Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari

To`rda approksimatsiya xatoligi 
 
Biz  xozirgacha  lokal  ayirmali  approksimatsiyani  qaradik.  Odatda  to`rda  ayirmali 
approksimatsiya tartibini baholash talab qilinadi. 

 
92
h
  - 




p
x
x
x
x
,...,
,
2
1

 to`r funktsiyalarning biror 
G
 Evklid fazosidagi to`r, 
h
H
 - 
h
  da 
berilgan  to`r  funktsiyalarning  chiziqli  fazosi, 
0
H   - 
 
x
v
  silliq  funktsiyalar  fazosi  bo`lsin.  Faraz 
qilaylik, 1) ixtiyoriy 
0
H
u 
 uchun 
h
h
h
H
u
u



 bo`ladigan 
h
  operator mavjud, 2) 
h

 va 
0

 
normalar quyidagicha bo`lsin, ya`ni  
0
0
lim
u
u
h
h
h



, 
bunda  
h
 - 
h
 vektorning normasi. 
 
0
H   da  berilgan  qandaydir 
L
  operatorni  va 
h
   da  berilgan 
h
v   to`r  funktsiyani 
h
h
v
L
  to`r 
funktsiyaga akslantiruvchi 
h
L  operatorni qaraymiz (ya`ni 
h
H  dan 
h
H  ga ta`sir qiluvchi). 
 
L
 operatorni 
h
L  ayirmali operator bilan approksimatsiyalash xatoligi deb  
 
h
h
h
h
Lv
v
L



, 
to`r  funktsiyaga  aytiladi,  bunda 
v
v
h
h


, 
 
 
Lv
Lv
h
h


, 
v   - 
0
H   dagi  ixtiyoriy  funktsiya 
(vektor, element). 
 
0

h
  da 
0

h
h

  intilsa 
L
  differentsial  operatorni 
h
L   ayirmali  operator 
approksimatsiyalaydi deymiz. 
 
 
 
m
h
h
h
h
h
h
h
O
Lv
v
L




, 
 
 
 
(16) 
yoki  
 
m
h
h
h
h
h
M
Lv
v
L



 
bo`lsa 
0

m
 tartib bilan 
L
 differentsial operatorni 
h
L  ayirmali operatori approksimatsiyalaydi deb 
ataymiz, bunda 
M
 - 
h
 dan bog`liq bo`lmagan musbat o`zgarmas son. 
h
  opeartorni tanlashga misollar:  
1) 
agar 
 
x
v
 - uzluksiz funktsiya bo`lsa, u holda  
 
 
h
h
h
x
x
v
x
v
v





,
; 
2) 
     
 
 












1
1
2
1
2
1
ds
sh
x
v
dt
t
v
h
x
v
v
h
x
h
x
h
h
, 
bunda 
 
x
v
 - integral funktsiya va h.k. 
 
1  eslatma.  Agar 


p
h
h
h
h
,...,
,
2
1

  -  vektor  bo`lsa, 
h
  ni 


2
1
2
2
2
2
1
...
p
h
h
h
h




    uzunlik 
deb tushunish mumkin. 
p
,...,
2
,
1


 tartib bilan turli 

h  bo`yicha approksimatsiya qilish mumkin. 
U holda (16) o`rniga  
 




p
m
h
h
h
h
h
M
Lv
v
L
1



, bunda 
0


m
. 
 
p
m
m
m
,...,
,
2
1
  lar orasida eng kichik sonni olamiz  va uni 
m  bilan belgilab (16) baholashni 
olamiz. 
1.  
Agar 
h
   notekis  to`r,  ya`ni 


n
h
h
h
h
,...,
,
2
1

  bo`lsa,  misol  uchun 
i
n
i
h
h



1
max
  yoki  o`rta 
kvadratik qiymat 
h
 ni olish mumkin, bunda 
n  - tugunlar soni. 

 
93
 
Misol. Notekis to`rda ayirmali approksimatsiya. 
1
0

 x
 kesmada berilgan 
 
 
1
,
0
4
0
C
H 
 
funktsiyalar fazosida 
2
2
dx
v
d
Lv 
 ni qaraymiz. Quyidagi to`rni olamiz 


1
0
1
0
0





n
i
h
x
,
x
,
n
,...,
,
i
,
x
€
. 
Lv
 operator 


1
1
,
,


i
i
i
x
x
x
 noregulyar shablonda 
i
x  tugunda aniqlangan  


 


1
1
1
1
5
,
0
,
,
1

















i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
h
h
h
h
x
v
v
h
v
v
h
v
v
h
v
L
, 
ayirmali operatorga mos keladi. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz 
i
i
i
i
x
i
i
i
i
x
i
x
i
i
i
i
x
h
v
v
v
h
v
v
v
v
h
v
v
v












1
,
1
1
1
,
,
1
,
,
,

. 
 
v
L
h
 operatorni quyidagi ko`rinishda yozish mumkin  


x
x
i
x
x
i
h
v
v
v
L




,
. 
 
Approksimatsiyaning lokal xatoligi  
 


 
 
2
1
3
i
i
i
i
i
i
h
i
h
O
v
h
h
Lv
v
L









 
ga teng. 
 
 
Demak 
v
L
h
 opeator to`r normada  
 
i
n
i
i
n
i
C
h
h
h
O
1
1
1
1
max
,
max











 
birinchi tartibli approksimatsiyaga ega. 
 
2
L  to`r normada quyidagicha 
 
h
O
n
i
i
i











2
1
1
1
2



 
birinchi tartibli approksimatsiyani ham olishimiz mumkin. 
 
Biroq  
 
2
1
2
1
1
1
1





















i
k
k
k
n
i
i
h



 
normada 
  ikkinchi tartibga ega, ya`ni  
 
 
2
1
h
O



, bunda 
i
n
i
h
h



1
max
. 
 
Bu tasdiqni isbotlaymiz. 
  ni  
 
2
2
2
1
6
i
i
i
i
i
i
h
O
v
h
h
h







 
ko`rinishda yozamiz. 
 


1
1








i
i
i
h
O
v
v
 ni inobatga olib  
*
*
2
1
2
1
6
i
i
i
i
i
i
i
i
i
h
v
h
v
h
















, 
topamiz, bu erda 
 
2
*
h
O
i


 ixtiyoriy normada. 
 
i

  bosh had divergent ko`rinishga ega. SHuning uchun  

 
94




6
6
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
1
v
h
v
h
v
h
v
h
h
S
i
i
i
k
k
k
k
k
i
k
k
k
i























. 
 
Bundan  
2
Mh
S
i

 ekanligi ko`rinib turibdi va haqiqatdan  
)
(
2
2
1
1
1
2
)
1
(
h
O
S
h
n
i
i
i














. 
 
Bundan  
2
)
1
(
)
1
(
)
1
(
Mh











, 
ya`ni 
)
1
(

 normada approksimatsiya xatoligi ikkinchi tartibga ega. 
 
)
,
(
)
,
(
t
x
y
t
x
y
h


 to`r funktsiyani  















t
x
t
x
h
h
h
,
),
,
(
 
to`rda aniqlaymiz. 
 
U 
h
x


  argumentning  funktsiyasi  bo`lib 
h

  norma  bilan 
h
H   fazoning  vektori 
hisoblanadi. 


h
 to`rda 
)
,
( t
x
y
 ni baholash uchun odatda  
h
t
h
t
y
y
)
(
max





 
normadan yoki quyidagilarning biridan foydalaniladi  
2
1
2
)
(
,
)
(




















t
h
h
t
h
h
t
y
y
t
y
y
. 
 


h
h
v
L
 - 




t
x
u
u
Lu
,

 opeatorning ayirmali approksimatsiyasi  bo`lsin. 

h
L  operator 


h
 
to`rda berilgan 


t
x
v
h
,

 to`r funktsiyalarda aniqlangan. 


0
,
H
t
x
v

 bo`lsin. Agar 
 
t
x
v ,   t  bo`yicha 
uzluksiz  bo`lsa,  barcha 



t
  lar  uchun 




t
x
v
t
x
v
h
h
,
,


  bo`lishi  mumkin.  SHunday  qilib, 


h
 
to`rda berilgan 


t
x
v
h
,

 va approksimatsiya xatoligini aniqlash uchun  



   
 








h
h
h
h
h
t
x
t
x
Lv
t
x
v
L
t
x



,
,
,
,
,
. 
Bu erda 




t
x
v
t
x
v
h
h
,
,


. 
 
L
 ni 

h
L  
x  bo`yicha 
0

m
 va  t  bo`yicha 
0

l
 tartib bilan approksimatsiya qiladi 
deymiz, agar 
 
t
x
v ,  etarli silliq funktsiyalar sinfida 




l
m
h
h
h
O
t
x






,
  yoki  


l
m
h
h
h
M






 
baholash bajarilsa, bunda 
M
 - 
h
 va 
l
 dan bog`liq bo`lmagan musbat o`zgarmas. 
 
Sxemalar yaqinlashishi va aniqligi 
 
 
CHekli to`rda biror masalani taqribiy echishda dastlab quyidagicha muloxazaga ega bo`lish 
kerak,  ya`ni  bu  usul  yordamida  masala  echilaganda  masalaning  aniq  echimiga  qanday  aniqlikda 
yaqinlashishi mumkin. SHuning uchun ayirmali sxemalarning yaqinlashishi va aniqligi to`g`risidagi 
savolni qarab o`tish kerak. 
 
   chegarali 
G
  sohada  quyidagi  chiziqli  differentsial  tenglama  echimini  topish  talab 
qilingan bo`lsin 
 
 
G
x
x
f
Lu


,
.   
 
 
 
 
 
(1) 

 
95
Echim quyidagi qo`shimcha (chegaraviy va boshlang`ich) shartni qanoatlantirsin 
 
 




x
x
lu
,
,   
 
 
 
 
 
(2) 
bunda 
   
x
x
f

,
 - berilgan funktsiyalar, 
l
 - chiziqli differentsial operator. 
 
G  soha to`r bilan almashtiriladi.  
 
h
  -  to`r  tugunlarining  joylashish  zichligini  xarakterlaydigan  vektor  parametr  bo`lsin, 
h
   - 
chegaraviy tugunlar to`plami. 
 
(1), (2) masalaga quyidagi ayirmali masalani mos qo`yamiz 
 
,
,
,
,
h
h
h
h
h
h
h
h
x
y
l
x
y
L








  
 
 
 
 
 
(3) 
bunda 
 
x
h

, 
 
x
h

  -  ma`lum  to`r  funktsiyalar, 
h
h
l
L ,
  - 
h
h
h
x






  uchun  berilgan  to`r 
funktsiyalarga ta`sir qiluvchi operatorlar. 
 
h
 ni o`zgartirib 
 
h
y
 echimlar oilasini olamiz. SHunday qilib turli 
h
 lar uchun (3) ayirmali 
masalalar  oilasi  qaralishi  kelib  chiqadi.  Bu  (3)  ayirmali  masalalar  oilasini  ayirmali  sxemalar  deb 
ataymiz. 
 
(1),  (2)  masalaning  echimiga, 
 

h
  qadamni  tanlashdan  bog`liq  ixtiyoriy  berilgan 
0


 
aniqlikda (3) masalaning 
h
y  echimi yaqinlashishini tushuntirish uchun 
h
y  va 
 
x
u
 larni taqqoslash 
zarur.  
Bu taqqoslashni 
h
H  to`r funktsiyalar fazosida o`tkazamiz. 
h
u  - 
h
  to`rda 
 
x
u
 ning qiymati 
bo`lsin, bundan 
h
h
H
u 
. Ayirmali sxema xatoligi 
h
h
h
u
y
z


 
ni qaraymiz. 
 
h
z  uchun shartni yozamiz. 
h
h
h
u
z
y


 ni (3) ga qo`yib 
h
z  uchun (3) ga o`xshash quyidagi 
masalani olamiz 
 
,
,
,
,
h
h
h
h
h
h
h
h
x
z
l
x
z
L








   
 
 
 
 
 
(4) 
bunda 
h
  va 
h
  - tafovutlar, ular 
h
h
h
h
h
h
h
h
u
l
u
L








,
 teng. 
(4)  ning  o`ng  tomonlari  (1)  tenglamani  (3)  ayirmali  tenglama  bilan  va  (2)  qo`shimcha 
shartlarni 
h
h
h
y
L


  ayirmali  shart  bilan  approksimatsiyalashdagi  xatolik  deyiladi.  Qisqasi 
h
   - 
(1) tenglamaning 
 
x
u
 echimida 
h
h
h
y
L


 tenglama uchun approksimatsiya xatoligi, 
h
  - (1), (2) 
masalani echishda 
h
h
h
y
l


 approksimatsiya xatoligi deymiz. 
Sxemaning 
h
z   xatoligi  va 
h
h

 ,
  approksimatsiya  xatoliklarini  baholash  uchun,  mos 
ravishda  
 
h
1

,  


h
2

,  
 
h
3

  to`r funktsiyalar normalarini kiritamiz. 
(3) ayirmali  masala echimi (1), (2) masala echimiga  yaqinlashadi ((3) sxema  yaqinlashadi) 
deymiz, agar  
 
0

h
 da 
 
 
0
1
1



h
h
h
h
h
u
y
z
, 
yoki  
 
 
h
z
h
h


1
, 
bunda  

 
96
0

h
 da 
 
0

h

. 
 
(3)  ayirmali  sxema 
 
m
h
O
  tezlik  bilan  yaqinlashadi  yoki 
m -nchi  tartibli  aniqlikga  ega 
deyiladi, agar etarlicha 
0
h
h 
 da  
 
 
m
h
h
h
h
h
h
M
u
y
z



1
1
, 
tengsizlik bajarilsa, bunda  
0

M
 -  h  dan bog`liq bo`lmagan o`zgarmas, 
0

m
. 
 
Quyidagicha  savol  tug`iladi,  ya`ni  sxema  aniqligining  tartibi  approksimatsiya  tartibidan 
bog`liqmiq 
h
h
h
u
y
z


  xatolik 
h
 (va 
h
 )  o`ng  qismli  (4)  masalaning  echimi.  Approksimatsiya 
tartibi bilan aniqlik tartibi o`rtasidagi aloqa ayirmali masala echimining o`ng tomondan bog`liqligi 
bilan  xarakterlanadi.  Agar 
h
z  
h
   va 
h
   lardan  uzluksiz  bog`liq  bo`lsa,  aniqlik  tartibi 
approksimatsiya tartibi bilan mos tushadi.