2
4
4
4
2
2
2
12
12




















 , 
 
(8) 
unda  
)
h
h
(
O
v
L
h
v
L
h
v
v
4
2
4
1
2
2
2
2
2
1
2
1
12
12







. 
Bundan  ko`rinib  turibdiki,  agar  v(x)  -  ixtiyoriy  funktsiya  x
a
  bo`yicha  to`rttadan  kam 
bo`lmagan  tartibli  xosilaga  ega  bo`lsa,  unda     
 
2
2
2
1
2
2
h
h
h
,
h
O
v
v






  bo`ladi. 
SHunday  qilib,  (5)  ayirmali  operator  (2)  Laplas  operatorini  «xoch»  regulyar  shablonda  ikkinchi 
tartib  bilan  approksimatsiyalaydi. 
SHunga o`xshash r-o`lchovli (r>2) Laplas operatorining 
2
2
1










x
u
u
L
,
u
L
Lu
p
  
 
 
 
(9) 
ayirmali approksimatsiyasini tuzamiz. 
L

  larni 

 uchnuktali ayirmali operator bilan almashtirib   

 
121







p
v
v
1
 
 
 
 
 
(10) 


,
v
v
v
h
v
v
)
(
)
(
x
x













1
1
2
2
1
   
 
 
(11) 
ni  xosil qilamiz,  bu  erda  









1
1
x
v
v
)
(
. Bunda x
(+1

)
 (yoki   x
(-1

)
)  - x=(x
1
,...,x
r
) nuqta x
a
 
yo`nalish bo`yicha  

h
 kesma uzunligida o`ngga (chapga) siljigandagi nuqta. (10) operator uchun 
shablon  2r+1  ta  x,  x
(

1

)
  , 
p
,
1


  nuqtalardan  iborat,  approksimatsiya  xatoligi  esa  ikkinchi 
tartibga ega.