Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat

Elastiklik nazariyasining boshlang’ich talablari va gipotezalari 
 
 
Elastiklik nazariyasi har qanday talablar va gipotezalardan ozod desak to’g’ri bo’lmas edi.  
 
Elastiklik nazariyasida jismlar atomlarning murakkab tuzilishidan tashkil topganligi hisobga 
olinmaydi. Murakkab strukturali haqiqiy jism, bir jinsli jism bilan almashtiriladi. 
Elastiklik  nazariyasida  Sen-Venan  prinsipi    keng  qo’llaniladi.  Sen-Venanning  prinsipiga 
asosan  tashqi  yuk  qo’yilgan  yeridan  ma’lum  uzoqlikdagi  nuqtalarda  kuchlanish  yukning  qanday 
qo’yilganiga yoki tabiatiga bog’liq emas. 
 
Elastiklik  nazariyasining  talablaridan  yana  biri,  bu  elastik  jismning  tutashligi  haqidagi 
farazdir. Bu holda elastik jism hajmi bo’ylab uzluksiz deb tasavvur etiladi. 
 
Elastiklik  nazariyasida  deformasiyalanuvchi  jism  sof  elastik  deb  hisoblanadi,  ya’ni  tashqi 
yuk olingandan so’ng jism o’zining boshlang’ich holatiga to’liq qaytadi deb tasavvur etiladi. 
 
Elastiklik  nazariyasining  barcha  amallari  kuchlanish  bilan  deformasiya  orasidagi  to’g’ri 
proporsionallikka, ya’ni Guk qonuniga asoslangan. Shuni ta’kidlab o’tish lozimki, umuman olganda 
kuchlanish  bilan  deformasiya  orasidagi  o’zaro  bog’lanish  to’g’ri  proporsional  emas.  Lekin  kichik 
kuchlanish  va  kichik  deformasiya  holatlarida  ular  orasidagi  bog’lanishni  chiziqli,  ya’ni  to’g’ri 
proporsional deb olinsa, katta xatoga yo’l qo’yilmaydi. 
 
Elastiklik  nazariyasida qaralayotgan  jism sof bir jinsli, ya’ni jismning istalgan nuqtasining 
ma’lum yo’nalishlar bo’yicha fizik xususiyatlari bir xil deb tasavvur etiladi. 
 
Elastik  jism  bir  xil  xususiyatli  (izotropnыy)  va  har  xil  xususiyatli  (anizotropnыy)  bo’lishi 
mumkin. 
 
Bir  xil  xususiyatli  elastik  jism  deb  shunday  jismga  aytiladiki,  bu  jism  istalgan  nuqtasining 
elastiklik xususiyatlari barcha yo’nalishlarida bir xil bo’ladi. 
 
Ќar  xil  xususiyatli  elastik  jism  deb  shunday  jismga  aytiladiki,  bu  jismning  elastiklik 
xususiyatlari barcha nuqtalarda bir xil bo’lib yo’nalishlar bo’yicha har xil bo’ladi. 
 
Biz elastiklik  nazariyasi kursida bir xil  xususiyatli (izotropnыy)  va bir jinsli (odnorodnыy) 
jismlar bilan ish ko’ramiz. 
 
Elastik  jism  deformasiyalanganda  nuqtalarining ko’chishi  jism o’lchamlariga  nisbatan  juda 
kichik deb qabul qilinadi. 
 
 
Ms 
Bulardan boshqa fan rivojiga o’z hissasini qo’shgan yana qaysi olimlarni bilasiz? 
 
Mv 
Sharq va G’arb olimlarining elastiklik nazariyasi faniga qo’shgan hissalari 
to’g’risida to’laroq ma’lumotga qanday ega bo’lish mumkin? 
 
2. Asosiy farazlar. Tashqi kuchlar. 
Kuchlanish vektori 
Kirish  qismida  ta’kidlan  elastiklik  klassik  nazariyasi  jismning  sanab  o‘tilgan  oltita  xususiyatga 
ega bo‘lishini talab qiladi. 
Ushbu  xususiyatlardan  birinchisi  tutashlik  farazidir,  ya’ni  deformatsuyaga  tutash  bo‘lgan  jism 
deformatsi-yadan  keyin  ham  tutashligicha  qolishi  kerak.  Bunda  jismning  istalgan  bo‘lagi,  shu 
jumladan,  juda  kichik  zarrachasi  ham  bo‘shliqlar  va  uzilishlarga  ega  emas.  Tutashlik  farazi 
ko‘chishlar    va  deformatsiyalarni  koordinatalarning  uzluksiz  funksiyasi  sifatida  qarashga  imkon 
beradi va ularni tekshirish uchun matematikaning uzluksiz funksiyalar apparatini qo‘llash mumkin 
bo‘ladi. 

 
18
Elastik  jism  ideal-elastik  yoki  boshqacha  aytganda  to‘liq  elastik  deb  qabul  qilinadi.  Ideal-
elastiklik  deganda  jismning  unda  qo‘yilgan  tashqi  kuchlar  olib  tashlangandan  keyin  o‘zining 
boshlang‘ich  shakli  va  hajmini  to‘liq  tiklash  xususiyati  tushuniladi.    Jismning  boshlang‘ich  yoki 
tabiiy  holati  deb  unung  tashqi  yuklar  bo‘lmaganda  unda  hech  qanday  kuchlanishlar  paydo 
bo‘lmasligi tushuniladi. Jismning boshlang‘ich holati uning oldindan kuchlanganlik holatini istisno 
qiladi.  Chunki  juda  ko‘p  hollarda  oldindan  kuchlanganlik  holatini  xarakterlovchi  boshlang‘ich 
kuchlanishlarning miqdori va tabiati noaniq bo‘lib, jismning paydo bo‘lish tarixidan  bog‘liq. 
Jism  ideal-elastik  bo‘lsa,  deformatsiyalar  va  kuchla-nishlar  orasidagi  bog‘lanishlar  chiziqli  deb 
faraz qilinadi. Shunday qilinganda kuchlanishlar va deformatsiyalar orasida temperaturaning har bir 
qiymati uchun hamda vaqtga bog‘liq bo‘lmagan o‘zaro bir qiymatli mostik o‘rnatiladi. 
 
Elastik  jism  yetarli  darajada  bikrlikka  ega  deb  faraz  qilinadi.  Boshqacha  aytganda  jism 
nuqtalarining  ko‘chishlari  uning  chiziqli  o‘lchamlariga  nisbatan  kichik,  nisbiy  uzayishlar 
(qisqarishlar) va siljish burchaklari birga nisbatan ancha kichik bo‘lishi talab etiladi. Xuddi ana shu 
talab  hamda  kuchlanishlar  va  deformatsiyalar  orasidagi  bog‘lanishning  chiziqliligi  kuchlar 
ta’sirlarining  mustaqilligi prinsipini qo‘llashga  imkon  yaratadi. Ma’lumki,  bu prinsip  jismga ta’sir 
qiluvchi kuchlar sistemasining ta’sirini sistemaga kiruvchi kuchlarning har birining alohida ta’sirlari 
yig‘indisi sifatida hisoblashga imkon beradi. 
Ideal-elastik  jism  bir  jinsli  bo‘lishi  kerak.  Bu  bir  xil  kuchlanishlar  ta’sirida  jismning  hamma 
nuqtalarida  bir  xil  deformatsiyalar  vujudga  keladi  degan  so‘dir.  Boshqacha  aytganda  bir  jinslilik 
jismning elastik xossalarini xarakterlovchi kattaliklarni uning butun hajmi bo‘yicha o‘zgarmas deb 
hisoblashni taqozo etadi. 
Nihoyat elastik jismning izotrop xossaga ega bo‘lishi talab etiladi. Jism izotrop bo‘lsa uning 
elastik xossalari hamma yo‘nalishlar bo‘yicha bir xil bo‘ladi. 
Tabiatdagi  mavjud  jismlar  qaralayotgan  modeldan  u  yoki  bu  darajada  farq  qiladi.  Shuning  uchun 
ham  elastiklik  nazariyasidga  olinadigan  yechimlarning  aniqligi  qaralayotgan  jismning  qanchalik 
darajada ideal-elastik, tutash, bir jinsli va izotrop bo‘lishiga bog‘liq. 
Elastiklik nazariyasidagi asosiy tushunchalardan biri kuch tushunchasidir. Nazariy mexanika 
kursidan ma’lumki, kuch bir jismning boshqa jismga ta’sirining miqdor o‘lchovidir. Kuchlar jismga 
nisbatan ichki va tashqi kuchlardan  iborat bo‘ladi. Bizni asosan tashqi kuchlar qiziqtiradi. Chunki 
tutashlik  gipotezasi  modda-ning  atom  strukturasini  va  molekulyar  harakatini  e’tiborga  olmaslikka 
imkon beradi. Ichki kuchlarni esa molekulalarning o‘zaro ta’sir kuchlari vujudga keltirishi ma’lum. 
Shunday qilib faqat jismga ta’sir qiluvchi tashqi kuchlarnigina qaraymiz. 
Qattiq jismga ta’sir qiluvchi tashqi kuchlarni ikki guruhga bo‘lish mumkin: sirt kuchlari va hajmiy 
kuchlar. 
1.Sirt kuchlari bir jismning boshqa jism bilan to‘qnashishi, urinishi yoki umuman kontaktda 
bo‘lishi  natijasida  yuzaga  keladi.  Bunday  kuchlar  jismning  sirti  bo‘yicha  taqsimlangan  bo‘ladi. 
Masalan,  shamolning  bino  devoriga  ko‘rsatadigan  bosim  kuchi,  tongda  yoqqan  qorning  og‘irlik 
kuchi,  mashinaning  yerga  bosim  kuchi  va  h.k.  Sirt  kuchlari  ular  taqsimlangan  sirtning  birlik 
yuzasiga  to‘g‘ri  keladigan  kuch  qiymati  bilan  xarakterlanadi.Ushbu  kattalik  kuch  intensivligi  deb 
ataladi. Agar kuch ta’sir qilayotgan yuzaning o‘lchamlari jismning o‘zining o‘lchamlariga nisbatan 
kichik bo‘lsa, bunday yuzani hisobga olmaslik va kuchni nuqtaga qo‘yilgan deb hisoblash mumkin. 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
                    
n
Q

  
1
q

  
 
                                   S   
ds 
         
 
1
Q

   V 
             
2
Q

           
3
Q

 
              
2.1-rasm. 

 
19
Bu  holda  kuch  to‘plangan  kuch  deyiladi.  Faraz  qilaylik,  hajmi    va  shu  haj-mini  o’rab  turgan  sirti  
bo‘lgan  jismga  ta’sir  qilayotgan  kuchlarning  intensivlik  vektori    bo‘lsin  (2.1-rasm).  U  holda  ds 
yuzali elementar sirtga ga teng bo‘lgan sirt kuchi ta’sir etadi.   
2.  Hajmiy  (massaviy)  kuchlar  deb,  jism  hajmining  hamma  bo‘lakchalariga  ta’sir  qiluvchi 
kuchlarga aytiladi, masalan og‘irlik kuchi, energiya kuchi. 
Faraz qilaylik, 
 
i
x
f

- jismning 
 
i
x
M
 nuqtasi  atrofidagi  massa  birligiga to‘g‘ri keladigan 
massaviy kuch bo‘lsin (2.2-rasm) va m jism  hajmining massasi bo‘lsin.  
Ma’lumki, u holda, 
v
d
m


 bu yerda   -jismning zichligi. U holda jismning elementer hajmiga 
ta’sir etuvchi massaviy kuch 
 
i
i
F
x
f
m


  ga teng bo‘ladi. Bu yerdan jismning birlik hajmiga ta’sir 
etuvchi  hajmiy  kuchni  topish 
qiyin emas. 
 
 
Odatda jism zarrachalariga ta’sir etuvchi hajmiy kuchlarning geometrik yig‘indisi yoki bosh vektori 
hajmiy kuch deb qaraladi, ya’ni 
  


)
(
i
x
f
F




 
Tashqi  kuchlar  natijasida  jism  deformatsiyalanadi,  ya’ni  uning  zarrachalarining  o‘zaro  joylashuvi 
o‘zgaradi.  Natijada  zarrachalar  o‘rtasi-da  jismni  boshlang‘ich  holatiga      qaytarishga      intiluvchi 
qo‘shim-cha ichki kuchlar paydo bo‘la-di.  Ana   shu  i chki   uchlarni 
aniqlash uchun kesin metodidan foydalanadilar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jismning biror 
)
(
i
x
M
nuqtasidan o‘tuvchi  P silliq sirt bilan uni  fikran  ikkiga ajratamiz (2.3-rasm). 
Hosil qilingan bo‘laklarning sirtlarini 
1
S  va 
2
S  bilan, hajmlarini esa 
1
V  va 
2
V  bilan belgilaymiz. 
P  kesuvchi  sirtning  ikki  tomonida  joylashgan  zarrachalarning  o‘zaro  ta’sir  kuchlari  jism 
bo‘linganiga qadar ichki kuchlardan iborat edi. 
 Jism  bo‘linganidan  keyin  uning  bo‘laklari  xuddi  bo’linishga  qadar  bo’lgani  kabi 
muvozanatda bo‘lishlari uchun bu kuchlar ularning P sirtlarida qo‘yilishi kerak. 
P sirtning birinchi bo‘lak uchun normalini 
n

 bilan belgilaymiz (2.4-rasm). U holda bu sirtning jismi 
ikkinchi  bo‘lagidagi  nor-mali    -   
n

  dan  iborat  bo‘ladi.  Endi  birinchi  bo‘lakning  sirti 
P
S 
1
  dan, 
ikkinchi bo’laknini esa 
P
S 
2
dan iborat bo‘ladi. 
Birinchi  bo‘lakning  sirtida (P kesuvchi  sirt  yuzasida)  yuzasi 
S
   bo‘lgan  va o‘zida 
)
(
i
x
M
nuqtani  saqlagan  elementar  maydonchani  olib  qaraymiz.    Ushbu  maydonchadagi  sirt  kuchlarining 
bosh  vektori  va  bosh  momentini  mos  ravishda 
Q


  va   
M

  lar  bilan  belgilaymiz.  Normali 
n

 
bo‘lgan maydonchadagi  
)
(
i
x
M
 jism nuqtasidagi kuchlanish vektori deb 
.
lim
lim

















0
0
0
S
M
q
d
S
n
S



ds
Q
S
Q
                                      (2.1) 
tenglik  bilan  aniqlanuvchi 
n
q

  vektori  aytiladi.  Ushbu  tenglik  kuchlanish  vektorining  kuch 
intensivligidan  boshqa  narsa  emasligini  ko‘rsatadi.  Shunday  qilib,  ichki  kuchlar  intensivligi 
kuchlanish deyiladi. Demak, jismning birinchi bo‘lagi uning ikkinchi bo‘lagiga 
ds
q
n

sirt kuchi bilan 
 
              
n
Q

             
     
1
Q

        P     V
2
   
n

    S
2
                     
2
Q

               M(x
i
)         
4
Q

 
     
    
     V                            
                                     
            S
1        
3
Q

 
             
              2.3-rasm. 
 
 
                       V
2   
n

    
                P 
                  M(x
i
) 
            V
1
   
                             
                       ds     
n

                                                               
    
1
Q

       P                
ds
q
n

                                                                                        
  
2
Q

 
             V
1 
                
  
                   
             S
1
  
3
Q

   
       
        2.4-rasm.     
M(x
i
) 
 
 
.
v
v
v
i
i
i
x
f
d
x
f
d
d
F






 
20
ta’sir  etadi.  U  holda  ta’sir  va  aks-ta’sirlarning  tengligi  prinsipiga  asosan  ikkinchi  bo‘lak  ham 
birinchi bo‘lakka 
ds
q
ds
q
n
n





 kuch bilan ta’sir etadi. Bu yerdan 
n
n
q
q





 ekanligi kelib chiqadi. 
Jismni kesuvchi P sirtni biz ixtiyoriy tanladik, unda faqat 
)
(
i
x
M
nuqtadan o‘tish shartinigina 
qo‘ydik.   Shu- 
ning uchun  
n
q

 kuchlanish vektori kesuvchi sirt ko‘rinishiga bo‘gliq bo‘lmaydi.        
Jismning biror nuqtasidan o‘tuvchi har xil maydonchalarda kuchlanish vektorlari  
)
,
(
n
х
q
q
i
n
n



 lar 
har  xil  bo‘ladi.  Qaralayotgan  nuqtadan  o‘tuvchi  mumkin  bo‘lgan  hamma  maydonchalardagi 
kuchlanish  vektorlarining  to‘plami  shu  nuqtadagi  kuchlanganlik  holatini  aniqlaydi.  Jism  hamma 
nuqtalaridagi kuchlanganlik holatlarining majmuasi jismning kuchlanganlik holati deyiladi. 
 
2. Jism nuqtasidagi kuchlanganlik holati. Kuchlanish tenzori. 
 
Deformatsiyalangan  qattiq  jismning  vaziyati 
n

  vektor  bilan  aniqlanuvchi  biror  ixtiyoriy 
maydonchasida  yotuvchi 
)
(
i
x
M
  nuqtasining  kuchlanganlik  holatini  aniqlaymiz.  Buning  uchun 
jismdan  uchta  yog‘i  koordinat  tekisliklaridan  iborat  to‘rtinchi  yo‘g‘ining  normali 
n

  bo‘lgan  va 
o‘lchamlari cheksiz kichik bo‘lgan tetraedr ko‘rinishidagi elementar hajmni ajratamiz (2.5-rasm). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
2
1
х
х
х
  dekart  ko-ordinatalari  sistemasi  oqlarining  bazis  vektorlarini 
i
э

  lar  bilan, 
n

  vektorining 
yo‘naltiruv-chi kosinuslarini 
i
n lar bilan, ya’ni 
.
3
,
2
,
1
),
,€
cos(


i
n
x
n
i
i

 
kabi belgilaymiz. 
Tetraedrning  koordinat  tekisliklari  bilan  ustma-ust  tushuvchi  yoqlarini  unda  perpendikular 
bo‘lgan  koordanat  o‘qining  raqami  bilan  belgilaymiz: 
1
ds   bilan 
1
x   o‘qiga  perpendikular  bo‘lgan 
yoqning yuzasi, 
2
ds  va 
3
ds  lar bilan 
2
x  va 
3
x  o‘qlariga perpendikulyar bo‘lgan yqlarning yuzalari 
belgilanadi, 
ds  bilan esa  n

 normalga perpendikular bo‘lgan to‘rtinchi yoqning yuzasi belgilanadi. 
U holda geometriya kursidan ma’lumki, 
ds
n
ds
i
i

                                                                          (2.2) 
tenglik  o‘rinli  bo‘ladi.  Elementning  yoqlariga  sirt  kuchlaridan  tashqari  hajmiy  ham  ta’sir  qiladi. 
Ammo  bizni  nuqtaning  kuchlanganlik  holati  qiziqtirganligi  uchun  tetraedr  hajmini  cheksiz 
kichraytiramiz.  Bu  holda  hajmiy  kuchlar  ham  nolga  intiladi  va  pirovardida  tetraedr  nuqtaga 
intilganda bu kuchlar nolda aylanadi. Shuning uchun ham hajmiy kuchlarni hisobga olmaymiz. 
Tashqi sirt kuchlari ta’siri ostidagi qaralayotgan element muvozanat holatida bo‘ladi. U holda tashqi 
kuchlarning bosh vektori nolga teng bo‘lishi kerak, ya’ni 
0
3
3
2
2
1
1







ds
q
ds
q
ds
q
ds
q
n




                                           (2.3) 
tenglik  bajariladi.  Agar  (2.1)  va  (2.2)  ifodalarni  (2.3)  tenglikka  qo‘ysak  hamda  takrorlanuvchi 
indekslar bo‘yicha yig‘indi hisoblanishini esga olsak (“gung” indeksning xossasi), (2.3) tenglikdan 
i
i
n
n
q
q



                                                                        (2.4) 
ifodaga ega bo‘lamiz. 
 
                     x
3    
A
3    
          
ds
q
n

 
                                          
                                       
n

   
1
1
ds
q


        
2
2
ds
q


 
                     M 
                                             A
2     
x
2
  
       A
1                                     
3
3
ds
q


   
       x
1
           2.5-rasm.             

 
21
Bu tenglik jismning 
м  nuqtasidan o‘tuvchi normali  n

 bo‘lgan ixtiyoriy maydonchadagi 
n
q

kuchlanish  vektorini,  koordinat  tekisliklaridagi  va  har  biri 
м   nuqtadan  o'tuvchi  uchta  koordinat 
tekisliklaridagi 
i
q

kuchlanish  vektorlari  orqali  to‘liq  aniqlanishini  ko‘rsatadi.  Endi  har  qanday 
vektorni  bazis  vektorlari  bo‘yicha  yoyish  mumkinligidan  foydalanib, 
i
q

va 
n
q

  kuchlanish 
vektorlarini 
j
э

 bazis vektorlari orqali quyidagicha yozamiz: 
,
;
j
nj
n
j
ij
i
э
q
q
э
q







                                                              (2.5) 
bu  yerda 
)
3
,
1
( 
j
ij

kattaliklar 
i
q

  vektorining  koordinat  o‘qlaridagi  proyeksiyalari  yoki 
i
  -  chi 
koordinat  tekisligidagi  kuchlanish  vektorining  komponentalari; 
nj
q
-ixtiyoriy  maydonchadagi   
n
q

 
kuchlanish  vektorining  komponentalari.  Umuman  uchta  koordinat  tekisliklaridagi 
)
3
,
2
,
1
( 
i
q
i

 
uchta  kuchlanish  vektorlarining  to‘qqizta 
)
3
,
2
,
1
,
(

j
i
ij

  komponentasi  bundan  keyingi 
amaliyotimizda muhim rol o‘ynaydi. 
Endi (2.5) ning birinchi ifodasini (2.4) ga qo‘yib 
j
i
ij
i
j
ij
i
i
n
э
n
n
э
n
q
q












 
formulaga ega bo‘lamiz. Olingan ifodani (2.5) ifodalardan ikkinchisining chap tomoniga qo‘yamiz: 
j
i
ij
j
nj
э
n
э
q





 
va vektorlarning tengligi shartidan 
i
ij
nj
n
q


                                                                          (2.6) 
ifodani hosil qilamiz. 
Bundan  ko‘rinadiki,  uchta 
i
q

  vektorlarining  to‘qqizta 
ij
   komponentalari  ikkinchi  rang 
tenzorning komponentalarini tashkil etadi. Ushbu tenzor kuchlanish tenzori deb ataladi va 

T  bilan 
belgilanadi. Bu tenzorni matritsa ko‘rinishida quyidagicha yozish qabul qilingan: 
33
32
31
23
22
21
13
12
11











Т
yoki       
)
(
ij
T



                                                      (2.7) 
kuchlanish  tenzori 
ij
 komponentalarining  birinchi  indeksi 
i
q

kuchlanish  vektori  maydonchasiga 
perpendikular  bo‘lgan 
i
х   koordinat  o‘qining  indeksiga  to‘g‘ri  keladi,  ya’ni  birinchi  indeks 
tenzorning  shu  komponentasi 
i
х o‘qqa  perpendikular  tekislikda  ta’sir  qilishini  ko‘rsatadi.  Ikkinchi 
indeks  esa 
ij
 komponentaning 
j
х
  koordinat o‘qi  yo‘nalishida  ta’sir  qilishini  ko‘rsatadi.  Masalan: 
23
   komponenta 
2
x   o‘qiga  perpendikular  bo‘lgan 
3
1
ox
x
  tekisligiga  parallel  tekisligida 
3
x   o’q 
yo‘nalishi  bo‘ylab  ta’sir  qiladi, 
11
   komponenta 
1
x   ga  perpendikular   
3
2
0x
x
  tekisligida 
1
x  
yo‘nalishda ta’sir qiladi. Shuning uchun ham (2.7) matritsaning koordinat o‘qlari bo‘ylab yo‘nalgan 
ii
 (
i
  bo’ycha  yigindi  olimmasin)  elementlari  yoki 
33
22
11
,
,



  lar-koordinat  tekislikkaridagi 
normal kuchlanishlar yoki 

T  kuchlanish tenzorining normal komponntalari deyiladi. Matritsaning 
qolgan 
)
(
j
i
ij


elementlari  koordinat  tekisliklaridagi  urinma  kuchlanishlar  yoki 

T kuchlanish 
tenzorining urinma komponentalari deyiladi. 
Shunday  qilib,  kuchlanish  tenzorining  komponentalari  berilgan  nuqtada  va  normal 
kuchlanishlardan  iboratdir.  Demak,  kuchlanish  tenzorining 
ij
 komponentalari  jismning  berilgan 
nuiqtasidagi kuchlanganlik holatini to‘liq aniqlaydi. Boshqacha aytganda, 

T  tenzori ma’lum bolsa, 
qaralayotgan  nuqtadan o‘tuvchi  istalgan  maydonchada 
n
q

 kuchlanish  vektorining proyeksiyalarini 
aniqlash (2.6) formula yordamida oson hal qilinadi: 

 
22
,
,
,
3
33
2
23
1
13
3
3
32
2
22
1
12
2
3
31
2
21
1
11
1
n
n
n
q
n
n
n
q
n
n
n
q
n
n
n


















                                                   (2.8)  
Agar qaralayotgan maydoncha jismni o‘rtab turuvchi sirti bilan ustma-ust tushsa  yoki uning biror 
qismi  bo‘lsa, 
n
q

kuchlanmish  tenzorining 
)
3
,
2
,
1
( 
i
q
ni
tuzuvchilari  jism  sirtida  ta’sir  qilayotgan 
tashqi  sirt  kuchlarining  tuzuvchilaridan  ibort  bo‘ladi.  U  holda  (2.8)  tenglamalarni  jism  sirtidagi 
shartlar deb ataydilar. Ular tashqi kuchlarni ichkilari bilan bog‘laydi. 
Shu o‘rinda ta’kidlash lozimki, jism nuqtasidagi kuchlanganlik holatini shu nuqta atrofida koordinat 
o‘qlariga  perpendikular  bo‘lgan    tekisliklar  bilan  tasvirlash  uchun,  yoqlari  koordinat  o‘qlariga 
parallel  bo‘lgan  va  qirralari  nolga  intiluvchi  parallelepipeddan  iborat  elementar  hajmni  alohida 
qaraydilar.  Bunda  har  bir  yoqqa  unga  mos  keluvchi  kuchlanishlarning  ta’sirlari  strelkalar  bilan 
tasvirlanadi (2.6-rasm). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rasmda 
3
2
1
х
х
х
 Dekart koordinatalari sistemasida 2.6. a)-rasm va odatdagi belgilashlar 2.6. b)-rasm 
joylashtirilgan parallelepiped  tasvirlangan. 
Elastiklik  nazariyasi  masalalarini  yechishda  Dekart  koordinatalari  sistemasidan  boshqa  koordinat 
sistemalaridan  ham,  xususan,  silindrik  va  sferik  koordinatalar  sistemalaridan  foydalanadilar. 
Silindrlik 
)
,
,
(
z
r

  va  sferik 
)
,
,
(



koordinatalar  sistemalarida 

T   kuchlanish  tenzori  quyidagi 
ko‘rinishlarga ega: 
.
,




































T
T
zz
z
zr
z
r
rz
r
rr
 
Ushbu koordinat sistemalarida kuchlanish tenzori 2.7-rasmdagi kabi tasvirlanadi.