Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat

 
Nazorat savollari 
1. 
 Tashqi kuchlarga qanday kuchlar kiradi? 
2. 
 Kuchlanish vektori deganda nimani tushunasiz? 
3. 
Jism nuqtasidagi kuchlanganlik holati qanday aniqlanadi? 
4. 
Kuchlanish tenzori nima?. 
5. 
Koordinata o’qlarini burganda kuchlanish tenzori komponentalarini qanday almashtiramiz? 
6. 
Bosh kuchlanishlar deb qanday kuchlanishlarga aytiladi? 
7. 
Kuchlanish tenzori invariantlarini ayting? 
8.        Kuchlanishlar diviatori va sharsimon tenzori qanday ma’noga ega? 
5-ilova 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Darslik va o’quv qo’llanmalar 
1. R.I.Xolmurodov, X.X.Xudoynazarov “Elastiklik nazariyasi” I-II qism. Toshkent,     2003 y. 
8.  Mamatqulov Sh. Elastiklik nazariyasidan ma’ruzalar. T.: Universitet, 1995. 
9.  Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М., Мир, 1975. 
10. Александров  А.В.  Потапов  В.Д  «Основы  теории  упругости  и  пластичности» 
М.Выс.шк. 1990г.  400ст. 
11. В.И. Самул «Основы теории упругости и пластичности» М. Выс.шк. 1982г. 264 ст. 
12. С.П.Рекач. Руководство к решению задач по теории упругости. М. 1977 г. 
13. Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц.  «Теория упругости.»  1965 
XULOSA 
 
Hozirgi  zamon  fan  va  texnikasi  taraqqiyotida  «elastiklik  nazariyasi»  fani  muhim 
o’rinni egallamokda. Bu fan taraqqiyotning muhim richaglaridan biri. 
Fanning rivojlanish tarixi uning ildizini chuqurroq o’rganishga ko’maklashadi. 
Elastiklik nazariyasi o’kuv rejaning zaruriy qismi va boshqa fanlar bilan uzviy bog’liq. 
 
Elastiklik  nazariyasi  tushunchalari,  elementlari  va  modellari  masalalarni  yechishda 
bilim olishning asosiy tayanchi. 
 

 
29
2-MAVZU 
«
 
Kuchlanishlar sirti. Kuchlanishlar ellipsoidi. Mor doiraviy 
diagrammasi. Bosh urinma kuchlanishlar. Bosh  kuchlanishlarni 
hisoblash formulalari. Ikki o’qli kuchlanganlik holati. » 
 
2.1. « Kuchlanishlar sirti. Kuchlanishlar ellipsoidi. Mor doiraviy diagrammasi. Bosh urinma 
kuchlanishlar. Bosh  kuchlanishlarni hisoblash formulalari. Ikki o’qli kuchlanganlik holati » 
mavzusining texnologik modeli 
O’quv soati – 2 soat 
Talabalar soni:  50 ta 
O’quv mashg’ulot shakli 
Ma’ruza (ma’ruzali dars) 
Ma’ruza rejasi   
1.Kuchlanishlar sirti.  
2.Kuchlanishlar ellipsoidi.  
3.Mor doiraviy diagrammasi.  
4.Bosh 
urinma 
kuchlanishlar. 
Bosh 
 
kuchlanishlarni 
hisoblash       
formulalari.  
5.Ikki o’qli kuchlanganlik holati. 
O’quv  mashg’ulotining  maqsadi:  Talabalarga  kuchlanishlar  nazariyasi  haqida  tushuncha 
berish,  ularda  erkin  fikrlash,  asosiy  hisob  formulalaridan  to’g’ri  foydalanish,  amallarni  to’g’ri 
bajarish, xususiy hollarni chiqarish va ularni masalalar yechishda qo’llay bilish ko’nikmalarini hosil 
qilish. 
 
Pedagogik vazifalar: 
O’quv faoliyati natijalari: 
Elastiklik nazariyasi tushunchalarni takrorlash  Fanning ahamiyati va mohiyatini tushunadi 
Asosiy hisob formulalaridan foydalanishni 
o’rganish 
Asosiy formula tushunchalarni yodlaydi, eslab 
qoladi, tasavvurga ega bo’ladi. 
Formulalardan foydalanib xususiy hollarni 
chiqarish va ularni masalalar yechishda 
qo’llay bilish 
formulalarni izohlashni tushunadi, amaliyotda 
qo’llashga ko’nikma hosl qiladi 
O’qitish vositalari 
O’UM, ma’ruza matni, rasmlar, plakatlar, doska 
O’qitish usullari  
Axborotli ma’ruza, blis-so’rov, texnika-insert 
O’qitish shakllari  
Frontal, kollektiv ish 
O’qitish sharoiti  
Texnik  vositalar  bilan  ta’minlangan,  guruxlarda  ishlash    usulini 
qo’llash mumkin bo’lgan auditoriya.    
Monitoring va baholash 
og’zaki savollar, blis-so’rov 

 
30
2.2. « Kuchlanishlar sirti. Kuchlanishlar ellipsoidi. Mor doiraviy diagrammasi. Bosh urinma 
kuchlanishlar. Bosh  kuchlanishlarni hisoblash formulalari. Ikki o’qli kuchlanganlik holati » 
mavzusining texnologik xaritasi  
Ish bosqich-
lari 
 
O’qituvchi faoliyatining mazmuni 
Tinglovchi 
faoliyatining mazmuni 
 
1-bosqich. 
Mavzuga  
kirish  
(20 min) 
1.5.  O’quv 
mashg’uloti 
mavzusi, 
 
rejasi, 
pedagogning  vazifasi  va  talabaning  o’quv  faoliyati 
natijalarini aytadi. 
1.6.  Baxolash mezonlari  (1 – ilova). 
1.7.  Mavzuni  jonlashtirish  uchun  «Blis-so’rov» 
savollarini    beradi.    Blis-so’rov  usulida  natijasiga 
ko’ra tinglovchilarning nimalarda adashishlari, xato 
qilishlari 
mumkinligining 
tashxizini 
amalga 
oshiradi (3-ilova). 
1.8.  Texnika-insert  usulida 
mavzu 
bo’yicha 
ma’lum  bo’lgan  tushunchalarni    faollashtiradi.    (4-
ilova ). 
 
Tinglaydilar.  
Yozib oladilar. 
 
Tinglaydilar. 
Yozib oladilar. 
 
Aniqlashtiradilar, savollar 
beradilar. 
 
2 -bosqich. 
Asosiy bo’lim 
(50 min) 
2.1. Savol yuzasidan ma’ruza qiladi. 
2.2.Ma’ruza rejasining hamma savollar bo’yicha   
tushuncha beradi. (3 - ilova). 
2.2. Ma’ruzada berilgan  savollar yuzasidan 
umumlashtiruvchi xulosa beradi. (5 - ilova). 
2.4.Tayanch iboralarga qaytiladi.  
2.5. Talabalar ishtirokida ular yana bir bor 
takrorlanadi. 
Tinglaydilar. 
 
Javob beradilar 
 
Yozadilar. 
UMKga qaraydilar 
Har bir tayanch tushuncha va 
iboralarni muhokama qiladilar. 
 
3-bosqich.  
Yakunlovchi 
(10 min) 
3.1 Mashg’ulot bo’yicha yakunlovchi xulosalar 
qiladi. Mavzu bo’yicha olingan bilimlarni qayerda 
ishlatish mumkinligi ma’lum qiladi. 
3.2. Mavzu bo’yicha bilimlarni chuqurlashtirish 
uchun adabiyotlar ro’yxatini beradi. 
3.3. Keyingi mazvu bo’yicha tayyorlanib kelish 
uchun savollar beradi. 
 
 
 
Savollar beradilar. 
 
UMKga qaraydilar. 
 
UMKga qaraydilar. 
 
Uy vazifalarini yozib oladilar 
 
 

 
31
Kuchlanishlar sirti. Kuchlanishlar ellipsoidi. Mor doiraviy diagrammasi. Bosh urinma 
kuchlanishlar. Bosh  kuchlanishlarni hisoblash formulalari. Ikki o’qli kuchlanganlik holati. 
Reja: 
1.Kuchlanishlar sirti.  
2.Kuchlanishlar ellipsoidi.  
3.Mor doiraviy diagrammasi.  
 
4.Bosh urinma kuchlanishlar. Bosh  kuchlanishlarni hisoblash       formulalari.  
5.Ikki o’qli kuchlanganlik holati. 
 
Adabiyotlar: 1, 2, 3 
 
Tayanch iboralar: 
Kuchlanish, kuchlanishlar sirti, kuchlanishlar ellipsoidi, mor doiraviy diagrammasi, kki o’qli 
kuchlanganlik holati. 
1-ilova 
 
 
 
                      
                . 
                               
      
 
 
 
 
 
 
2-ilova 
 Insert texnikasi bo’yicha mavzuni o’qib chiqing va jadvalni to’ldiring. 
 
№ 
Asosiy tushunchalar 
Belgi 
1. 
Bosh kuchlanishlar.  
 
2. 
Kuchlanishlar sirti 
 
3. 
Mor doiraviy diagrammasi.  
 
4. 
Urinma kuchlanishlar.  
 
5. 
Kuchlanganlik holati  
 
6. 
Invariant 
 
 
 Insert jadvali qoidasi 
 
 
 
 
 
.                  
 
 
Мавзуни жонлаштириш учун блиц сўров саволлари 
 
 
 
1.  Kuchlanish tenzori nima? 
2.  Bosh kuchlanishlar debnimaga aytiladi? 
3.  Sirt kuchlari va ichki kuchlar orasida qanday bog’liqlik bor? 
4.  Kuchlanishlar  tenzori  simmetrik  vaantisimmetrik  qismlarga 
qanday ajratiladi? 
 
 
V
- avval olgan bilimiga to’g’ri keladi. 
+ - yangi ma’lumot 
-- - olgan bilimiga qarama-qarshi 
? – tushunarsiz (aniqlanishi zarur bo’lgan ma’lumotlar) 
 

 
32
3-ilova 
 Kuchlanishlar sirti. 
Geometriya kursidan ma’lumki ikkinchi tartibli sirt tenglamasi.  
2
k
x
x
j
i
ij


 
ko’rinishga ega edi. Shunga  mos ravishda  jismning  biror M nuqtasidagi 
 
ij

kuchlanish tenzoriga 
maskazi M nuqtada bo’lgan xarakteristik sirt mos keladi va uning tenglamasi quyidagicha bo’ladi. 


2
2
c
f
j
i
ij
k







                                                (2.40) 
Bu sirt koshining kuchlanishlar sirti deyiladi. 
Bu  yerda 
i
 -maskazi M  nuqtada bo’lgan  mahalliy (lokal) koordinat sistemasidagi 
r

-radius-
vektorning komponentalari. Ushbu 
r

 radius-vektorning yo’naltiruvchi kosinuslari 
.
,
r
r
j
rj
i
ri








 
Demak, (2.40) tenglamani quyidagicha yo’zish mumkin  
2
2
c
r
rj
ri
ij






                                                   (2.41) 
Ma’lumki  indeks  gung  bo’lsa  u  bo’yicha  yigindi  olindi,  masalan 
.
33
22
11







ij
  Lekin 
normal  kuchlanishlardan  birini  ymumiy  holda  belgilash  uchun  ham 
ii
   belgilash    ishlatiladi, 
masalan 
11
 , yoki 
22
 . Bu holda yig’indi hisoblanmasligi kerak. Ana shunday holatlarda har safar 
yig’indi  hisoblanmasin  deb  ta’kidlash  o’ringa  indekslar  ustida  egri  chiziqcha  tortib  belgilaymiz. 
Masalan 
k
k
r
r
i
i






,
,
 va hokazo. 
Endi (2.41) va (2.14) tengliklaridan, hamda yuqorida keltirilgan belgilash asosida 
2
2
c
r
r
r





                                                       (2.42) 
tenglamaga  ega  bo’lamiz.  Buyerda  –jisimning
r

  radius-vektorga  perpendikulyar  maydonchasidagi 
M  nuqtadagi normal kuchlanish (2.42) dan 
,
€
r
r
с
r



     chunki   


.
2
rr
r



                                  (2.43) 
Demak, uchi kuchlanishlar sirtida joylashgan 
r

 radius-vektorning moduli, 
r

 ga 
perpendikulyar maydonchaning M nuqtasidagi normal kuchlanish absolyut qiymatining kvadratik 
ildiziga teskari proporsionaldir. 
Koshi  kuchlanishlar  tenzorining  bosh  o’qlari 
 
ij

  tenzorning  bosh  o’qlari  bilan  ustma-ust 
tushadi. Bosh o’qlarga nisbatan (2.40) tenglama kanonik ko’rinishga ega bo’ladi: 
,
2
2
c
i
i




                                                            (2.44)  
buyerda 
i
 -bosh kuchlanishlar. 
Faraz qilaylik 
i
 bosh kuchlanishlarning qiymatlari  har  xil  bo’lib,  ishlari  bir  xil  bo’lsin.  U 
holda (2.44) kuchlanishlar sirti 
 
 
Faraz qilaylik, 
i
 bosh kuchlanishlarning qiymatlari har xil bo‘lib, ishlari bir xil bo‘lsin. U holda 
(2.44) kuchlanishlar sirti 
2
2
3
3
2
2
2
2
1
1
с










                                              (2.45) 
ellipsoiddan iborat bo‘ladi. 
Agar  bosh  kuchlanishlarning  ishoralari  har  xil  bo‘lsa  masalan 
,
0
,
0
,
0
3
2
1






 
kuchlanishlar sirti 
2
2
3
3
2
2
2
2
1
1
с










                                                  (2.46) 
2
2
3
3
2
2
2
2
1
1
с










                                                     (2.47) 

 
33
tenglamalar  bilan  aniqlanadi.  Bu  holda  kuchlanishlar  sirti  bir  pallali  (2.46)  va  ikki  pallali 
giperboloidlar majmuasidan iborat va bu giperboloidlar 
0
2
3
3
2
2
2
2
1
1









                                                             (2.48) 
asimptotik konus bilan bir-biridan ajratilgan bo‘ladi. 
Qattiq  jismning  biror  nuqtasi  uchun  kuchlanishlar  sirti  ma’lum  bo‘lsa,  to‘liq  va  normal 
kuchlanishlarni  va  demak,  urinma  kuchlanishlarni  ham,  shu  nuqtadan  o‘tuvchi  maydonchalarda 
aniqlash mumkin. 
Yo‘nalishi  qaralayotgan  maydonchaga  perpendikular  bo‘lgan 
МС
r 

  (2.10-rasm)  radius-
vektorning  uchi  bir  pallali  giperboloid-(2.46)  sirtida  joylashsa,  (2.42)  formulaga  asosan  berilgan 
maydonchadagi normal kuchlanish 
                                 
2
2
r
c
rr



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
ga teng va cho‘zuvchi kuchlanishdan iborat bo‘ladi. 
Radius-vektor 
МК
r 

  ning  uchi  ikki  pallali  giperboloid-(2.47)  sirtida  joylashsa,  M  nuqtadan 
o‘tuvchi mos maydonchada siquvchi kuchlanish drinli bo‘ladi 
.
2
2
€
r
c
r
r




 
Normali asimptotik konus  yasovchisi bilan bir xil bo‘lgan maydonchada, konus yasovchisi uchun 


r
 va demak 
0
€

r
r

 bo‘lganligi uchun, faqat urinma kuchlanishlargina ta’sir qiladi. 
Endi (2.40) ni 
i
  bo‘yicha differensiallaymiz. U holda 
j
ij
i
f






 
ikkinchi tomondan 
i
j
ij
э
f
grad




 
hamda  bo‘lganliklaridan 
i
rj
ij
i
j
ij
э
r
э
f
grad












 
bundan  
i
rj
ij
э
f
grad
r





1
                                                              (2.49) 
Oldingi (2.50) tenglikka ko‘ra 
q
э
i
ij




 va (2.4) ga asosan  u holda (2.49) quyidagicha 
ko’rinishni oladi: 
r
q
f
grad
r



1
                                                          (2.50) 
 
 
 
 
 
                  
           gradf  K 
                                     c       gradf 
                        r M       r 
                            
rr

 
             
rs

       
rr

                 P
r 
                             
P
r
                   
rs

   
                                                   S 
 
               
                              2.10-rasm.. 
                                            

 
34
ya’ni, 
r

 radius-vektorga perpendikular maydonchadagi 
r
q

 kuchlanish vektori, 
r

 radius-vektorning 
uchiga  mos keluvchi kuchlanish sirt normaliga paralleldir (ya’ni  grad   f vektoriga parallel) (2.10-
rasm). 
 
Kuchlanishlar ellipsoidi. 
 
Nuqtadagi  kuchlanganlik  holatining  koshining  kuchlanishlar  sirtidan  boshqa  geometrik 
tasvirini ham berish mumkin. Bu usul fransuz Olime Lame tomonidan taklif etilgan. 
Jismning  biror  M  nuqtasida  koordinat  o‘qlarini 
 
ij

  tenzorning  bosh  o‘qlari  bilan  ustma-ust 
qo‘yamiz.  Koordinat  o‘qlari  bunday  joylashganda  kuchlanish  tenzorining  urinma  komponentalari 


j
i
ij


  lar  nolga  teng,  normal  komponentalari 
i
i€
   lar  esa  bosh 
i
   kuchlanishlardan  iborat 
bo’ladi, ya’ni  
.
€
i
i
i



 
Vaziyati o‘zining birlik 
n

 normalining 
j
rj
n


 yo‘naltiruvchi kosinuslari bilan aniqlanuvchi 
hamda  jismning  berilgan  nuqtasidan  o’tuvchi  ixtiyoriy  maydonchani  qaraymiz.  Bunda 
n

-birlik 
vektori bo’lgani uchun 
j
n
 lar uning komponentalaridan iborat bo’ladilar.  
U holda ushbu maydonchadagi 
n
q

 kuchlanish vektorining koordinat o’qlaridagi proyeksiyalari, 
n
q

 
vektorining  uchi  bilan  mos  tushuvchi  nuqtaning 
i
x   koordinatalaridan  iborat  bo’ladilar.  U  holda 
(2.8) ga asosan 
,
;
3
3
3
3
;
2
2
2
2
1
1
1
1
n
q
x
n
q
x
n
q
х
n
n
n









                              (2.51) 
buyerda 


3
,
2
,
1

 i
i

 - bosh kuchlanishlar. Ma’lumki vektorning yo’naltiruvchi kosinuslari 
1
2
3
2
2
2
1



n
n
n
                                                              (2.52) 
tenglamani qanoatlantirishlari kerak. Yo’naltiruvchi 
j
n
 kosinuslarning qiymatlarini (2.51) dan 
topib (2.52) ga qo’ysak 
1
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1






x
x
x
                                                           (2.53) 
Tenglamaga ega bo’lamiz. Ushbu tenglama yerim o’qlari 
3
2
1
,
,



bosh kuchlanishlarga teng 
bo’lgan ellipsoid tenglamasidan iboratdir. Bu ellipsoid Lamening kuchlanishlar ellipsoid yoki Lame 
ellipsoidi deyiladi (2.11-rasm). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bu  yerdan  ko‘rinadiki  kuchlanish  ellipsoidining  sirti  berilgan  M  nuqtadan  o‘tuvchi  hamma 
maydonchalardagi 
n
q

 kuchlanish vektorlari uchlarining geometrik o‘rnidan iboratdir. 
Lame  ellipsoidi  jism  nuqtasidagi  kuchlanganlik  holati  to‘g‘risida  quyidagi  xulosalarni 
chiqarishga  imkon  beradi:jismning  qaralayotgan  nuqtasidagi  eng  katta  kuchlanish  shu  nuqtadagi 
bosh kuchlanishlarning eng kattasiga teng. 
Bu  xulosa  Lame  ellipsoidining  yarim  o‘qlari  bosh  kuchlanishlardan  iboratligi  hamda 
ellipsoidning  yarim  o‘qlaridan  biri  uning  markaridan  sirtigacha  bo‘lgan  eng  katta  masofa 
ekanligidan kelib chiqadi. 
                         x
2 
 
                    
2

 
                M          P
n 
           
3

             
1

      x
1 
 
         x
3
    
 
                    2.11-rasm.                               
                         
 n 

 
35
agar bosh kuchlanishlardan hech biri nolga teng bo‘lmasa, berilgan nuqtadan o‘tuvchi hamma 
maydonchalardagi to‘liq kuchlanish vektorlari Lame ellipsoidi hajmida joylashadi. 
Jism  nuqtadagi  bunday  kuchlanganlik  holati  hajmiy  yoki  uch  o‘qli  kuchlanganlik  holati  deyiladi. 
Demak, bosh kuchlanishlarning ishoralariga bog‘liq ravishda bu holat 
 
ij

 tenzorining uchta bosh 
o‘qlari yo‘nalishlari bo‘ylab cho‘zilish yoki siqilishdan iboratdir. 
Agar  bosh  kuchlanishlardan  ikkitasi  nolga  teng  bo‘lsa,  kuchlanishlar  ellipsoidi  kuchlanish  tenzori 
bosh  o‘qlaridan  birida  yotuvchi  to‘g‘ri  chiziq  kesmasiga  aylanadi.  Bunday  holat  bir  o‘qli 
kuchlanganlik holati deyiladi. 
Yana  (2.29)  formulaga  murojaat  qilib,  bu  holda 
 
ij

  tenzorining  ikkinchi  va  uchinchi 
invariantlari  nolga  tengligini  ko‘rish  qiyin  emas.  Umuman  bir  o‘qli  kuchlanganlik  holati  yuzaga 
kelishining, yoki mavjud bo‘lishining zaruriy sharti uchbu invariantlarning nolga teng bo‘lishidir. 
Bir  va  ikki  o‘qli  kuchlanganlik  holatlarining  batafsil  tahlili  hamda  bosh  kuchlanishlarni 
amalda  hisoblanishga  quyida  alohida  paragraf    bag‘ishlanadi.  Shuning  uchun  bu  masalalarga  bu 
yerda boshqa to‘xtalmaymiz.