Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat

Nazorat savollari 
1.Kuchlanishlar sirti nima? 
2.Kuchlanishlar ellipsoidi qanday shaklda bo’ladi?.  
3.Mor doiraviy diagrammasi nimani ifodalaydi?.  
 
4.Bosh kuchlanishlar danday aniqlanadi? 
            5. Bosh  kuchlanishlarni hisoblash       formulalarini ayting?  
6.Ikki o’qli kuchlanganlik holati deganda nimani tushunasiz? 
 
Darslik va o’quv qo’llanmalar 
 
1. R.I.Xolmurodov, X.X.Xudoynazarov “Elastiklik nazariyasi” I-II qism. Toshkent,    2003 y. 
2.Mamatqulov Sh. Elastiklik nazariyasidan ma’ruzalar. T.: Universitet, 1995. 
3.Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М., Мир, 1975. 
4.Александров А.В. Потапов В.Д «Основы теории упругости и пластичности» М.Выс.шк. 
1990г.  400ст. 
5.В.И. Самул «Основы теории упругости и пластичности» М. Выс.шк. 1982г. 264 ст. 
3-MAVZU 
« Deformatsiya nazariyasi. Ko’chish vektori. Jismning 
deformatsiyalangan holati. Deformatsiyaning chiziqlimas tenzori va 
kichik burilish tenzori. Deformatsiya tenori komponentalarining 
geometrik ma’nosi. Kichik deformatsiya tenzori. » 
 
3.1.  «Deformatsiya  nazariyasi.  Ko’chish  vektori.  Jismning  deformatsiyalangan  holati. 
Deformatsiyaning  chiziqlimas  tenzori  va  kichik  burilish  tenzori.  Deformatsiya  tenori 
komponentalarining geometrik ma’nosi. Kichik deformatsiya tenzori» mavzusining  
texnologik modeli 
 
O’quv soati – 2 soat 
Talabalar soni:  50 ta 
O’quv mashg’ulot shakli 
Ma’ruza (ma’ruzali dars) 
 
Ma’ruza rejasi   
 
1.  Deformatsiya nazariyasi. 
2.   Ko’chish vektori.  
3.  Jismning deformatsiyalangan holati.  
4.  Deformatsiyaning chiziqlimas tenzori va kichik burilish tenzori. 
5.   Deformatsiya tenori komponentalarining geometrik ma’nosi. 
 6. Kichik deformatsiya tenzori. 
O’quv  mashg’ulotining  maqsadi:  Deformatsiya  nazariyasi.  Ko’chish  vektori.  Jismning 
deformatsiyalangan  holati.  Deformatsiyaning  chiziqlimas  tenzori  va  kichik  burilish  tenzori. 
Deformatsiya  tenori  komponentalarining  geometrik  ma’nosi.  Kichik  deformatsiya  tenzoriular 
haqida tushuncha berish masalalar yechishda qo’llay bilish ko’nikmalarini hosil qilish. 
Pedagogik vazifalar: 
O’quv faoliyati natijalari: 
  Deformasiyalar 
nazariyasiga 
oid 
tushunchalar  berish  ma’lum  munosabatlar 
  Deformasiyalar 
nazariyasiga 
oid 
tushunchalar  berish  ma’lum  munosabatlar 

 
45
ahamiyati va mohiyatini tushuntirish. 
  Asosiy hisob formulalaridan to’g’ri 
foydalanish, amallarni to’g’ri bajarish, 
xususiy hollarni chiqarish va ularni masalalar 
yechishda qo’llay bilish ko’nikmalarini hosil 
qilish. 
ahamiyati va mohiyatini tushunadi. 
  Asosiy hisob formulalaridan to’g’ri 
foydalanadi, amallarni to’g’ri bajaradi, xususiy 
hollarni chiqaradi va ularni masalalar yechishda 
qo’llay biladi . 
O’qitish vositalari 
O’UM, ma’ruza matni, rasmlar, plakatlar, doska 
O’qitish usullari  
Axborotli ma’ruza, blis-so’rov, texnika-insert 
O’qitish shakllari  
Frontal, kollektiv ish 
O’qitish sharoiti  
Texnik  vositalar  bilan  ta’minlangan,  guruxlarda  ishlash  
usulini qo’llash mumkin bo’lgan auditoriya.    
Monitoring va baholash 
og’zaki savollar, blis-so’rov 

 
46
3.2. «Deformatsiya nazariyasi. Ko’chish vektori. Jismning deformatsiyalangan holati. 
Deformatsiyaning chiziqlimas tenzori va kichik burilish tenzori. Deformatsiya tenori 
komponentalarining geometrik ma’nosi. Kichik deformatsiya tenzori» mavzusining  
texnologik xaritasi  
Ish bosqich-
lari 
 
O’qituvchi faoliyatining mazmuni 
Tinglovchi 
faoliyatining mazmuni 
 
1-bosqich. 
Mavzuga  
kirish  
(20 min) 
1.9.  O’quv  mashg’uloti  mavzusi,    savol-larni  va 
o’quv faoliyati natijalarini aytadi. 
1.10.  Baxolash mezonlari  (2 – ilova). 
1.11.  Texnika-insert  usulida 
mavzu 
bo’yicha 
ma’lum bo’lgan tushunchalarni  faollashtiradi. Blis-
so’rov  usulida  natijasiga  ko’ra  tinglovchilarning 
nimalarda 
adashishlari, 
xato 
qilishlari 
mumkinligining  tashxizini  amalga  oshiradi      (1-
ilova ). 
1.3. Mavzuni jonlashtirish uchun savol-lar  beradi.   
(3-ilova). 
 
 
Tinglaydilar.  
Yozib oladilar. 
 
 
Tinglaydilar. 
Yozib oladilar. 
 
Aniqlashtiradilar, savollar 
beradilar. 
 
2 -bosqich. 
Asosiy bo’lim 
(50 min) 
2.1. Savol yuzasidan ma’ruza qiladi. 
2.2.Ma’ruza rejasining hamma savollar bo’yicha   
tushuncha beradi. (4 - ilova). 
2.2. Ma’ruzada berilgan  savollar yuzasidan 
umumlashtiruvchi xulosa beradi. (5 - ilova). 
2.4.Tayanch iboralarga qaytiladi.  
2.5. Talabalar ishtirokida ular yana bir bor 
takrorlanadi. 
Tinglaydilar. 
 
Javob beradilar 
 
Yozadilar. 
 
UMKga qaraydilar 
 
Har bir tayanch tushuncha va 
iboralarni muhokama qiladilar. 
 
3-bosqich.  
Yakunlovchi 
(10 min) 
a.   Mashg’ulot  bo’yicha  yakunlovchi  xulosalar 
qiladi.  Mavzu  bo’yicha  olingan  bilimlarni  qayerda 
ishlatish mumkinligi ma’lum qiladi. 
3.2. Mavzu bo’yicha bilimlarni chuqurlashtirish 
uchun adabiyotlar ro’yxatini beradi. 
3.3. Keyingi mazvu bo’yicha tayyorlanib kelish 
uchun savollar beradi. 
 
 
 
Savollar beradilar. 
 
UMKga qaraydilar. 
 
UMKga qaraydilar. 
 
Uy vazifalarini yozib oladilar 
 
 

 
47
Deformatsiya nazariyasi. Ko’chish vektori. Jismning deformatsiyalangan holati. 
Deformatsiyaning chiziqlimas tenzori va kichik burilish tenzori. Deformatsiya tenori 
komponentalarining geometrik ma’nosi. Kichik deformatsiya tenzori 
 
REJA: 
1.  Deformatsiya nazariyasi. 
2.    Ko’chish vektori.  
3.    Jismning deformatsiyalangan holati.  
4.  Deformatsiyaning chiziqlimas tenzori va kichik burilish tenzori. 
5.   Deformatsiya tenori komponentalarining geometrik ma’nosi. 
 6  . Kichik deformatsiya tenzori. 
 
Adabiyotlar:1,2 3, 4. 
 
Tayanch iboralar: 
Deformatsiyalar,  ko’chish  ,  deformatsiya  tenzori,    deformatsiyalangan  holat,  chiziqlimas 
tenzor, kichik burilish tenzori.  
 
 
 
 
                      
                . 
                               
      
 
 
 
 
 
 
Deformatsiya nazariyasi. Ko‘chish vektori. Jismning deformatsiyalangan holati. 
 
Tashqi  kuchlar  ta’siri  ostida  jism  o‘zining  o‘lchamlarini  va  shaklini  o‘zgartiradi,  ya’ni 
deformatsiyalanadi. 
Faraz qilaylik, jism tutash muhit sifatida, boshlang‘ich holatda (tashqi kuchlar ta’sir etguniga 
qadar) uch o‘lchovli Evklid fazosida biror 
V  hajmni egallasin (3.1-rasm). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jism  ixtiyoriy  nuqtasining  (odatda  fazo-ning  shu  nuqtasidan  farq  qilish  uchun  uni  moddiy 
nuqta deb Dekart koordinatalari sistemasidagi koordinatalarini belgilaymiz.  
Mavzuni jonlashtirish uchun blist so’rov savollari 
 
1.Deformasiya nima? 
2.Deformasiya necha xil shaklda bo’ladi?.  
3.Kochish va deformasiya orasida qanday bogliqlik bor?.  
 
4.Kuchlanishlar tenzori danday aniqlanadi? 
            5. Bosh  kuchlanishlarni hisoblash       formulalarini ayting?  
 
x
3 
 
v 
w 
r

 M     
u

     
M 
 
o               
r 

 
x
2
                                        
 
x
1
 
3.1-rasm.
 
 

 
48
Ushbu 
M
nuqtaning vaziyati n aniqlanadi va uning komponentalari 
i
x  lardan iborat bo‘ladi. 
Biror tashqi ta’sir  natijasida  jism  nuqtalari ko‘chib  biror  yangi 
V   vaziyatni egallash. Bunda 
biror 
 
V
x
M
i

 nuqta ko‘chish  natijasida 
 
V
x
M
i



        (3.1-rasm) vaziyatni egallaydi. 
 
i
x
M
 
moddiy nuqta-    ning boshlang‘ich va oxirgi vaziyatlarini tutashtiruvchi 
M
M
u



 vektori, 
 
i
x
M
 
moddiy  nuqtaning  ko‘chish  vektori  deyiladi.  Bunday  ko‘chishda  tutashlik  gipotezasiga  ko‘ra  jism 
tutash  muhitligicha  qoladi.  Shuning  uchun 
V  soha  nuqtalarining  jismning  boshlang‘ich  V  
holatidagi  moddiy  nuqtalarning 
3
2
1
,
,
x
x
x
  koordinatalarining  uzluksiz  va  bir  qiymatli  funksiyalari 
bo‘lishlari kerak: 
)
,
,
(
3
2
1
x
x
x
x
x
i
i



                                                            (3.1) 
Ushbu 
i
x   funksiyalari  hamma 
)
3
,
2
,
1
( 
j
x
j
 koordinatalar  bo‘yicha uzluksiz  hosilalarga ega 
va 
0
/




k
i
x
x
  deb  faraz  qilamiz.  Boshqacha  aytganda,  (3.1)  tenglamalar  sistemasini 
i
x   larga 
nisbatan yechish mumkin deb hisoblaymiz: 
)
,
,
(
3
2
1
x
x
x
x
x
i
i




                                                              (3.2) 
U holda 
u

 ko‘chish vektorining 
i
u komponentalari 
3
2
1
,
,
x
x
x
 larning  funksiyalari sifatida  
 


)
(
,
,
3
2
1
k
i
i
i
i
i
i
x
u
x
x
x
x
x
x
x
u







                
 
 
      (3.3) 
yoki 
3
2
1
,
,
x
x
x



 larning funksiyalari sifatida 


)
(
,
,
3
2
1
k
i
i
i
i
i
i
x
u
x
x
x
х
x
x
x
u












  
      
 
 
       (3.4) 
Ma‘lumki,  ko‘chishni  yoki  umuman  jism  harakatini  (3.3)  bilan  boshlang‘ich 
3
2
1
,
,
x
x
x
 
koordinatalar yordamida tavsiflash ushuli Lagrang usuli, 
3
2
1
,
,
x
x
x



 lar yordamida tavsiflash usuliga 
yoki (3.4) ga Eyler usuli deyiladi. Ikkinchi usuldan ko‘proq gidromexanikada foydalaniladi. 
Jismning 
V   holatidan  V    holatiga  o‘tishida  uning  nuqtalarining  orasidagi  masofa 
o‘zgarmasdan qolsa, jismning bunday ko‘chishi bikr ko‘chish deyiladi. 
Agar  jismning 
V   holatdan  V    holatiga  o‘tishi  uning  nuqtalarining  orasidagi  masofalar 
o‘zgarishi  natijasida  sodir  bo‘lsa,  jismning  yangi 
V    holati  jismning  deformatsiyalangan  holati 
deyiladi.  Agar  jismning  har  bir  nuqtasi  uchun 
)
(
k
i
i
x
u
u 
  funksiyalar  ma’lum  bo‘lsa,  jismning 
deformatsiyalangan holati to‘liq aniqlanadi. 
Jismning  deformatsiyalangan  holatini  aniqlovchi 
)
(
k
i
i
x
u
u 
  funksiyalar  chiziqli  funksiyalar 
bo‘lsa,  bunday  deformatsiya  bir  jinsli  deyiladi,  unga  mos  keluvchi  holat  esa  bir  jinsli 
deformatsiyalangan holat deyiladi. Bu holda 
i
i
i
u
х
х


 funksiyalar ham chiziqli bo‘lganligi sababli 
jismning 
V   holatidagi  ixtiyoriy  to‘g‘ri  chiziq  yoki  tekislik  uning  V    holatida  yana  to‘g‘ri  chiziq 
yoki  tekislikka  o‘tadi.  Bir  jinsli  bo‘lmagan  deformatsiyalangan  holatga 
)
(
i
i
i
x
u
u 
  funksiyalar 
chiziqli bo‘lmaydi. Lekin bu holatda ham jism nuqtasining juda kichik atrofida deformatsiyalangan 
holatini bir jinsli deb hisoblash mumkin, ya’ni       deformatsiyalanmagan jism 
)
(
i
x
М
 nuqtasining 
cheksiz kichik, kichik atrofidagi to‘g‘ri chiziqli moddiy elementlar (to‘g‘ri chiziq, tekislik va h.k.), 
deformatsiyalangan  holatidagi 
)
(
i
x
М 
  nuqtaning  cheksiz  kichik    atrofidagi  to‘g‘ri  chiziqli 
elementlarga  o‘tadi.  Ana  shu  mulohazalarga  asoslangan  holda  deformatsiya  tenzori  tushunchasini 
kiritamiz. 
 
Deformatsiya chiziqlimas tenzori. 
 
Faraz qilaylik, jism umumiy deformatsiyalangan (bir jinsli emas) bo‘lsin. Bunda uning boshlang‘ich 
V   holati  orasidagi  masofasi 
ds
r
d 

  bo‘lgan 
)
(
i
x
М
  va 
)
(
i
i
dx
x
N

  ikki  nuqtasi. 
V   
deformatsiyalangan 
V   holatidagi 
)
(
i
x
М


 va 
)
(
i
i
x
d
x
N




 nuqtalariga ko‘chadi. Natijada 
М
 va 
N  

 
49
nuqtalar  bilan  chegaralangan  chiziqli 
r
d
ds


  elementi 
М 
  va 
N   nuqtalar  bilan  chegaralangan 
chiziqli 
r
d
s
d




 elementga almashadi. 
koordinat o‘qlariga 
ds   elementning  proyeksiyalari  r
d

 vektorining 
i
dх   komponenelementnini 
r
d

vektorining 
i
i
i
du
dх
х
d



 komponentalariga teng. U holda 
i
i
dx
dх
dx
dx
dx
ds





2
3
2
2
2
1
2
        
 
 
 
      (3.5) 
xuddi shunday 



i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
du
du
du
dx
dx
dx
du
dx
du
dx
x
d
x
d
s
d











2
2
 
yoki  
            
i
i
i
i
du
du
du
dx
dx
s
d




2
2
2
                                                       (3.6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
keltirilgan  formulalarda  va  3.2  -  rasmda  vektorlarning  orttirmalari  kichik  bo‘lganligidan  ularning 
to‘liq diffe- rensiali bilan almashtirilgandir, ya’ni 
.
;
~
;
~
i
i
dx
x
u
d
u
r
d
r








 
Vektor 
u
d

  ning 
i
du   komponentalari  (
u
d

-  N  nuqta-          ning  M  nuqtaga  nisbatan  ko‘chish 
vektor) quyidagicha tpiladi: 




j
j
i
i
i
i
i
i
dx
u
dx
dx
u
dx
dx
u
dx
x
u
x
x
x
u
d
du
,
3
3
2
2
1
1
3
2
1
,
,









    
                 (3.7) 
demak, 
i
i
j
k
i
k
j
j
k
i
ki
k
k
i
i
dx
dx
u
u
dx
u
dx
u
du
du
du
du
,
,
,




 
U holda 


j
i
j
k
i
k
j
i
j
i
j
k
i
k
j
j
i
i
i
i
i
i
dx
dx
u
u
u
dx
dx
u
u
dx
u
dx
du
du
du
dx
ds
s
d
,
,
,
,
,
,
2
2
2
2
2









 
yoki 


j
i
j
k
i
k
j
i
dx
dx
u
u
u
ds
s
d
,
,
,
2
2
2




       
 
 
           (3.8) 
Oxirgi  (3.8)  ifodaning  chap  tomoni  skalyar  miqdor.  Shunga  ko‘ra  tenglikning  o‘ng 
tomonidagi  ifoda  (ortonirmal  bazisdagi 
к
3
  ta  sonlar  majmuasining  rangi 
к
  ga  teng  tenzor  ekanligi 
uchun)  ikkinchi  rang  tenzordir.  Bunda 
i
j
j
i
u
u
,
,

  hamda 
i
к
j
к
j
к
i
к
u
u
u
u
,
,
,
,



  bo‘lganliklari  uchun 
)
(
, j
i
u
  - 
simmetrik  bo‘lmagan, 
)
(
,
,
j
k
i
к
u
u 
esa-simmetrik  tenzorlardir.  Yuqoridagi  (3.7)  formulaga  asosan 
)
(
, j
i
u
 
tenzorning komponentalari nisbiy ko‘chish vektori 
u
d

 ning 
i
u
d

 komponentalarini aniqlaydi. Shuning 
uchun  bu 
)
(
, j
i
u
 tenzor nisbiy ko‘chish tenzori deyiladi. Ushbu tenzorni  simmetrik  va antisimmetrik 
tenzorlarga ajratamiz 




.
2
/
2
/
,
,
,
,
,
i
j
j
i
i
j
j
i
j
i
u
u
u
u
u




 
bundan 
 
               x
3 
 
 
                                           
u
d
u



                 
N   
                               
N                  
u
d

 
                        
r
d

                  
r
d 

 
                   M             
u

   
                                            
M 
          
                   
r

         
r 

            
                              
                                                      x
2 
          
          
x
1  
                                     
3.2-rasm
                    

 
50


j
i
i
j
j
i
j
i
j
i
dx
dx
u
u
dx
dx
u
,
,
,
2
1


      
 
 
             (3.9) 
Chunki ixtiyoriy 
)
(
ij
t
 tenzori uchun kvadratik shakl 












i
j
ji
j
i
ij
j
i
ji
j
i
ij
j
i
ji
ij
x
x
t
x
x
t
x
x
t
x
x
t
x
x
u
t
2
1
2
1
2
1
(ikkinchi qo‘shiluvchida 
i
 va 
j
 lar gung indekslar 
bo‘lganliklari  uchun 
j
  ni 
i
  ga, 
i
  ni  esa 
j
  ga  almashtirishga  haqqimiz  borligidan  foydalanamiz)


,
2
1
j
i
ij
j
i
ij
j
i
ij
x
x
t
x
x
t
x
x
t



ya‘ni 
j
i
ij
x
x
t
  kvadratik  shakl, 
)
(
ij
t
  teenzorini  uning  simmetrik  tuzuvchisi 


j
i
j
i
t
t
,
,
2
1

 bilan almashtirilganda o‘zgarmaydi. 
Endi (3.9) ni (3.8) ga qo‘yamiz 


j
i
j
k
i
k
i
j
j
i
dx
dx
u
u
u
u
ds
s
d
,
,
,
,
2
2





 
yoki      
 
                      
j
i
ij
dx
dx
e
ds
s
d
2
2
2



         
 
 
 
 
        
(3.10) 
buyerda 


.
2
1
,
,
,
,
j
k
i
k
i
j
j
i
ij
u
u
u
u
e




 
 
 
 
 
           (3.11) 
Komponentalari  (3.11)  formulalar  bilan  aniqlanuvchi 
)
(
ij
e
  tenzori-ikkinchi  rang  simmetrik 
tenzordir.  Ko‘chish  vektori 
u

  ning  komponentalaridan  olingan  hosilardan 
ij
e
  larning  bog‘lanishi 
chiziqli emas. Shuning uchun 
)
(
ij
e
 deformatsiyaning chiziqlimas tenzori deyiladi. Ushbu tenzorning 
o‘zaro bog‘lanmagan olti komponentasini (3.11) ga asosan quyidagi tengliklar bilan aniqlanadi: 
                 
           
(3.12) 
Deformatsiyalarning chiziqlimas tenzorining matrisasi 
.
33
32
31
23
22
21
13
12
11
e
e
e
e
e
e
e
e
e
E 
                     
 
 
 
     (3.13) 
matrisasidan iborat. 
Deformatsiya chiziqlimas tenzori, ikkinchi rang tenzor sifatida, xuddi kuchlanish tenzori kabi, 
koordinat o‘qlarini burishda 
.
2
1
;
2
1
;
2
1
;
2
1
;
2
1
;
2
1
3
3
1
3
3
2
1
2
3
1
1
1
3
1
1
3
31
3
3
2
3
3
2
2
2
3
1
2
1
2
3
3
2
23
2
3
1
3
2
2
1
2
2
1
1
1
1
2
2
1
12
2
3
3
2
3
2
2
3
1
3
3
33
2
2
3
2
2
2
2
2
1
2
2
22
2
1
3
2
1
2
2
1
1
1
1
11




























































































































































































































x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
e
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
e
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
e
x
u
x
u
x
u
x
u
e
x
u
x
u
x
u
x
u
e
x
u
x
u
x
u
x
u
e

 
51
ij
sj
ri
rs
e
e




                       
 
 
 
   (3.14) 
qonun  bo‘yicha  almashtiriladilar.  Bu  yerda 
ri
 -yangi 
r
x   va  eshi 
i
x   o‘lari  orasidagi, 
3
x
sj



  va 
j
x
 o‘qlari orasidagi burchaklar kosinuslari. 
Koordinat o‘qlarini ixtiyoriy burish mumkin  bo‘lganligi sababli (3.14) formulalar jismning 
berilgan  nuqtasiga  chiquvchi  istalgan  o‘zaro  perpendikulyar 
r
  va 
s   yo‘nalishlar  bo‘yicha 
r
r
e

   va 
rs
e  larni aniqlashga imkon beradi: 
).
(
3
)
(
)
(
,
2
2
2
3
1
1
3
31
2
3
3
2
23
1
2
2
1
12
3
3
33
2
2
22
1
1
11
1
3
31
3
2
23
2
1
12
2
3
33
2
2
22
2
1
11
s
r
s
r
s
r
s
r
s
r
s
r
s
r
s
r
s
r
rs
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e














































  
 
 
 (3.15) 
Demak, agar hamma koordinat tekisliklaridagi 
ij
e
 lar aniqlangan bo‘lsalar istalgan normali 
r
 
va urinma 
s  bo‘lgan maydoncha nuqtasidagi normal va urinma yo‘nalishlaridagi deformatsiyalarini 
va demak, ko‘chishlarini ham aniqlay olamiz.